高中数学第2章统计23总体特征数的估计232方差与标准差教学案苏教版必修3.docx
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高中数学第2章统计23总体特征数的估计232方差与标准差教学案苏教版必修3
2019-2020年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学案苏教版必修3
1.什么叫一组数据的极差、方差、标准差?
2.一组数据的方差和标准差具有什么作用?
1.极差、方差、标准差
(1)极差:
一组数据的最大值与最小值的差.
(2)方差与标准差:
设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为
,则称s2=
(xi-
)2为这个样本的方差,其算术平方根s=
为样本的标准差.
2.方差与标准差的作用
标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度.
1.数据0,1,3,4,7的极差为________,方差为________.
答案:
7 6
2.一组数据1,2,3,4,a的平均数是3,则数据的方差为________,标准差为________.
答案:
2
3.若1,2,3,x的平均数是5,而1,3,3,x,y的平均数是6,则1,2,3,x,y的方差是________.
解析:
由5=
得x=14.
同理y=9.
由s2=
(12+22+32+142+92)-5.82=24.56.
答案:
24.56
方差、标准差的计算及应用
[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据(单位:
cm)为:
甲:
99 100 98 100 100 103;
乙:
99 100 102 99 100 100.
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[解]
(1)
甲=
(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=
(99+100+102+99+100+100)=100.
s
=
[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=
.
s
=
[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,
又s
>s
,
所以乙机床加工零件的质量更稳定.
(1)方差常用计算公式有两个
①基本公式s2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2].
②简单计算公式:
s2=
[(x
+x
+…+x
)-n
2]或写成s2=
(x
+x
+…+x
)-
2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.
(2)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差),标准差大说明样本数据分散性大,标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定.
[活学活用]
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:
g)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图如下图:
根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定.
解:
设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为
甲、
乙,方差分别为s
、s
,
则
甲=
=113,
乙=
=113,
s
=
[(122-113)2+(114-113)2+(113-113)2+(111-113)2+(111-113)2+(107-113)2]
=21,
s
=
[(124-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(108-113)2+(109-113)2]
=29
,
方差的性质
由于s
<s
,所以甲车间的产品的重量相对稳定.
[典例] 设数据x1,x2,…,xn的方差为s2,求下列各组数据的方差.
(1)x1+b,x2+b,…,xn+b;
(2)ax1,ax2,…,axn;
(3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b.
[解] 设数据x1,x2,…,xn的平均数为
,
则数据x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为
+b,
数据ax1,ax2,…,axn的平均数为a
,
数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a
+b,
设数据x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s
,
数据ax1,ax2,…,axn的方差为s
,
数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为s
,
(1)s
=
[(x1+b-
-b)2+(x2+b-
-b)2+…+(xn+b-
-b)2]
=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2]=s2,
(2)s
=
[(ax1-a
)2+(ax2-a
)2+…+(axn-a
)2]
=a2·
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2]=a2s2,
(3)s
=
[(ax1+b-a
-b)2+(ax2+b-a
-b)2+…+(axn+b-a
-b)2]
=
[(ax1-a
)2+(ax2-a
)2+…+(axn-a
)2]
=a2·
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2]
=a2s2.
(1)数据x1,x2,…,xn与数据x1+b,x2+b,…,xn+b的方差相等;
(2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2;
(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.反映了方差的性质,利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.
[活学活用]
1.已知一组数据x1,x2,…,x8的平均数是2,方差为6,则数据x1-1,x2-1,…,x8-1的平均数是________,方差是________.
答案:
1 6
2.已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数是-2,方差是4,则数据2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数是________,方差是________.
答案:
-1 16
统计图表中的方差问题
[典例] (广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据.
(2)计算
(1)中样本的均值
和方差s2.
(3)36名工人中年龄在
-s与
+s之间有多少人?
所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
[解]
(1)36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以它在组中的编号为2,
所以所有样本数据的编号为4n-2(n=1,2,…,9),
其年龄数据为:
44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由均值公式知:
=
=40,
由方差公式知:
s2=
[(44-40)2+(40-40)2+…+(37-40)2]=
.
(3)因为s2=
,s=
,
所以36名工人中年龄在
-s和
+s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数,
即40,40,41,…,39,共23人.
所以36名工人中年龄在
-s和
+s之间的人数所占的百分比为
×100%≈63.89%.
(1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后,再利用方差含义求出方差.
(2)利用组中值求出的方差为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它能粗略估计方差.
[活学活用]
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量
指标值
分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图:
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
解:
(1)如图所示:
(2)质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
层级一 学业水平达标
1.给出下列说法:
①一组数据不可能有两个众数;②一组数据中的方差必须是正数;③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后,方差恒不变;④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率,其中错误的个数有________个.
答案:
2
2.某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=________.
解析:
5个数据的平均数
=
=7,所以s2=
×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=3.2.
答案:
3.2
3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:
环),结果如下:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.
解析:
易知均值都是90,甲的方差为s
=
×[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4.
乙的方差为s
=
×[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2.∴s
>s
答案:
2
4.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图,若去掉一个最高分和一个最低分,则剩余分数的方差为________.
解析:
去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据为84,84,84,86,87,其均值为85,方差为s2=
[(84-85)2×3+(86-85)2+(87-85)2]=
.
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