乐学教育第一轮复习函数与导数综合大题docx.docx
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乐学教育一一函数与导数综合题
题型一:
关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令f\x)=0得到两个根;第二步:
列表如下;第三步:
由表可知;
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:
第一种:
变更主元(即关于某字母的一次函数)•-…题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:
分离变最求最值(请同学们参考例5);第三种:
关于二次函数的不等式恒成立;第四种:
构造函数求最值•…题型特征/(X)>g(x)恒成立
o=/(x)-g(x)>0恒成立;参考例4;
例1.已知函数/(x)=-x3-hx2+2x+atx=2是.f(x)的一个极值点.
2
(I)求/(x)的单调递増区间;(II)若当XGll,3]时,f(x)-cr>一恒成立,求Q的取值范围.
例2.已知函数/(x)=x3+QX2-\-ax-\-b的图象过点P(0,2).
(1)若函数/(x)在%=处的切线斜率为6,求函数y=/(x)的解析式;
(2)若d>3,求函
数歹二/C0的单调区间。
例3.设/(x)=,g{x)=cix+5-2a{a>0)o
x+1
(1)求/(x)在兀w[0,1]上的值域;
(2)若对于任意%,e[0,l],总存在如丘[°」],使得gO())=/O])成立,求。
的取值范围。
例4.已知函数/(X)=A:
3+做2图象上一点P(l")的切线斜率为一3,
g(x)=x3+-―x2一(/+1)兀+3(t>0)
(I)求d"的值;(II)当兀引一1,4]时,求/(x)的值域;
(III)当xell,4J时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。
例5.己知定义在R上的函数/(x)=ax3-2ca2+Z?
(。
>0)在区间[—2,1]上的最人值是5,最小值是一11.
(I)求函数/(兀)的解析式;(II)若/丘[一1,1]时,广(兀)+饥50恒成立,求实数兀的取值范ffl.
例6.已知函数f(x)=x3+3/wa2+m2,在兀=一1时冇极值(),则
%32VT6
例7.己知函数/(%)=—图彖上斜率为3的两条切线间的距离为,丙数
a-5
3/?
r2
g(x)=/G)-r+3.
a~
(1)若函数g(x)在x=l处有极值,求g(x)的解析式;
若函数g(x)在区间[-1,11h为増函数,-mZ?
+4>gU)在区间[-1,1]h都成立,求实数加的
取值范围.
题型二:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与X轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
第一种:
转化为恒成立问题即/U)>0或f(兀)<0在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在o的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;若在o的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!
有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
第二种:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;参考08年高考题;
第三种方法:
利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;可参考第二次市统考试卷;
特别说明:
做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是要弄清楚两句话的区别;请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题(金考卷第5套”
(2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组人主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
例&已知函数/(X)=丄兀3_(R+1)兀2g(x)=丄_&,且/(兀)在区间(2,+00)上为增函数.
323
(1)求实数R的取值范围;
(2)若函数f(x).与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数R的取值范
围・
23
例9.已知函数/(%)=ax一3广+1——•a
(I)讨论函数/co的单调性。
(II)若函数y二/(兀)在A、B两点处取得极值,且线段AB与x轴冇公共点,求实数a的取值范围。
例10・己知函数f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中a为实数.
(I)求导数f(x):
(II)若f(-1)=0,求f(x)在[―2,2]上的最大值和报小值;
(III)若f(x)在(-OO,一2〕和2+«>)上都是递增的,求a的取值范围
例11.已知:
函数/(x)=%3-ax1+bx+c
(I)若函数/(x)的图像上存在点P,使点P处的切线与兀轴平行,求实数的关系式;
(II)若函数/(兀)在x=-\和兀=3时取得极值且图像与兀轴冇且只冇3个交点,求实数c的取值范围.
例12.设夕=/(兀)为三次函数,且图像关于原点对称
(I)求/(兀)的解析式;(II)证明:
当兀丘(1,十a)时,函数/(兀)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.
例13.在函数f(x)=ax'+bx^a0)图像在点(1,/(D)处的切线与直线6x+y+7=0.¥行,导函数f(x)的最小值为一12。
(I)求°、乃的值;
(2)讨论方程f(x)=m解的情况(相同根算一根)。
例14.已知定义在R上的函数/(x)=ax'+bx+c(a,b,c丘R),当兀=一1时,于(兀)取得极大值3,/(0)=I.
(I)求/(x)的解析式;(II)己知实数f能使函数f(x)在区间(t,t+3)±既能取到极大值,又能取f(x\
到极小值,记所有的实数/组成的集合为M.请判断函数g(x)=GM)的零点个数.
例15.已知函数/(%)=kx3-3(k4-l)x2-2Z:
2+4,^f(x)的单调减区间为((),4)
(D求k的值;
di)若对任意的1引一1,1],关于乂的方程+5兀+。
=/(/)总有实数解,求实数。
的取值范亂
例16.己知函数/(x)=ax^-\-bjc-x(xeR,a,b是常数),且当兀=1和x=2时,函数/(兀)取得极值.
(I)求函数/(x)的解析式;(II)若曲线y=/(无)与g(x)=-3x-m(-2 例17.已知函数正项数列满足: d()=0,a}=\, (nwN)(nwN') 5 (I)求证: an+]+afJ_}=—; (II)若仇=%—2an(nwNj,求证: {bn}是等比数列; (III)求和: b、+2Z? 9+3g+•••+Z? j 例i&函数f(x)=x3-3t2x+m(xe/? Z>0,m>/为常数)是奇函数。 (I)求实数加的值和函数.f(x)的图像与a■轴交点坐标: (II)设g(x)=|/(%)|>xg[0,1],求g(x)的最大值F(t). 例19.已知f(x)=x'+bx'+cx+2・ ⑴若f(x)在X=1时有极值一1,求b、C的值; £_2 ⑵若函数y=x2+x-5的图象与函数y=——的图彖恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围. X 例20.设函数f(x)=-x3-x2+axfg(x)=2x+b,当x=l+J3时,.f(x)取得极值. (1)求d的值,并判断/(1+V2)是函数/(x)的极大值还是极小值; (2)当Xg[-3,4]时,函数/(X)与g(x)的图象冇两个公共点,求“的取值范围. B+cos(A+C)](2临+亍)恒成立. 例21.己知/(x)=kx3-x2+X-5在R上单调递増,记AABC的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c,若a? +c? \方2+qc时,不等式/[m+sin2 (I)求实数R的取值范圉;(II)求角cosB的取值范圉;(III)求实数〃2的取值范围。 题型三: 函数的切线问题; 问题1: 在点处的切线,易求; 问题2: 过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步: 设切点,求斜率;第二步: 写切线(一般用点斜式);第三步: 根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程;第四步: 判断三次方程根的个数; 例22.已知函数f(x)=ax3+hx2^cx在点无处取得极小值一4,使其导数f\x)>0的兀的取值范国为(1,3),求: (D/(x)的解析式; (2)若过点P(-l,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数加的取值范围. 例23.已知/(x)=x3-ax1-4x(a为常数)在x=2时取得一个极值, (1)确定实数/的取值范围,使函数/(x)在区间[f,2]上是单调函数; (2)若经过点八(2,c)(CH-8)可作曲线y=/(x)的三条切线,求C的取值范围. 题型四: 函数导数不等式线性规划精彩交汇; 1.10 例24.设函数g(x)=-x+—ar-bx(a,beR),在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为 32 /(兀). (1)若方程/(X)有两个实根分别为・2和4,求/(X)的表达式; ⑵若g(兀)在区间[一1,3]上是单调递减函数,求cr^b2的最小值。 1.7 例25.己知函数/(%)=-%'+ax—bx(a,b丘R) (1〉若y=/(尢)图象上的是(1,一一)处的切线的斜率为一4,求夕=/(%)的极大值。 (2)y=/O)在区间[-1,2]上是单调递减函数,求a+b的最小值。 例26.已知函数f(x)=mx"+nx2(m,nwR,m>n且)的图象在(2,/ (2))处的切线与兀轴平行. ⑴试确定加、〃的符号: (II)若函数y=/Xx)在区间[仏加]上冇最大值为m-n2,试求加的值. 题型五: 函数导数不等式数列的精彩交汇 Y— 例27.已知函数/(X)=(Q,/? 为常数且QH0)满足/ (2)=1且/(X)=兀有唯一•解。 ax+b (1)求/(兀)的表达式; (2)记兀=f(xn_x)(«eN^n>1),且兀]=/(l),求数列{%„}的通项公式。 4 (3)记y“=兀〃•£+1,数列{儿}的前n项和为S“,求证S”<- 例2&己知函数f{x)=x+—4-b(x0),其中a,bwR. x (I)若曲线y=/(x)在点p(2,/ (2))处的切线方程为y=3x+l,求函数/(兀)的解析式;(II)讨论函数/(兀)的单调性; -,2,不等式/(X)<10在 (111)若对于任意的dw 丄,1上恒成立,求b的取值范围. 4 例29.在数列{%}中,q=2,色=8,且已知函/(兀)=一(色+2一色+1)兀’一(3暫+1一4色)兀 3 5WN\在兀=1时取得极值.(I)求数列{cin}的通项线; 2 (II)设3"仇=(一1)匕,且|/? ]|+1/? 21+•••
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