微分几何版答案梅向明.docx
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微分几何版答案梅向明
微分几何最新版答案——梅向明
2证明命(需”孰血心)
_p)/(/)-/(f)r(z)歹⑺*
5证明,设「(门在〔&』]上定义,且对于任-zC(a^)有T(t)=O、则尸“)是J』]上的常向量•因此在3丄)上有任意阶微甌•且都是仇即
r*O)=r*C/)=—=ru>(t)=4«=0»
于是r(r+^)有泰勒展开式质
r(r+}=r(r)+Arr/f)+Jrti/)2/V)+…*+(山)〉'仃>+-*
=f(f)+O*AZ+十…+召…
=r(t),
所以在£的邻域中F(门是常向量考虑到rE[一和的任意性,则尸仃)在5』]上是常向章.©
4证明*必要性设r(f)=A(z)e(e为常单位向量人则r'(z)=
所以f(r)xr7/)=0.
充分性设r(/)=A(Z)e(i)(efr)为单位向量函数八则
r(/)Xr7r)=A?
(/)[f(z)Xe^z)J.
因为r(t)^O,于是A(z)^O当r(/)Xr7r)=Q(从而有
e(t)X『{"=0.
即■⑴〃“人因为°(工)丄">(根据1心)|=1),因此e(t)
"•即貞门为常向量,所以
r(r)=A(t)e(t)
有固定方向
s证明:
必契性设固定乎面朮的单位洙向虽为Jf.依题意F(r)丄川,則r(t)*n=0,从而
r"(小押=0.
r*(O'«=0.
r(/)»r"(f),r 充分性由已知』(门十共面•若 r(r)XrXr)=0. 则由r(/)^o可知尸仃)有固定方向(上趣人所以「(门平行于固定平面. 若r r*(£)=A(Z)r(/)+^(t)/*(^)5 记n(^)=r(f)Xr'(/)gWJ »'(£)= 从而有 =r(f)Xr*(z)=p(r)r(t)xr*(r)=^(f)n(^). ii(t)x=0,但n(tJt^O. 因此ft")有固定方向(上題).又r(f)丄«(/).所以「("平行于固定平面. 习题1.2 1由r(r)=j-sinr»cosr,1: 得 rfit}\=VT~sinf+(oo«)2+1=-/2^=Q,所以曲线是正则曲线. ”CO9t=1. 令.八解出r=0,则对应于点(1,0.0)有r=0・所以 八(0)=I0.1JI,则曲线在: (・0,0)点(即f=u点)的切线方程为 工・1_$一0_工_0 011* 或“=0]+“7+治3. 法面方程为 (P-r(0))-r;(0)=0, 即(x-l)0+(^^0)1+(z~0)l=0, y★H=0• 2 r(r)=\at,bt2tct3l,r(t)^\a^2bt,3ct21. 所以•切线方程为 p-r(z0)=Arz(/0)* 即 上一aq_y_位: z-ctia2施3c? o a工+十3cf©w—(犷厲+2戸5十“)—0, 法面方程为 5因为r\fl)=(-asin.tacos0,6L取乂轴上的单位向就es=|O,Otlk则 一asin0*0*acos抄■0+b*1 丿(-asin(? )3+(acosfl)1+b7-1 =V=f=常数• 即r‘与力的夹角不随e的变化而变化■因之曲线的切线与H轴作固定角. '•・从r=0算赳的弧氏为: Z(r)=Ir\dt Jo -asinh丄・ 13T曲线(C)的方程为•它的向It鑫数表示为; r—Ix16x",01, r=ilF26x.0lJ/|=/l+4Zf3x3.对应于-笑WhW盘一段: 的弧长为t /(J) =j*yf\+4b2JC1dJ |f2«A yJy1+U1dW 14r=|acorjz,asinJz»0IT F=I-3acofl^fsui£«3asinJreusc«0I, Ir'f=|3asinZeasf|3cIsinfeesf|亠 15r=Ia(-sinf)g(1-cosf),0I,a>0,rz=ia(1-cost)tzisint,0If I r'I—V[a(1—cos/)P+(amnt 对磁0MrM2代一段的弧长为: —4口sinudu 16曲线与xOy平ifl相交时山=0,即4^=0,得Z=0.r-13acosJ3asint^4ati,f"=I-3asinI*3noost,4d), 1/1=J9 +16(? =5— 魁•弧长 pf 1(£)=Sadi=Sat, Jo 17曲线与两平面交点的横坐标分别为工=尬山=3「取工为参敷,曲线的方程为 所以 M,J'万冷代入原方裡篇 27由于工=工(0)=卩(B)cos化 y=y(0)=0. 所以r~cos0fp{)sin8|, F=ipcos0~psin9,/asin0+poos0}T I尸I=■>/(poos6—psin&)'+(p"sing+fgs&)"-/77)1+・ 二"砒=£Ir^ld£? =p/7/)2+Vd^. 习题1.3 1解: r(: )=(<2cosr,osinx[, r(f)=I-«sinl»uc(j5/IF紗f"(E)=I—acorf,-dsin? t0[,密切平面的方程为匕 (R- 展开整理得: Xsint—Ycost+ at=0. 2解: f={fsintftcosf,refIt r'(()={Zcost+sint,oost—rsini,e(+zef|,r*(f)=! 2oosi-/sint«一2sint-Zcost,2e*+Ze*L在原点处z=0, r(0)=10.0,01.r70)=10,1JLr*(0)-|2t0,2L柱原点处切平面的方程为: (Jf-ro,r#otr\)=0. X+Y {K)t\=0, 即F+Z7 从切平面的方稗为: (Jt-r0,r'oxr\,r%)=0,r\X=1111,-111即2X-y+z-o. 切线方程为; R~rv=Ar\)r BP XYZ —~~=■st 011• 主法线方程为二 R-gF[(儿X几)XF;],由于(r^xr*0)Xr/o=I2.-1.1U 主法线方程为: X_Y_Z 1E——m—■ 2-1I 副袪线方程为 (ft-r0)=A(r'ox)t ©BP 3f=I收cost*asinz,6/}t$={—asini,ucosr>61,厂mI一acosr«-asint,0[, rxf"=1n11—czAposf•盘']. Crxr3t-(ab"+aJ)a»t(a3+afr2)stnf.01*I(#■"xr*)X|-ab1+a3f (宀 icosZf—sin/,01, (Jt-r)=入0・ 即兰二恋的上二上"加『=刍昱 -cx«c-sinf0 又€输的方程为: X_Y_Z 石_百_丁, 对任意♦有 巧二-cos£*0+("sin/),0+0-l=0f 即主祛线与z釉垂直•又由于点(0,0,池)即在主法线上,又在空轴上,故主法线与畫轴垂直相文于9,0.加人 4解: f=Icostzcnal,co(fiasin£rfsinjtr"=t-cosastn仁cosacosi,s)naItrf=」-coscreostf—8Sasinf>0', rXr"=\sinncosasinc,*sinacosacoscPcos2a}‘IrHXrJJ|=cosa, 所UX/=(sinRsin£f—sinacos£tcosa}. 新曲线的方程为: r=r+y —\cosacost+sinosint,oosasint-sinexcost,sina+ocwa: =|cos(r—tr)tsin(f—a)tfsina+cosa|t r—I—sin{f—a),oos(£—n),sinaI* I勺cijs(f—a),_s)n(r一a)r0L 新曲线密切平面的方程为 脱开整璋得 [sinQsin(f-a)]X—[sinccos(t—tr)]Y+ Z-(rsina+cosa)=0. 5证明: 设球面的半径为尺•球心在原点•球面曲线的方程为 r-r(s), 则r»r=0. 曲线的法平面方程为 lp-r(s)]*r(j)=0* 即 p(s)*i*(J)=0. 它通过原点通过球心. 6证明: 丙为r=\acosfsinttbt\r r*—\~asintttb\, r*=I-gcos/1-asint»01・r*Xr*=)a/jsint.-a^cos,a2H所以副沬线的方向向量为仁-6cos£2匚过原点且平行于副法线的宜线方程为 -y_g 占sint-teasta消去t: V jc—A6sintyy—~A^oasf,r=aA,工'十寸=tz2=ci2A21即得空亠(工"十* 7 (1)因为ooshr,asinh11at\f F=Iasinhtgcoshtfa\ r*—|ocosh11asinhtt0\r r"Xf"=|-a嚅inhr,口2cosht「住'}. 1rr|=v/2ncoshr, |rXr*'==J茲"cosht«产=(asinht,flcosh/»01F(r\r\r)=a\ 所以 “2acotih1/2acosh2/ (2)09为r-'a(3f—r3)t3af*»a(3f+Z3)I, 八l3a(l- -『),6«ff3(2(1+ (2)|, r'=j-bat,6&,6皿;* /Xr*=—1〕,一36口匕18屮(厂+l)j. HW3屁(1+『)・ Irxr"|=180/(1+心,存—1—&口TOt6a\> (=216^\ 所以 ”11 3^*(1+? /,r3a(l+z3)J (1)SO isinfcosrI=sintoos11 33 ■-^-cost«-^-sin sintTcnarT0}, 44. ^•cost«_-j-sin (八AQ 36sinJf«»i*r—4 |厂r*|: "(MsiPfcos^yf^SsirTfcost —3cost,3sinZf-4-1 rf_sin工coslaIr9151sin7c? os11 sin/co3t 7sintcos11 A—sinrcos£<,A =yxa=厂一—rIsin11cosr>0L Isinroos11 抿据衣nrtcosr的周期性,所有讨论只考虑OMr冬2篡即可•当t =0与“务时,在对应点宀0・即这些点是曲线的非止并 /? =-Isinr,cosr,(JI=|-sintr-cose,01* i44 y=-j-cost*--ysint»0. 由于 下面脸证伏雷内公式: jy=IryI=5Isinicos£I,当0 时,由于 IsinfcosrI=sinrcost,da (1) da_dt1da口"d7=d7=T77'd7d7 1 5[sint]5 I晶7岛卫, 岬=25|sinrc^rltsin/u Md7 "一山--5-dz 1如 FTP 5&inrcost] 1costf一«inzJJ| 251sui7co? TTT5 4 334 cost,百win仁—弓 IOsm/cos/I(05 25cosr~25sinz*°1' =-25cos_25龛inf,0卜 即7=-碓* 对于今 59证法一•,设所给曲线为(C): r=r(5>,定点的向径为码, 则 r(j)-R4=A(s)a(5)> a(j)=A(s)a+xkfi. 但40线性兀关,从而 A=t=0, 又A^O,所以^=0.W(C)是直线. 证法二根据已师•有 [r(5)-Ru]Xa(j)=0, r(f)xa+[H・〉一耳■]X妙=0・ [r(s)-fio]x*/r=0. [r(s)~R^]xfi^0r(否则,(/■(门~心)/70,由已知得岀(「(J-矶)〃a,于是(r(s)-肌)=0,即/*($)三J? 。 ,从1佃所给的曲线退缩为一点'得出矛盾)•所以 走三0 即曲线(C)J&育线+ 讦法三设所给曲线为(C〉w=r(z),则由已知育r(/)-Ro=A(Z)r'(C)>r7f)=Az(;)r(f)+A(;)r*(r). 于是rXr*-0f所以 即曲线(C)是直线. 10证法一设曲线(C): r=r(r)t定点向径为斤■,据已知条件(r(z)-K0)在密切平而上,故 (r(t)~,r*)=0.(*) (l)若r-R^r.^有两个共线,则分别有下列结果: 1若(l肌)〃只則据上题结ifc.(C)是直线; 2或rfx^=0「」=仇曲线(C)是直线; 3若(厂-肌)〃产,设尸-&,=入<门/\两边对t求微商: /=A)r*+A(£)r*. 即r\r\r*共而.故(八八/*)=0.故 则(C)是平面曲线. (2)若r-K0,r\r*两两不其线“则在(*)式两边对t求微商: (r'隔,八C=0, 即十(尸—R.十(f亠J? a*尸‘■产)=0* 但前两项为0,所以 (r-Ko,r\r*)=O. 由于上式与(*〉式同时成立〒所以r\r\r*Jt面’即 (—50. 故曲线(C)是平面曲线. 证法二设曲线(C): r=r(^)»依已知条件 (f(j)-Rtf)*y(s)=0,两边对/求微商; a*r+-rp)=o. 所以r(r-K.)-f-0. (1)若r=0,则(C)是平面曲线; (2)若(r-Ko)^=0T两边对5求微商: a*0*〈尸-/? *)•(—r7)=0» 所以(尸一心)・(1屜)十"一矶)*寸=0" 根据已知条件(吴*)式,后一项为S所以^(r-Ku)'a=0. 但由所设(l尺訂丄孔"-矶)丄人所以(l肌)〃茫, 故从而寿=0,曲线(亡)是直线. H例題中巳给出解答. 121£明;设曲线(C): r=r(5)的曲=cons 窜中心的轨迹为 、(C"): F*=「($)+扌0($). 上式两边对曲线(C*)的自然参数昇求澈曲”得 =丿⑺+〃")]茹 13证明i因为! 1+3/+2ta,2—Zf+Sf2,! -t1f, r=l3+4r,-2+10t,-2rLr*=MjO.-2L 宀0 从而r=0,即曲线是平而曲线•令f=0,则得r(O)=tl,2Jl,r<0)=13,-2,0! *作为平面曲线•它所在的平面即是它的密切平Ah其方程为 r-1,>*2«-1 3-20 410-2 即+3^+192-27=0, 14 •因为 讦扶一设曲线r: r(=rl(. ),: r2=r2(^2)//ct2,从而a,=土叫,于是 乩=+昨•邑 1_血吋 ■ai-―dJ2 人必=土紅佚a;;・ 于是有 a+*(一为彦+ry)j寸g 即a*#r,并El 所以 ds dr 因此,禹〃巫.即巧*匚在对应点的主法线平行.X所以 门〃厂,盟G、G在对应点处的副廉线平行. 证法二因为«jxa2=0,所以 于是脊 "小士X仏證)" 因此Xi#>又由于at//aZ9所以爲〃民. 15 if明: 因为必〃02,于是%丄丄民•从而 f"272鲁 =0. 所以arai为常数•即伽与①作固定角. H证明: 设曲线r;r=r(5)f曲线r: r*=r*(D.rftHf)的主法线与亍在r*(s4)的銅袪线重合▼则 (s*)=r(s)+A(5)/I(s). 于是有 1* 。 = 十>0十4(一左ry). 因为0〃广・于是0丄/丿丄旷,上式两边点乘队可得A=0.从而A是常数.设A-Au,则 a"令-=(I-A)a4-Aury. 上找两边对孑求微商,可得 ds*\2«j*_ ST}a7? "= 上式两边点乘0占科 A(l-AcA)-A0r! =Ot 即代=九(冷'+J)・ <2〔1一cost)fusint,-2asin艺卜 asin/,actwf*-acos至, .川—倉r2*黑W rXr=-2as)n乏 «JTtBP#=舞斗2理阮匚(2就+1)貫时*石=卩最大・ 1«解: 因为在罚点的泰勒展开式 r(s0+As)=r(x0)+r(^o)ij+^r(s0)(As)2+ jj[>(fo)+c(j0»Aj)](As)3,于是r(5v+Zis)-r(s0) =a(比)Aj+寺怎0(北)(Ai)a+*[A(丸)0(岭)■*■ Aq[KG+“y&)]+[e1(s)a(A))+e2(Jo)^(^j) 巧(片)丁(%)】}(△" =[山一+-g-£t{io)(As)3□(%)十 冷出(山沪”(馳“&尸十+礙旳)^)3”g)十 I£怎勺(心尸十(孔”山尸丫0 设“直」分别是r(50+Ai)点到尸(升)点的密切平血、法平面.从切平面的审离,则 工=I[r(升十心)「(牝)]・<1(帀〉[ -肘十斗彳(切)(&卩— y-I[-f(显)卜0(笛)| =|卡(坯)(△"十*◎(九}(山)"、 茫=I[r(^+Ajf)-/■(j0)]-y()| =^-A: or0(As)J+-^-€3(s,)(Aj)'* 7当山*0时"(盹)-5即I(»),5(齢)0所叽若Jt*#OT则以上三个亚离的近取值分别为 玄之IdIr 寺爲=占由°lAsI,* 宜=石匕珂(△/)'二召知丨口'AfI 若碁-DM(坯)H0・則近似距熬分别为 工心1△訂, 严+》($■)(心尸=y4(Jo)IlAs|\ 1解曲线为(V) r={ucos去巾,nsinv0,I« 它是与眾轴垂直相交的克线. V-曲线(制-w0)为 r= 它杲圆柱螺线. 2证明坐标曲线为 r=I(u+心电)•石(坯一va)t2aT/MI, r=|a(u0+v)*6(“v)t2uavl. 它们都是宜线族,又展曲她物面上的自线必属于网族貞母线之一,故曲面的坐标曲线就卑它的直母线. 3解因为厂=lag? &cna护*acosffstntasin6\» —I-acos^sin护’aoosGeos护〒0}t re—I*^sin&cl>、护*一asintfrin,acos8\. HP(costfcos+(cos4? sinV+sin&Z-a—0.法线方稈为 X—acos&cos卩Y-ass#sir>平 acos&cq^护 0 「=n 0 —<3COS9 sinp —asin^sin <3COS8 acos& —rtsin& cos甲 Z—asin0acos疗! iin甲acosZ? cas护 sm? to3ipasin0占in护 1解 r=\a(u十Tf)^b{u-u),2uv|trM=\af6f2ut* r„=\ay—bt2u1- E=ra*=a2+£>2+4v3,F=r,•"d*—62+4, (7=几•「廿=a'+F+4/・ J={a2+b! +4v,l)dMi+2(a2▼b2十4me)ci网d力+ (a2+b1+4«2)dJ・ 2解 r=1uco^u、usin屯
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