三角函数在实际生活中的应用.docx
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三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用
目录
摘要:
1
关理词:
3
1引言3
1.1三角函数起源3
2三角函数的基雷知识4
2.1下列是关于三角函数的诱导公式5
2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公直7
2.3Z倍角的正眩、余弦、正幼公式7
3•三角函数与生活7
3.1火筋飞升冋題7
3.2电境舗设问題8
3.3ft生员营救I可題9
3.4足球MHHa10
3.5食品色装冋題10
3.6营救区域规则冋题11
3.7tt宅冋題12
3.8最值同櫃13
4总结14
Abstract
Trigonometricfunctioninthecourseofhistoricaldevelopmentofcontinuousimprovement,hasformula,richthoughts,flexible,permeabilityisstrongandsooncThecharacteristicisnotonlyanimportantpartofscientificresearch,orinmathematicslearningtokeyanddifficult.Inaworditinteachingandotherfieldshasimportantrole.Inthispaper,wewillmakeabriefdiscussionabouttheapplicationoftrigonometricfunctionsinsolvingpracticalproblems.
Keywords:
mathematicstrigonometricfunctionApplicationoftrigonometricfunction
三仰函数在丙史的发展il程中不Bfi完善,具有公式多、思想丰富、变化灵活、
渗透性強等特点,不仅是科学研究的重要组成部分,还是数学学习中得重自难点,
总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。
本文将对一些关于三角函数在解决实麻问題中的应用做简单的Mito
关键词:
数学三轴函数三用函数的应用
1引言
三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数,他是描逮客现世界中周期II变化规律的重要数学模型。
三用函数是高中数学重要的基础知识之一,有着广泛的实际背景和应用空间.三角函数色括三角函数的枫念员关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正取里函=Asin{cox+(p)的图象员应用、三角恒等变换、解三角形.它不但在生活中的很多方面部有很广的应用,如:
潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化,天文学方面有白昼时同的变化,地理学方面有潮汐变化,物理方面有各种振动波,生理方面有人的悄绪、智力、体力等•测量山高测量M高,确定航海行程冋題,确定光照员房屋5!
造合理II等。
在数学的很多冋題研究方面都有着广泛的应用。
三角函数是对函数呦念的深化,也是沟通代数,几何,与平面向量等的一种工具。
其中三角函数在导数的应用也除为广泛。
1.1三角函数起滌
“三轴学”,来自拉丁文trigonometryo现代三角学一词最初见於希瞄文。
最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯(BartholomeoPitiscus,1516—1613),他在1595年出版一本普作《三角学:
解三角学的简明处理》,侨造了gIMJi词。
它是由9叫心三係学)及“冋%®(測量)两字构成的,原意为三轴形的测量,或者说辭三用形。
当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附干天文学。
因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三轴学,但是他111并没有斜立起一门独立的三闻学。
最后是德国数学家番基奥蒙坦细斯,真正把三角学作为数学的一个迪立学科进行阐释。
“正三轴函数色含于最早被称为三用学,“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry,原恵是三角形。
与其他科学一样,三幷学也是解决实际间题中发展起来的。
近代三幷学是从做拉的《无穷分析引论》开始的。
欣也用小写的拉丁字母a、b、c表示三用形的三辿,进一步简化了三轴公贰。
欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z轴的三角函数的简写符号,这是三角函数的观代形式。
由于上述数学家及19世纪许多数学家的勢力,形成了观代的三角函数仔号与手拿教学的完整理论。
2三角函数的基asiiji
在頁角三角形ABC中,a、b、c分别是4ZB.乙C的对边,乙C为直角。
则定义以下运算方武:
sinA=zA的对边长/斜jfl长,sinA记为乙A的正弦;sinA=a/c
cosA=z.A的邻边长/料边长,cosA记为乙A的余弦;cosA=b/c
tanA二乙A的对jj长/乙A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanAffi为乙A的正幼;
当乙A为鋭角时sinA、cosA、tanA统林力"锐角三角函STo
SinA=cosBsinB=cosA
在平面直角坐标系xOy中,U点0引出一条射裁OP,设陡转角为8,设OP=r,P点的坐标为(x,y)o
iaift三角形中,&对边为y临边为x斜边为「,运算方法见表一
表1
基本函数
英文
表iU
正弦函数
Sine
sin0=y/r
用e的对ii比斜边
余弦因数
Cosine
cos6=x/r
角&的邻边比斜ji
正切函数
Tangent
tan0=y/x
角&的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot0=x/y
角&的邻边比对边
正割函数
Secant
sec6=r/x
轴8的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
esc6=r/y
轴8的斜边比对边
2.1下列是关于三角函数的诱导公式
1终边相同的角的同一三角函数的值相等。
山此可得到下列公式:
公式一:
sin(2k;r+a)=sina,
cos(2k兀+a)=cosa,
km(2£・/r+a)=tana.其中keZ・
2P(X,y),直线OP的反向延长线OE交冏0干F点,则F点的坐麻为F(-x,
-y)由Kt可得到下列公式:
公式二:
sin(^+a)=-sino\cos(/r+a)=-cosa、tan(/r+a)=tana・
公式三:
sin(—a)=-sina,cos(—a)=cosa,tan(-a)=-Uma.
公式Eh
sin(/r-a)=sina,cos(/r一a)=-cosa、tan(^-a)=-tan6Z・
我们可以用下面的话来概括公式一~四:
a+2k7r(kez)y-a^±af^J三角函数,等于a的同名函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。
公式五:
sin(—-a)=cosa,
2
cos(--a)=sina.
2
由于f+a=/r-(f-a),由公武皿及公武刃可得:
22
公式兀:
sinC^-+or)=cosor
N
cos(+ar〉=—sinar.
2
公式五、公式兀可JUItifto下:
的正取(余弦)函数值,分别等于a的余眩(正眩)函数值,前面加上一2
tflJaf成鋭角的符号。
2.2两角和、差的正弦、余眩、正切公武
sin(cr+Q)=sinacosp+cosasin
sin( )=cosacosf3—sinasinpcos(cr—/? )=cosacos/3+sinasin/? ; /°、tanatanQ tan(6Z+Q)=——, 1—tanatanp °、tanatan/3 tan(6z+/? )=—— 1—tanatanp 2.3二倍角的正弦、余弦、正幼公式 sin2c=2sinccos6Z, cos2c=cos~6Z—sin-c =1—2sin2c=2cos2a—1, .o1—cos2c sin~cc=, 2 21+cos2c COS6Z= 2 r2tana tun2c=, 1—tan-"cc 3.三角函数与生活 实际生活中,三角因数可以用来模抓很多周期现象,如物卑中简谐按动、生活中的潮汐现象,栩可以建立三角函数的模璽利用三角函数的性J贯解决有关冋题;很多晟值冋趣也可以转化为三角函数来解决,房地产、航海、测量、国肪中那能找到三角函数的影子。 因而三角函数解决实际问題应用板广,解决实际冋题有一定的优越地位。 3.1火箭飞升间題 一枚运我火筋从地面0处发射,当火筋到iiAfiN,从地面C处的宙ii站测得AC的 更离是6kmffll角是43°.lsi,火筋到jjBj此时测得BC的距离是6.13km,W角)145.54o (1)火怖到达B点时距离发射点有多远? (2)火怖UA点到3点的平均速度是乡少? K: (1)在RtAOCB中,sin45.54=— CB OB=6.13xsin45.54°4.375(km) 火筋到发射点约4.38km 0A (2)在RtZXOCA中,sin43。 =——CA (3)OA=6xsin43=4.09(km) v=(OB-OA)^t=(4.38一4.09)一1=0.3(km/s) S: 火到B虑的平均速度豹为0.3km/s 3.2电缆捕设间題 如图,一条河宽a干米,两岸各有一座城市A和B,A与B的直线距离是b干米,今需肺设一条电缆连已知地下电缆的修建费是CJJ元/干米,水下电缆的修建费是dJJ元/干米,假定河岸是平行的直筑(没有弯曲),问应如fl»设方可使总施工费用达到最少? 分折: 设电缆为AD+DB^费用最少,因为 河宽AC为定值,为了表示AD和BD的长, 不斯设ZC4D=0. ad-acsin0 COS0 解: 设ZCAD=^0<^<900), AD=asec0.CB=Jb',BD=\/b2-a2-atan0 ・・・总费用为 y=adsec0+c(\Jb2一/-atan&)= 间题转化为求“=""j]1"的最小值及相应的eCOS& sin。 -6%_「 值,而it=—ac-—表示点P(0,%)与点Q(cos&,sin&)斜率-ac倍 cos0/c (0<&v90。 ),有图可得Q在;单位圆周上运动,当貞线PQ与圆版切于点Q时, 4' u取到最小值。 然后通ilEffl函数的边角关系求出貞线PQ的斜率,再求出此时 的最小ffluKO可,可以根据实际间题带人求值。 3.3救生员营救冋題 如图,某边肪巡谡队在一个海滨浴场岸ill的a贞处发现海中的〃贞有人求救,便立即派三名救生员前去营救.1号救生员UA点直接跳人海中;2号救生员沿岸边(岸ill看成是直线)向前胞到c点,再跳人海中;3号救生员沿岸边向前腿300米到离3点最近的D点,再跳入海中.救生员在岸上胞的速度都是6 米/杪,在水中游泳的速度都是2米/杪.若如"45。 生员同时从人直岀发,请说明堆先到这营救地点B. 解: (1)在△ABD中,ZA=45,ZD=90\AD=300. AB=——=300>/2 cos45 3D=AD・tan45=300 在HBCD中,•••Z.BCD=60,ZD=90, BD300厂 ・•・BC==十=200V3 sin60V3 T ■-C°sin60_ 迎竺=150血〜210 1号救生员到iiB点所用的时间为2(枚匚 300-100^3200*“250>/3… F=50+191./ 2号救生员到达B点所用的时间为623 (汀 300+300=200 3号救生员到iJB点所用的时间为62(杪) •.•191.7v200<210,「J号救生员先到这营救地点3. 3.4足球射n间o 在圳练课上,教练间左前鋒,若你得球后,沿平行于ill线GC的直线EFJU 攻到前场(如图,设球门宽=“米,球门柱3到FE的距离BF=b米),那么 你推进到距底线CD多少米时,为射门的最佳位置? (即射D角ZAPB1大时为射门的最隹位置)? 请你帮助左前鋒回答上逮间题。 分桥: 此題关建在于求解射n时最大射门角,m时就是最佳位置。 若直接在非特殊巾利用边来求ZAPS的最值,显得比较繁fit注克到ZAPB=ZAPF-4PF,而后两者都在心△中,故可陋用直角三角形的性质求解。 解: 如图,设FP=x,ZAPB=a,乙BPF=g0为锐角儿贝iJZAPF=a+/? fg(a+0)=£±^,/g0=2, xx tga=/g[(a+0)—0]= fg(a+0)-仗0二a \+tg(a+0)•tg/3x+3+b)•b 则y>2Jx-——Wi=2yl(a+b)-b,当x=(J”)? ,即x=J(ci+b)・b时,y®到vAX 最小值2yl(a+h)-b,从而可®x=J(a+b)・b时,/ga蚁得最大值,K|1tga=^-j===^,a有最大值。 故当P点距底线CD为J(a+b)6米时,为射门的最佳位置。 依图像知,在白天的9-15时这个时间段可哄冲浪爱好者进行冲浪运动。 3.5食品包装冋題 某糖果厂为了扬宽其产晶的IB售市场,决定对一种半径为1的糖果的外层色装进行设廿。 冋能否投廿出一个封冈的圓锥形状的外包装,其体枳最小和所用林料这到最省? 如果能,如何设itfif圆锥的底面半径和髙? KtWffi用的外色装体枳是名少? 用料是多少? 分折: 要求孩同雉的全面枳和体枳,需要知道它的下底面半径AC、骨线PA及高PC,迪些变量之间的关系可以通过一个“角"把它『|朕系起来。 解: 如图,设乙0鮫e,»)00=1,下底面半径AC=R=cote,SO.=^_ 高h=Rtan2e,eG(0,-)oI=ITRI+ITR2=KR(—^—+R)=uR2(—+1) 4cos20cos2^ =ircot2e(一+1)=一;一—一; l-tJiretair&・(1一tair0) 1+tan20 V=-irR2h=-KR2•Rtg20=-7rR3tg26=-irctg362tg6=: -n 3333l—/g&3 tg20(l-tg20) •••当且仅当tg2e=1-tg2o,JPtg6=^W,能使s惟和V同时取到最小值, 此时R=V2,h=2,即当圆维的下底面半径和高分别为血、2时能同时满足条件,外色装用料是8k,ft枳是-^o 3 3.6营救区域规则冋題 血图,在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A,—机MJ160干米/小时的速HUA岀发,30分外后因故障而停在湖里,已知机81岀发后先按直线前进,以后Q改成正东,但不知最初的方向和何时改变方向。 如何去营敕,用图示表示营救的区域。 分折: 1、要表示出一个区域,一般可在直角坐标系中表示,所以应首先建立直角坐标系; 设机 2、趣中涉及到方向问SL所以不Mi用方向角8作为变量来求解。 解: 以A为原虑,iJA的南北方向直线为y轴建立直角坐标系,如图: SI的最初航向的方位角为0,设0P方向前进m到这点P,然后向东前进n到达自Q发生故障而则曲=30,令点Q的坐标为(x,y), tlIx=msinO+n兀 则QGe[0,-]o V=mcos02 |A(2|2=x2+y2=m2+n2+ImnsinO ① 5vx+y=m(sin0+cose)+n=V2msin(0+—)+n^m+n=30, 4 .-.x+y^30② 满足不等式组①和②的点Q(x,y)所在的EM,按対称性知上图明影区域所示。 3.7住宅间題 在某小区内,有一決地,选快地有选样三种悄况: (1)是半径为10米的半圆; (2)是半径为10米,圆心角为60的甯形; (3)是半径为10米,圆心角为120的扇形; 在这块地里种块矩形的草皮,具体见下图,应如何设廿,使得此面枳最大? 面枳 的最大值是名少。 分折1: 第一种悄猊,如图所示: 连络OC, 设ABOC",则BC=10sin&,OB=Wcos& AB=2OB=20cos3 S,(1R=AB・BC=200sin&cos&=100sin2& •••sin20<1/.S炉形<100 即20=90,&=45 这时BO=AO=10cos45=5竝BC=5^2 此时,点A、D分别位于点0的左右方5血处时SIR得最大值100o 分折2: 第二种侑况,连络OC,设ZBOC=8,则BC=10sin&,OA=BCcot60=Ilb/Esin0 3 S^、;=AB・BC=(OB—OA)・BC =(lOcos&-^^sin0).lOsin& =100sin0cos0-sin20 3 “50^3“ ^rnax =50sin20(1-cos20) sin(2&+—)=10=— 当fl仅当6时,即6时, 分折3: 如图所示: 连ISOB,e一 \CB 设ZAOB=0则AB=lOsin6OA=10cos&\.・・”\ 'N...Xli S血形=OA・AB=100sin&cos&=50sin2&°AD 当且仅当sin2&=1时,|g~4S+50 3.8最值间題 fin图,ABCD是一块边长为100/7/的正方形地皮,其中 AST是一半径为AT=90m的扇形小山,其余部分部是平地。 一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使拒形的一个顷点P在弘ST上,相邻两边CQ,CR落在正方形的边BC,CD上,求矩形停车场PQCR面枳的最大値和最小值。 解: 设ZPAB=e,(0°<<9<90°),S长RP交ABTM, 易得PQ=MB=AB—AM=100—90cos6>,RP=RM—PM=100—90sm^, U而SgQCR=(100—90COS&X100—90sin8)=10000-9000(sin6+cos<9)+8100sin^cos^令f=sin&+cos&,(1 iSgg=10000—9000? +8100•匚二=4050(Z-J),+950,故当f=罟 299 N,S矩仰心有最小值950〃/;当I=A/2m,s矩形pg有最大值(14050-9000逅府 涉员到角与边之间的相互关系,可以用边为变量翟立函数关系,求辭过程一般可以利用三角函数的相关知识,如正取、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式.函数单调性等。 4总结 三角因数的发展已经茜于完善,虽然一些不常用的函数接近舍弃,但貝余的三角san然在实际生活中发挥着車要的作用。 国師、鉄路建设、尿地产建设、竞技比赛以及安全问题上那可以广泛应用,方便了我们的日常生活。 参考文献 ⑴史彩玉.三角函数在实际中的应用【J】・高中生,2005,04: 37. ⑵慕译啊.三甬函数在生活中的应用尝试[JL数学炎好者(高一人教大^),2008^0.3802: 49-50. ⑶许伟.浅谈三角函数在三角形解题中的应用【J].湖州师范学院学ffi,2003,S1: 32-35. ⑷刘兴文,则日勤.三角因数在鉄路工相中的应用技术[J].科技创新导ffi,2008,No.9321: 33-34. [5].祝全力•三角函数的最值问體探累•中国科教创新导刊[J],2009,(3): 72-77. [6]•张顾燕.数学教育与数学文飮数学通»,2005,2
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