完整版椭圆测试题doc.docx
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完整版椭圆测试题doc
椭圆测试题
一、选择题(本题共
12道小题,每小题
5分,共60分)
M:
x
2
y
2
1.已知直线x
y
3
0交椭圆
1
6
3于A,B两点,若C,D为椭圆M上的
两点,四边形
ACBD的对角线CD⊥AB,则四边形ACBD的面积的最大值为(
)
A.43
B.86
C.26
D.83
3
3
3
3
2.已知F1、F2是双曲线M:
y
2
2
x21的焦点,y
25x是双曲线M的一条渐近线,离
4
m
5
心率等于3的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,设
4
|PF1|·|PF2|=n,则(
)
A.n=12
B.n=24C.n=36
D.n12且n
24且n36
2
2
3.已知椭圆E:
x2
y
21(a
b0)的右焦点F,短轴的一个端点为
M,直线
a
b
l:
3x
4y
0交椭圆E于A,B两点,若
AF
BF
4,且点M到直线l的距离不小于
4,则椭圆的离心率
e的取值范围为(
)
5
A.(0,
3]
B.(0,3]
C.[
3,1)
D.[3,1)
2
4
2
4
1
4.已知焦点在
x轴上的椭圆的离心率为
2,且它的长轴长等于圆
C:
x2+y2-2x-15=0的
半径,则椭圆的标准方程是
(
)
A.x2
+y2
=1
B.x2
+y2
=1
4
3
16
12
C.x2
+y2=1
D.x2
+y2
=1
4
16
4
5.设椭圆的标准方程为
x2
y
2
1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是(
)
k
3
5
k
A.4 B.3 C.k>3 D.3 6.设离心率为 1的椭圆x2 y2 1的右焦点与双曲线 x2 y2 1的右焦点重合,则椭圆 2 a2 b2 3 方程为( ) (A)x2 y2 1 (B)x2 y2 1 (C)x2 y2 1 (D)x2 y2 1 4 3 8 6 12 16 16 12 1 7.已知椭圆 E的中心在坐标原点,离心率为 1,E的右焦点与抛物线 C: y2 8x的焦点重 2 合,A,B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 x2 8.已知P是椭圆 4+y2=1 上的动点,则 P点到直线 l: x+y-2 5=0 的距离的最小值为 ( ) 10 5 10 2 A. 2 B. 2 C. 5 D.5 x2 y 2 1 9.已知A,B是椭圆E: a2 b2 (a>b>0)的左、右顶点, M是E上不同于A,B的 4 任意一点,若直线AM,BM的斜率之积为 9,则E的离心率为( ) 2 3 2 5 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 y 1x2(p0) x2 y2 1 10.已知抛物线 2p 焦点是F,椭圆5 的右焦点是 F2 2 交 ,若线段FF 抛物线于点M,且抛物线在点M处的切线与直线x 3y 0平行,则p=( ) A. 3 B. 3 C.2 3 D.4 3 16 8 3 3 11.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若 PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则 C的离心率为( ) A.1 3 B.23 C. 3 1 D. 31 2 2 12.已知椭圆 x2 y2 1左右焦点分别为 F1,F2,过F1的直线l交椭圆于 A,B两点,则 8 2 |AF2| |BF2|的最大值为( ) A.32 B.42 C.62 D.72 二、填空题(本题共 4道小题,每小题 5分,共 20分) 13.已知椭圆 x2 y2 1(ab 0)的左、右焦点为 1 2 ,离心率为 3,过F2 的直线l C: 2 2 F,F 3 a b 交椭圆C于A,B两点.若 AF1B的周长为 43,则椭圆C的标准方程为 . 2 14. 已知椭圆x2 y2 1的离心率为 2,则实数m= . 4 m 2 15. 设椭圆x2 y2 1ab0的上顶点为B,右顶点为A,右焦点为F,E为椭圆下半部 a2 b2 分上一点,若椭圆在 E处的切线平行于 AB,且椭圆的离心率为 2,则直线EF的斜率 2 是 . 16. x2 y2 1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线 已知椭圆 b2 a2 l: x2y0交椭圆于A,B两点,若|AF||BF|2,点P到直线l的距离不小于 5 5 ,则椭圆离心率的取值范围是. 三、解答题(本题共4道小题,第1题15分,第2题15分,第3题15分,第4题15分,共 60分) 17.如图所示,直线 y kxb(k 0,b 0)与椭圆x2 y 2 1交于A,B两点,记 OAB的面 4 积为S. (1 )当k 0时,求S的最大值; (2 )当AB 2,S 1 时,求直线 AB的方程. x 2 y 2 1(ab0)过点(0,4),离心率为3 . 18.设椭圆C: 2 b 2 a 5 (1)求椭圆C的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标. 5 3 x2 y2 1 19.设椭圆C: 2 21(ab0)的焦点为F1(3,0)、F2(3,0),且该椭圆过点 (3,). a b 2 (1 )求椭圆C的标准方程; (2 )若椭圆C上的点M(x0,y0)满足MF1 MF2,求y0的值. x2 y2 0)的离心率是 2,其左、右焦点分别为 F1, 20.已知椭圆C: 2 b 21(ab a 2 F,短轴顶点分别为 A,B,如图所示, ABF2的面积为1. 2 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点P(1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M,N两点(异于A,B点),证明: 直线BM和BN的斜率和为定值. 4 试卷答案 1.B 由题意可得,解得或 不妨设, 则 ,直线的方程为 可设直线的方程为 联立,消去,得到 直线与椭圆有两个不同的交点 则 解得 设, , 当时,取得最大值 四边形ACBD的面积的最大值为 故选 2.A 5 因为 是双曲线的渐进线,故 ,所以 ,双曲线方程为 ,其 焦点坐标为 .又椭圆的离心率为 ,故椭圆的半长轴长为 .不妨设 ,则 由双曲线和椭圆的定义有 ,故 , ,选A. 3.A 不妨取M 0,b 4b 4 ,M到l的距离d ,b1,设左焦点F1,由椭圆的对称性 5 5 BFAF1 AFBFAFAF1 2a4,a 2,4c2 b2 1,c 3, e 3 故选A 2 4.A 故选: A. 5.A由题意得k-3>5-k>0,所以4 6.D 由题意得,双曲线的方程,可知, 又椭圆的离心率为,即,所以, 则,所以,故选D. 7.B 结合抛物线的标准方程可得椭圆中: , 且,故: , 由通径公式可得: . 本题选择B选项. 8.A 6 设,由点到直线距离公式有 ,最小值为. 9.D 由题意方程可知,A(-a,0),B(a,0), 设M(x0,y0),,则,整理得: ①即②联立①② 得 故选D 10.D 设点M(x,y),抛物线,F,由点三点共线 得到解得p=. 11.D 在中, 设,则, 又由椭圆定义可知 则离心率, 故选D. 12.D 分析: 先求出|AB|的最小值,再求的最大值. 详解: 由题得 所以 当AB⊥x轴时,|AB|最小,|A最大. 当AB⊥x轴时,|AB|= 所以|A最大值为 故答案为: D 7 13.x2 y2 1 3 2 因为离心率为 ,过的直线交于 两点.若 的周长为 ,所以 ,解得的方程为,故答案为. 14.2或8 ①若焦点在 轴上,则 ,即 , ∴ ∴ ,即. ②若焦点在 轴上,则 ,即 , ∴ ∴得到 ,即 . 故答案为 或. 15. 2 16. ,3 4 0 2 17. (1)由题意得,此时0b1, 将y b代入椭圆方程得: x2 b2 1,x 21 b2 ,所以,AB 41 b2 , 4 S 1ABb 1b2b2(1b2)b2 2(1b2)b2 1 2 2 当且仅当b2 1,即b 2 (0,1) 时等号成立,所以 S的最大值为 1. ...............7分 2 2 y kx b 2 1 2 2 2 2 (2)由 2 得(k )x 2kbxb 1 0(*),其中 1, x y2 4 4k b 1 4 当0时,设A(x1,y1)、B(x2,y2),方程(*)两个不等根为x1、x2,则有 x1 x2 2kb,x1x2 b2 1, k2 1 k2 1 4 4 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2[1(y1 y2)2] [1(y1 y2)2](x1x2)2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 8 1 2 2 AB 1 2 4k b 2 ,① .................11分 k 1 2 k 4 由AB2,S 1得,O到直线AB距离为 1,则 |b| 1,即b2 k2 1,...........13分 1 k2 代入①化简得, k4 k2 1 0,所以,k2 1,b2 k2 1 3,经检验,满足 0, 4 2 2 又因为k 0,b 0,所以k 2,b 6,直线AB的方程为y 2 x 6 ........15分 2 2 2 2 (不考虑 0或者未检验扣 1分) 18. (1)由题意得: b c 3 2 b 2 c 2 ,解得a 5, 4, ,又因为a a 5 2 2 椭圆C的方程为x y 1. .................6分 25 16 (2)过点(3,0)且斜率为 4的直线方程为 y 4 (x 3) , 5 5 设直线被椭圆 C所截线段的端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),中点为M(x1+x2,y1 y2), 2 2 2 2 2 y 4(x3)与x y 3x 8 0, 410恒成立, 1联立消元得: x 5 25 16 方程两个不等根为 x1、x2,x1 x2 3,y1 2 y2 4(3 3) 6,x1x2 8 2 2 5 2 5 所以,直线被椭圆 C所截线段中点坐标为 ( 3,6 ); ..................10 分 2 5 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2[1(y1 y2)2] [1(y1 y2)2](x1 x2)2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 AB 1 16 32 4( 8) 41 直线被椭圆C所截线段长为 41. ...................15分 25 5 5 (解出x1、x2再求线段长也可,中点坐标也可以用点差法求解,但如果不解点而又不考虑 0扣1分,弦长公式不证明扣 1分) 2 1 ) 2 3 ( 19. (1)由题意得, 2 1,且a 2 2 3 ,解得 a2 b2 b
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