华东师大版九年级数学上全册完整教案.docx
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华东师大版九年级数学上全册完整教案
华东师大初中九年级数学上册教案
21.1.二次根式
(1)
教学目标:
1、理解二次根式的概念,并利用a(a≥0)的意义解答具体题目.
2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.教学重难点关键:
1.重点:
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;
2.难点与关键:
利用“a(a≥0)”解决具体问题.
教学过程:
一、回顾
当a是正数时,a表示a的算术平方根,即正数a的正的平方根.
当a是零时,a等于0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根.
当a是负数时,a没有意义.
二、概括:
a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,a(a≥0)是一个非负数,它的平方
等于a.即有:
(1)a≥0(a≥0);
(2)(a)2=a(a≥0).
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
注意:
在二次根式a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数.
三、例题讲解
例题:
x是怎样的实数时,二次根式x1有意义?
分析要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数.
解:
被开方数x-1≥0,即x≥1.所以,当x≥1时,二次根式x1有意义.
思考:
a2等于什么?
我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,⋯⋯分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:
概括:
当a≥0时,a2a;当a<0时,a2a.
这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方,运用这个性质,可以将它“开方”出来,从而达到化简的目的.例如:
4x2(2x)2=2x(x≥0);x4(x2)2x2.
四、练习:
x取什么实数时,下列各式有意义.
(1)34x;
(2)3x2;(3)(x3);(4)3x443x
五、拓展
1
例:
当x是多少时,2x3+1在实数范围内有意义?
x1
11分析:
要使2x3+在实数范围内有意义,必须同时满足2x3中的≥0和中的x+1≠0.
x1x1
2x30
解:
依题意,得
x10
由①得:
x≥-
2
由②得:
x≠-1
31
当x≥-3且x≠-1时,2x3+1在实数范围内有意义.
2x1
例:
(1)已知y=2x+x2+5,求x的值.(答案:
2)
y
(2)若a1+b1=0,求a2004+b2004的值.(答案:
2)
5
六、归纳小结(学生活动,老师点评)本节课要掌握:
1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.
七、布置作业:
教材P4:
1、2
21.1二次根式
(2)
教学目标:
1、理解a(a≥0)是非负数和(a)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2、通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出a(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平
方根的意义导出(a)2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.
2
=a
教学重难点关键:
1.重点:
a(a≥0)是一个非负数;(a)2=a(a≥0)及其运用.
2.难点、关键:
用分类思想的方法导出a(a≥0)是一个非负数;?
用探究的方法导出(a)
(a≥0).
教学过程:
一、复习引入(学生活动)口答
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,a叫什么?
当a<0时,a有意义吗?
二、探究新知
议一议:
(学生分组讨论,提问解答)
a(a≥0)是一个什么数呢?
老师点评:
根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出
a(a≥0)是一个非负数.
做一做:
根据算术平方根的意义填空:
4)2
;(9)2
;(3)2
13)2
;
(2)
;(0)2
老师点评:
①、4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,
②、4是一个平方等于4的非负数,因此有(4)2=4.
同理可得:
(2)2=2,(9)
2=9,(3)2=3,(13)2=31,(
7)
2,(0)=0,
所以
三、例题讲解
a(a≥0)
例1计算:
1.(32)
2.(35)2,3.(65)
4.(27)2
分析:
我们可以直接利用
a)
2
2=a(a≥0)的结论解题.
解:
1.
32)
2.
2=32·(5)2=32·5=45,
3.
56)
4.
7)
2
2(7)27
22
四、巩固练习
计算下列各式的值:
18)2
2)2
9)2
4
0)
478)2(35)2(53)2
五、应用拓展
例2计算
1.(x1)
x≥0),2.
a2)
,3.(a22a1)2,4.(4x212x9)2
分析:
(1)
(2)
(3)
(4)
因为
a2≥0;
2
a+2a+1=(a+1)4x2-12x+9=(2x)
x≥0,所以
x+1>0;
≥0;
2-2·2x
22
3+32=(2x-3)2≥0.
所以上面的4题都可以运用(a)2=a(a≥0)的重要结论解题.
解:
(1)因为x≥0,所以x+1>0,(x1)2=x+1
2)∵a2≥0,∴(a2)2=a2
3)∵a2+2a+1=(a+1)2,又∵(a+1)2≥0,
∴a2+2a+1≥0,∴a22a1=a2+2a+1
22222
4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2,又∵(2x-3)2≥0
2222
∴4x2-12x+9≥0,∴(4x212x9)2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式
(1)x2-3
(2)x4-4
六、归纳小结:
本节课应掌握:
1.a(a≥0)是一个非负数;
七、布置作业:
教材P4:
3、4
2
(3)2x2-3
2.(a)2=a(a≥0);反之:
a=(a)2(a≥0).
21.1二次根式(3)
教学目标:
1、理解a2=a(a≥0)并利用它进行计算和化简.
2、通过具体数据的解答,探究a2=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.
教学重难点关键:
1.重点:
a2=
a(a≥0).
2.难点:
探究结论.
教学过程:
一、复习引入:
(老师口述并板收上两节课的重要内容)
3.关键:
讲清a≥0时,a2=a才成立.
1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式;
2.a(a≥0)是一个非负数;
3.(a)2=a(a≥0).
那么,我们猜想当a≥0时,a2=a是否也成立呢?
下面我们就来探究这个问题.
二、探究新知:
(学生活动)填空:
22=;0.012=;
(1)2=;
老师点评):
根据算术平方根的意义,我们可以得到:
22
=2;0.012=0.01;
因此,一般地:
a2=a(a≥0)
三、例题讲解:
例1化简:
(1)9
(2)(4)2(3)25(4)(3)2
分析:
因为
(1)9=-32,
(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,
所以都可运用a2
=a(a≥0)?
去化简.
解:
(1)9=32=3
(2)(4)=42=4
(3)25=52=5(4)(3)=32=3
四、巩固练习:
(见小黑板)
五、应用拓展
例2填空:
当a≥0时,a2=;当a<0时,a2=,?
并根据这一性质回答下列问题.
(1)若a2=a,则a可以是什么数?
(2)若a2=-a,则a可以是什么数?
(3)a2>a,则a可以是什么数?
分析:
∵a2=a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2”中的数
是正数,因为,当a≤0时,a2=(a),那么-a≥0.
(1)根据结论求条件;
(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据
(1)、
(2)可知a2=│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?
a<0.
解:
(1)因为a2=a,所以a≥0;
(2)因为a2=-a,所以a≤0;
(3)因为当a≥0时a2=a,要使a2
>a,即使a>a所以a不存在;当a<0时,a2
=-a,要使a2
>a,即使-a>a,a<0综上,a<0
例3当x>2,化简(x2)2-(12x)2.
六、归纳小结:
本课掌握:
a2=a(a≥0)及运用,同时理解当a<0时,a2=-a的应用拓展.
七、布置作业:
1.先化简再求值:
当a=9时,求a+12aa2的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:
原式=a+(1a)=a+(1-a)=1;乙的解答为:
原式=a+(1a)=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,的解答是错误的,错误的原因是.
2.若│1995-a│+a2000=a,求a-19952的值.(提示:
注意根式有意义的隐含条件)
3.若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x3)2+x210x25。
21.2二次根式的乘除
(1)
教学目标:
1、理解a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简
2、由具体数据,发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算;?
利用逆向思维,得
出ab=a·b(a≥0,b≥0)并运用它进行解题和化简.
教学重难点关键
1、重点:
a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b(a≥0,b≥0)及它们的运用.
2、难点:
发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0).
教学过程:
一、设疑自探——解疑合探
自探.(学生活动)请同学们完成下列各题.
1.填空:
(1)4×9=,49=;
(2)16×25=,1625=.
(3)100×36=,10036=.
参考上面的结果,用“>、<或=”填空.
4×949,16×251625,100×3610036
2.利用计算器计算填空
(1)2×36,
(2)2×510,
(3)5×630,(4)4×520,
(5)7×1070.
(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.
老师点评:
(1)被开方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,?
并且把这两个二次根式中的
数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
一般地,对二次根式的乘法规定为
a·b=ab.(a≥0,b≥0)
反过来:
ab=a·b(a≥0,b≥0)
合探1.计算:
(1)5×7,
(2)×9,(3)9×27,(4)1×6
分析:
直接利用a·b=ab(a≥0,b≥0)计算即可.
合探2化简
(1)916,
(2)1681,(3)81100,(4)9x2y2,(5)54
分析:
利用ab=a·b(a≥0,b≥0)直接化简即可.
二、质疑再探:
同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?
与同伴交流一下!
三、应用拓展:
判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
2)
412×
25
25=4
×25=412=83
四、巩固练习
1)
计算(生练,师评)①
16×8
②36×210③5a·1ay
五、归纳小结
(2)师生共同归纳)
化简:
20;18;
24;54;
12a2b2
本节课掌握:
1)a·b=ab=
a≥0,b≥0),
ab=a·b(a≥0,b≥0)及运用.
六、作业设计
(一)、选择题
写在小黑板上)
1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,?
那么此直角三角形斜边长是(
A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm
2.化简a1的结果是().A.aB.aC.-aD.-a
3.等式x1x1x1成立的条件是()
A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-1
4.下列各等式成立的是().
A.45×25=85;B.53×42=205;C.43×32=75;D.53×42=206
二)、填空题:
1.1014=.
1
2.自由落体的公式为S=gt2(g为重力加速度,它的值为10m/s2),若物体下落的高度为720m,则下落的时间是
2
三)、综合提高题
探究过程:
观察下列各式及其验证过程.
验证:
2
222
(232)2
验证:
33=32×3=33=3333
888321
21)3
321
同理可得:
4
通过上述探究你能猜测出:
5254,
44
15
a>0),并验证你的结论.
21.
2二次根式的乘除
(2)
教学目标;1、理解a=a(a≥0,b>0)和bb
2、利用具体数据,通过学生练习活动,
们进行计算和化简.
教学重难点关键
a=a(a≥0,b>0)及利用它们进行运算.bb
发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它
a≥0,b>0),
1.重点:
理解a=
b
2.难点关键:
发现规律,归纳出二次根式的除法规定.教学过程;一、设疑自探——解疑合探
自探.(学生活动)请同学们完成下列各题:
1.填空
(1)9=
16
a=a(a≥0,b>0)及用它们进行计算和化简.bb
规律:
3)
规律:
3
老师点评),根据大家的练习和回答,
1)3=
4
4每组推荐一名学生上台阐述运算结果.我们进行合探:
二次根式的除法规定:
一般地,对二次根式的除法规定:
(3)4=
16
16=,16=;
36
2=
5
2.利用计算器计算填空
2)23=
36
2)
a=a(a≥0,b>0),反过来
a=a(a≥0,b>0)bb
面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.
合探1.计算:
(1)
12
3
(2)
31
11
(3)
(4)
28
416
64
8
分析:
上面
4小题利用a=
a(a≥0,
b
b>0)便可直接得出答案.
合探2.化简:
(1
2)
64b2
9a2
3)
9x
64y2
5x
169y2
分析:
直接利用
a=a(a≥0,b>0)就可以达到化简之目的.bb
、应用拓展
已知
9x
x6
9x,且x为偶数,求(
1+x)
x25x4的值.
x21
分析:
式子a=a,只有a≥0,b>0时才能成立.
bb
因此得到9-x≥0且x-6>0,即6 本节课要掌握a=a(a≥0,b>0)和a=a(a≥0,b>0)及其运用.bbbb 1.计算113 213 12的结果是( ). A.25 ; B.2;C. 2 7 7 2.阅读下列运算过程: 13 3, 333 3 (一)、选择题: 四、作业: (写在小黑板上) D.2 7 22525数学上将这种把分母的根号去掉的过程 5555 综合提高题 nn 1)3 m2m ) m>0,n>0) 2)-3 3m23n2 2a2 3mn 2a2 称作“分母有理化”,那么,化简 2 2的结果是( 6 ). A.2B.6 C. 16 D.6 3 (二)、填空题1.分母有理化: (1) 1= __; (2)1=__ ;(3) 10 32 12 25 2.已知x=3,y=4,z=5,那么yzxy的最后结果是 五、反思及感想: 22.1二次根式的乘除(3) 教学目标: 1、理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求. 重难点关键: 1.重点: 最简二次根式的运用. 2.难点关键: 会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)计算 (1)3, (2)32,(3)8 5272a 老师点评: 3=15,32=6,8=2a 552732aa 1.被开 自探2.观察上面计算题的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有什么特点? (有如下两个特点: 方数不含分母;2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.) 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式: (1)35; (2)x2y4x4y2;(3)8x2y3 合探2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长. AB=2.5262= 36 cm) 因此AB的长为6.5cm. 、质疑再探: 同学们,通过学习你还有什么问题或疑问? 与同伴交流一下! 、应用拓展 观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式: 1=1(21)21=2-1 21(21)(21)21 11(32)32 32=(32)(32)32=3-2 同理可得: 1=4-3,⋯⋯ 43从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算(1+1+1+⋯⋯1)(2002+1)的值. 21324320022001分析: 由题意可知,本题所给的是一组分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以达到化简的目的.四、归纳小结(师生共同归纳): 本节课应掌握: 最简二次根式的概念及其运用. 五、作业设计(写在小黑板上) (一)、选择题 1.如果x(y>0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是(). y A. x(y>0)B.xy(y>0)C.xy(y>0)D.以上都不对yy 2.把 a-1)1中根号外的(a-1)移入根号内得( a1 ). A. C.-a1 D. -1a 3.在下列各式中,化简正确的是( 4. 1. A. B. 化简32的结果是( 27 填空题 422化简x4x2y2= =±122C. .(x≥0) a4b=a2 B. bD.x3 ;C.-36; x2=xx1 D.-2 2. aa1化简二次根式号后的结果是a2 综合提高题 1. 已知a为实数,化简: a3-a1,阅读下面的解答过程,请判断是否正确? 若不正确, ? 请写出正确的解 答过程: a 2.若x、y为实数,且y=x244x21,求xyxy的值. x2 解: a3-a1a=aa-a·1a=(a-1)a 21.3二次根式的加减 (1) 教学内容: 二次根式的加减 教学目标: 理解和掌握二次根式加减的方法. 重难点关键: 1.重点: 二次根式化简为最简根式. 2.难点关键: 会判定是否是最简二次根式. 教学过程: 一、设疑自探——解疑合探自探(学生活动): 计算下列各式. 1)22+32; (2)28-38+58;(3)7+27+397;(4)33-23+2 因此,二次根式的被开方数相同是可以合并的,如22与8表面上看是不相同的,但它们可以合并吗? 可以 的.(板书)32+8=32+22=52和33+27=33+33=63所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,? 再将被开方数相同的二次根式进行合并. 合探1.计算: (1)8+18 (2)16x+64x 分析: 第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并. 合探2.计算 (1)348-91+312 (2)(48+20)+(12-5) 二、质疑再探: 同学们,通过学习你还有什么问题或疑问? 与同伴交流一下! 三、应用拓展 )的值. -5x 已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(2x9x+y2x)-(x2 分析: 本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-3)2=0, 1 即x=1,y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,? 再合并同类二次根式,最 2 后代入求值. 四、归纳小结(师生共同归纳): 本节课应掌握: (1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式; (2)相同的最简二次根式进行合并. 五、作业设计(写在小黑板上) (一)、选择题1.以下二次根式: ①12;②22 ;③2;④27中,与3是同类二次根式的是(). 3 A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④ 2.下列各式: ①33+3=63;②17=1;③2+6=8=22;④24=22,其中错误的有 7 3 ).A.3个 B.2个C.1个D.0个 (二)、填空题 1.在8、175a、 3 29a、125、23a3、3
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