初二升初三数学暑假第17讲平面向量的运算.docx
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初二升初三数学暑假第17讲平面向量的运算
8升9数学(暑假)辅导教案
学员姓名:
学科教师:
年级:
辅导科目:
授课日期
××年××月××日
时间
A/B/C/D/E/F段
主题
平面向量的运算
教学内容
1.理解实数与向量相乘的意义,会画实数与向量相乘所得的向量,会进行向量的线性运算和化简算式;
2.知道向量加法、实数与向量相乘的有关运算律;
3.知道平行向量定理,知道向量的线性表示和向量的分解的意义.
(此环节设计时间在40-50分钟)
回顾上次课的预习思考内容
向量的加法和减法的运算方法是什么?
怎么表示的?
平行四边形法则是怎么表示的?
(任取两个向量,作图说明下)
参考答案:
向量的加法和减法的运算方法是三角形法则;
如图所示:
任取两个向量作图
我们知道,那么?
?
即几个相同的向量相加,是否能像几个相同的数相加一样呢?
以上面问题作图说明一下。
参考答案:
;
如图:
作出,此时,又由于与方向相同且
故,∴同理:
类似的也可以有:
注意:
根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,,体会实数与向量相乘的几何表示,初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量.
知识点归纳:
一般的,设为正整数,为向量,我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时,表示与同向且长度为的向量.
在此基础上规定向量的另一种新的运算,即实数与向量相乘的运算:
为实数,为向量;如果,那么的长度;的方向:
当时,与同方向;当时,与反方向。
如果或,那么;
根据实数与向量相乘的意义:
如图,矩形ABCD中,E、M、F、N是AB、DC的三等分点,设试用向量表示向量.
参考答案:
;
如图,已知非零向量,求作
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)。
观察、比较
(1)与
(2),(3)与(4),(5)与(6)的结果,你有什么发现?
参考答案:
图略;;;
通过前面的发现,讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。
注意引导实数变成一般字母的规律;同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证
设为实数,为向量,则
(1)实数与向量相乘的结合律:
;
(2)实数与向量相乘对于实数加法的分配律:
;
(3)实数与向量相乘对于向量加法的分配律:
.
1.下面给出四个命题中不正确的是()
A.对于实数和向量恒有:
B.对于实数、和向量,恒有
C.对于实数和向量,若,则有
D.对于实数和向量,若,则
2.计算:
.
3.如果向量满足关系式,试用向量表示向量.
参考答案:
1.C.3.
若是非零向量,,那么向量与有什么位置关系?
答案:
若m为正数,则与同向,;
若m为负数,则与反向,.
如图,在等腰梯形ABCD中,,EF是梯形中位线,AD=2,BC=4,设,能将向量用向量表示出来吗?
参考答案:
∵∴且
结合图形可知与同向,与反向;又
∴∴
备注:
老师适当给出规范过程供学生模仿;
已知是非零向量,如果,那么能用表示出来吗?
答案:
如果是非零向量,那么由可知与同向或反向;设,得;当与同向时,;当与反向时,,
如果,那么;
平行向量定理:
如果向量与非零向量平行,那么存在唯一实数m,使.
1.设非零向量,,满足,判断向量,是否平行?
2.已知,其中是非零向量,判断向量,是否平行?
参考答案:
1.平行;2.平行
(此环节设计时间在20-30分钟)
例题1:
我们把长度为1的向量叫做单位向量,通常用符号表示,模长表示为:
,则下列说法错误的是()
A.有无数个B.不同的单位向量,它们的方向不同
C.设是非零向量,且,则D.设是非零向量,且,则
参考答案:
C备注:
重点强调单位向量的概念;
试一试:
若向量与单位向量的方向相同,且,则=________.(用表示)
参考答案:
例题2:
如图,已知两个不平行的向量.
先化简,再求作:
.
(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)
解:
如图:
则为所求
备注:
老师注意总结引出以下概念:
1.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.
2.如果是两个不平行的向量,、是实数,那么叫做线性组合.
例题3:
如图,梯形中,//,、是、的中点,若,,那么用、的线性组合表示向量.
解:
∵∴
∴.
备注:
注意已知向量和所求向量的方向,要求学生习惯性在图中标出。
试一试:
在△中,点在边上,,,,那
参考答案:
.
如图,给定两个不平行的向量,对于平面内任意一个向量,都可以确定它关于的分解式吗?
参考答案:
如图,在平面内取一点O,作,,;再作直线OA、OB.
设点C不在直线OA和OB上,过点C分别作直线OA、OB的平行线,由于向量不平行,可知所作两直线分别与直线OB、OA有唯一的交点,记为N、M.作向量、.
因为,所以存在唯一的实数,使;
因为,所以存在唯一的实数,使.
而四边形OMCN是平行四边形,因此
即
如果点C在直线OA或OB上,那么或.这时得
或
所以关于、的分解式总是确定的.
备注:
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.用上面的方法画图,可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.
试一试:
如图,平行四边形中,点、分别是边、的中点,设,.
(1)分别求向量、、关于、的分解式;
(2)作出向量分别在、方向上的分向量.(画出图形,写出结论,不要求写作法)
答案:
(1);;;
(2)作图略
此环节设计时间在30分钟左右(20分钟练习+10分钟互动讲解)。
1.已知两个不平行的向量,化简并求作:
参考答案:
;图略
2.如图,在正方形网格中,每一个小正方形的边长都是1,已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成下列问题:
(1)设,,判断向量是否平行,说明理由;
(2)在正方形网格中画出向量:
,并写出的模.(不需写出做法,只要写出哪个向量是所求向量).
解:
(1)∵∴∴
(2)图略.
3.如图,已知,点A、G、B、C分别在和上,.
(1)求的值;
(2)若,,用向量与表示.
解:
(1)∵∴
∵∴∴
(2)∵,∴
∵∴=
4.如图,在中,点是边的中点,,.
(1)求的长;
(2)设,,求向量(用向量、表示).
解:
(1)∵点D是边AB的中点,,∴
∴,
∴,又公共.∴∽
∴,即,∴
(2)∵点是边的中点,∴
∴
(此环节设计时间在5-10分钟内)
让学生回顾本节课所学的重点知识,以学生自我总结为主,学科教师引导为辅,为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】
1.如图,在中,点是重心,设向量,,那么向量 (结果用、表示).
2.已知是△的重心,设,,那么=(用、表示).
3.如图,梯形中,∥,,,,请用向量表示向量.
4.在△中,点在边上,,,,则.
5.如图,点E是平行四边形ABCD边BC上一点,且,点F是边CD的中点,AE与BF交于点O,
(1)设,试用、表示;
(2)求的值。
参考答案:
1..2..3..4..
5.
(1);
(2)的值为1
【预习思考】
画30°、45°、60°的直角三角形,完成下列表格
A
tanA
cotA
sinA
cosA
30°
45°
60°
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- 关 键 词:
- 初二 初三 数学 暑假 17 平面 向量 运算