吉林省长春市普通高中学年高三质量监测一数学理试题 Word版含答案.docx
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吉林省长春市普通高中学年高三质量监测一数学理试题Word版含答案
2017-2018学年
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合,则(为自然数集)为()
A.B.C.D.
3.是边长为1的等比三角形,已知向量满足,,则下列结论正确的是()
A.B.C.D.
4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:
粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约()
A.164石B.178石C.189石D.196石
5.:
“,使”,这个的否定是()
A.,使B.,使
C.,使D.,使
6.按照如图的程序框图执行,若输出结果为31,则处条件可以是()
A.B.C.D.
7.已知递减等差数列中,,成等比,若为数列的前项和,则的值为()
A.-14B.-9C.-5D.-1
8.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是()
A.B.C.D.
9.已知原点到直线的距离为1,圆与直线相切,则满足条件的直线有多少条?
A.1条B.2条C.3条D.4条
10.“龟兔赛跑”是一则经典故事:
兔子与乌龟在赛道上赛跑,跑了一段后,兔子领先太多就躺在道边睡着了,当他醒来后看到乌龟已经领先了,因此他用更快的速度去追,结果还是乌龟先到了终点,请根据故事选出符合的路程一时间图象()
11.双曲线的左右焦点分别为,为右支上一点,且,,则双曲线的渐近线方程是()
A.B.C.D.
12.已知实数满足,实数满足,则的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式中的常数项是.
14.动点满足,则的最小值为.
15.已知三棱锥,满足两两垂直,且,是三棱锥外接球上一动点,则点到平面的距离的最大值为.
16.如图,直角中,,,作的内接正方形,再做的内接正方形,…,依次下去,所有正方形的面积依次构成数列,其前项和为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知.
(1)求的单调增区间;
(2)在中,为锐角且,,,,求.
18.(本小题满分12分)
某人种植一种经济作物,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455,已知当年产量低于350时,单位售价为20元/,若当年产量不低于350而低于550时,单位售价为15元/,当年产量不低于550时,单位售价为10元/.
(1)求图中的值;
(2)试估计年销售额的期望是多少?
19.(本小题满分12分)
已知四棱锥中,底面为矩形,底面,,,为上一点,且平面.
(1)求的长度;
(2)求与平面所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点,求证直线与的交点在一条直线上.
21.(本小题满分12分)
已知函数,,当时,与的图象在处的切线相同.
(1)求的值;
(2)令,若存在零点,求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,为圆上一点,点在直线的延长线上,过点作圆的切线交的延长线于点,.
(1)证明:
;
(2)若,求圆的半径.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)曲线的极坐标方程为,求与的公共点的极坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数的最大值为.
(1)求的值;
(2)若,,求的最大值.
长春市普通高中2017届高三质量监测
(一)
数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.B2.C3.D4.C5.B6.C
7.A8.C9.C10.D11.B12.A
简答与提示:
1.【意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.
【试题解析】B 题意可知,,,则,对应的点在第二象限.故选B.
2.【意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.
【试题解析】C由已知,则,故选C.
3.【意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.
【试题解析】D 由已知,的边长为1,,所以,,则,因为,故选D.
4.【意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.
【试题解析】C由已知,抽得样本中含谷27粒,占样本的比例为,则由此估计总体中谷的含量约为石.故选C.
5.【意图】本题是对逻辑问题中的特称的否定进行考察.
【试题解析】B 由已知,的否定为,,故选B.
6.【意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.
【试题解析】C 有已知,,,,,,,符合条件输出,故选C.
7.【意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.
【试题解析】A 由已知,,即,且为递减数列,则.有,故选A.
8.【意图】本题主要考查三视图的还原,还涉及体积的求取.
【试题解析】C由题意,此模型为柱体,底面大小等于主视图面积大小,即几何体体积为,故选C.
9.【意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.
【试题解析】C 由已知,直线满足到原点的距离为,到点的距离为,满足条件的直线即为圆和圆的公切线,因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.故选C.
10.【意图】本题背景基于经典国学故事,考查图像对函数特点的描述.
【试题解析】D由故事内容不难看出,最终由乌龟先到达终点,故选D.
11.【意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.
【试题解析】B 由已知,,则.又因为,则,即.则渐近线方程为,故选B.
12.【意图】本题是考查导数的几何意义,但因为函数隐含在里面,不容易分离出来.
【试题解析】A 因为,则,即因为,则,即.要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值.因为,则,有,,即过原点的切线方程为.最短距离为.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.14.15.16.
简答与提示:
13.【意图】本题考查二项展开式系数问题.
【试题解析】常数项为.
14.【意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.
【试题解析】由已知可得,线性可行域如图所示,则线性目标函数在点取最小值3.
15.【意图】本题考查三棱锥的外接球问题,特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.
【试题解析】由已知,可将三棱锥放入正方体中,其长宽高分别为,则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上,因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等,则.则到面距离的最大值为.
16.【意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识,对学生的逻辑推理能力提出很高要求,是一道较难题.
【试题解析】数列{an}构成以为首项,以为公比的等比数列,故.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
【意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用,还有解三角形的内容,如正弦定理等.
【试题解析】
(1)由题可知,
令,,即函数的单调递增区间为,.(6分)
(2)由,所以,解得或(舍)
因此.(12分)
18.(本小题满分12分)
【意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,以及统计案例的相关知识,同时考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解:
(1)由已知,,
即,有.(6分)
(2)由
(1)结合直方图可知
当年产量为时,其年销售额为元;
当年产量为时,其年销售额为元;
当年产量为时,其年销售额为元;
当年产量为时,其年销售额为元;
则估计年销售额的期望为
(元).(12分)
19.(本小题满分12分)
【意图】本小题以四棱锥为载体,考查立体几何的基础知识.本题通过分层设计,考查了线面角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解:
(1)如图所示建立空间直角坐标系,
由已知,,,,.
令,因为,所以,
则.因为且.
所以,
则.即的长为.(6分)
(2)因为,则,
因为面的一个法向量,令与面成角为,
则,故.(12分)
20.(本小题满分12分)
【意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程,直线和椭圆的位置关系及定值的求法,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】
(1)由题意可知两焦点为与,且,因此椭圆的方程为.(4分)
(2)①当不与轴重合时,
设的方程为,且,
联立椭圆与直线消去可得,即,
设,
则:
①
:
②
②-①得
则,即.
②当与轴重合时,即的方程为,即,.
即:
①
:
②
联立①和②消去可得.
综上与的交点在直线上.(12分)
21.(本小题满分12分)
【意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的单调性等,以及函数图像的判定,考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】
(1)当时,
,则,又,所以在处的切线方程为,又因为和的图像在处的切线相同,
所以.(4分)
(2)因为有零点
所以
即有实根.
令
令
则恒成立,而,
所以当时,,当时,.
所以当时,,当时,.
故在上为减函数,在上为增函数,即.
当时,,当时,.
根据函数的大致图像可知.(12分)
22.(本小题满分10分)
【意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】
(1)由已知连接,因为
且公用,所以即(5分)
(2)因为,所以
因为,所以,即
,则,故,
所以半径是.(10分)
23.(本小题满分10分)
【意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】
(1)曲线的普通方程为(5分)
(2)由已知,即,
因为,有,则,
故交点的极坐标为(10分)
24.(本小题满分10分)
【意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式解法等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】
(1)由于,
所以.(5分)
(2)由已知,有,
因为(当取等号),(当取等号),
所以,即,
故(10分)
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