届江苏六市高三上学期数学一模试题与答案解析.docx
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届江苏六市高三上学期数学一模试题与答案解析
2021届江苏六市高三上学期数学一模试题
2021.2
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1.设集合A={xeN|2 ]Af]B= A.{x|3 4,5} 2.已知2+i是关于X的方程F+or+5=0的根,则实数d= A.2-iB.・4C.2D.4 3.哥隆尺是一种特殊的尺子,图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A- 11 B•13 C•15 D. 17 014( |11 严丨兰2U—2― 014 1012 17 U—P-4^—r; 111 11 J ~~t61 丙1 国2 4.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律,常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述,在该模型中,人体内药物含量x(单位: mg)与给药时间/(单位: h)近似满足函数关系式2勒(1—尹),其中心,£分别称为给药速率和药物消除速率(单位: K mg/h).经测试发现,当f=23时,亠,则该药物的消除速率公 2k 的值约为(ln2~0・69) 小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.己知加,〃是两条不重合的直线,-0是两个不重合的平面,则 A.若〃2〃a,”〃a,则〃2〃11 B.若加〃a,加丄0,则a丄0 C.若a〃0,加丄a,〃丄0,则m//n D.若a丄0,m//a,“〃0,则加丄〃 10.己知函数/(x)=sin(2x--),贝I」 6 A・“r)的最小正周期为;r B・将y=sin2A-的图象上所有的点向右平移? 个单位长度,可得到 6 兀力的图象 C./(X)在(-兰,兰)上单调递增 63 D.点(一菩,0)是蚀图象的一个对称中心 11.若函数八严+心<]的值域为匚,+巧,贝ij x+I-lnx,x>\ a./(3)>/ (2)B•〃&2 C•/(器)>/(-)D•logm(/7Z+1)>log|/n+I)(/H+2) 2e 12•冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热.若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产.某大型公司规定: 若任意连续7天,每天不超过5人体温高于37.3°C,则称没有发生群体性发热,下列连续7天体温高于37.3°C人数的统计特征数中,能判定该公司没有发生群体性发热的为 A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1 三、填空题(木大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案 填写在答题卡相应位置上) 13.在止项等比数列⑷中,若““6=27,则乞log/,=14.己知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,写出双曲线C的一个标 准方程: “康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的: 如图,AABC的三条边长分别为BC=a,AC=b,AB=c.延长线段CA至点Ai,使 得AAi=d,以此类推得到点A? Bi,B2,Ci和C2,那么这六 个点共圆,这个圆称为康威圆.己知d=4,b=3,c=5,则由 AABC生成的康威圆的半径为. 16.己知在圆柱SO? 内有一个球O,该球与圆柱的上、下底而及母线均相切.过直线O]O2的平面截圆柱得到四边形ABCD,第15题 其面积为8.若P为圆柱底而圆弧CD的中点,则平而PAB与球0 的交线长为. 四、解答题(木大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 已知等差数列{%}满足%+如+严3“+5. 4 (1)求数列W”}的通项公式; •・ (2)记数列—L-,的前"项和为S“・若VZ/eN*,5n<-A2+4A(2为偶数),求久的值. 18.(本小题满分12分) 在①(b+“—c)d“+c)="c;②cos(A+B)=sin(A-B);③taii^^=sinC这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求b的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题: 是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2迥, 注: 如果选择多个方案分别解答,按第一个方案解答计分. 19.(本小题满分12分) 2019年4月,江苏省发布了高考综合改革实施方案,试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模式下,某校学生选择物理或历史与性别是否有关,统计了该校高三年级800名学生的选科情况,部分数据如下表: 性别 科口 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 (1)根据所给数据完成上述表格,并判断是否有99.9%的把握 认为该校学生选择物理或历史与性别有关; (2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣,用分层 抽样的方法从该类学生中抽取5人,组成数学学习小组.一段时间后,从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X,求 X的分布列和数学期望E(X). P(K2^lc) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n(ad^bcy (a+b)(c+d)(a*c)(b+d) 20.(本小题满分12分) 如图,在正六边形ABCDEF中,将AABF沿直线BF翻折至△ABF,使得平面AEF丄平面BCDEF,O,H分别为BF和A,C的中点. (1)证明: OH〃平面A/EF; (2)求平面AEC与平面ADE所成锐二而角的余弦值. 21.(本小题满分12分) 已知函数/⑴"-型-“. (1)若/(X)>0,求实数d的取值范围; (2)若函数.f(x)有两个零点召,心,证明: x}x2<1. 22・(本小题满分12分) 己知点A,B在椭圆倬+其=i(Qb>0)上,点A在第一象限,0cC 为坐标原点,且OA丄AB. (1)若a=羽,b=l,直线OA的方程为*・3y=0,求直线OB 的斜率; (2)若AOAB是等腰三角形(点0,A,B按顺时针排列),求 +的最大值. 2021届江苏六市高三上学期数学一模试题答案 1.C 2.B 3.C4.A5.C 6.D7.B 8.B 9.BC 10.ACD11.ABD 12.BD 13.9 14.x2-—=115.x/37 4 16.A 5 17.【解】 (1)设等差数列{y}的公差为 因为碣4■九严3力+5,所以卜+弩乩 +2a3=11. 即严+2^=8, ''45r/=11. 角242©=2.d=1・所以碍=2+(w—1)=/? 41. 经检您°严“1符合題设. 所以数列{%}的通项公式为a.-r/4-l・ (2)rfl (1)得・=T14rr=—, 竹%•: (力〜1)(^42)n+ln+2所毗甘扣(匕卜…估-汩十由• P17jVne•SM<—Z+4z» 用I以一I+422^*^、即(兄—2)‘W寸・ 因为zl为渦数.所tu・2・ 18・【解】选择条件①和②. 囚为(0+t/-cK力一a+c)=ac,所以“‘+c2-b2-ac» 由余弦定却.得cos8丄¥±4・ 2ac2 因为06",所以—号・ 因为cos(J4-B)=sin(A-R)9所以ccs(/4•号)=sin(/一号)• 所以cos/lens彳一sin/(gin-j=sin"cos^-ctK, 所以sin/I=cosJ・ 因为Ov/fvjc,所以4■召・ 4 在中,由IE弦定理宀=七・得迈=亠・sm・4smZ? sin5sin| 43 2屈in乎 所以&.20 sin4 4 选择条件①和③・ 因为S+a-c)(/>-a+Q=ac・所以宀r2-Fm 由余弦定理.得cog乙沪电 因为0<〃g所以—专. Ktan 2 cos# 因为伽书gwinC 因为OcCv兀,所以cosy0,所以sin: ^--l・囚为OcCd所以siii^->0.所以siii#=迄,町得C=^-. 2ZZ2 所以在RIA.4BC中,几atan号-2&・ 选抒条件②和③. 因为c 所以cos.4cosB-sinAsinj? -sinAcosB一cosAsinB, 所以(ainA一coaA^inH4cmR)=0. 所以sinAcos.4或sin〃=-8S〃・ 所以r或一普 ■h-CCsm"异COSy -c COScSiny cosfrc 所以——=sinC=2sin^-cosy・ sin*_丄 肉为九・所UlctKy^O.所1^1 19. 在△磁中…心虫”所恥呼C号所以SC为等除直角二角形,所以—“=2血 性别 科甘 男生 女生 合计 物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计 400 400 800 曲心驾品謀罟翳勞普>吨 10 所以有99.9%的把握认为诊校学生选择物理或历史与性别有关. (2)按照分层捕样的方法,抽赵男生2人,女生3人. 随机变虽”的所有可能礙值为0,1,2. P(T=1)=^=|, 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 3 3 p To io 所以£(X)=0x±+lx|+2x^s|・ 答: X的数学期望为吕. 20.【解】仃〉如图•取月工的中点g. 连结FG.HG、CE・ 又因为〃是的中点. 所以HG! /CE-HG=*「E・ 又因为正六边形ABCDEF中.BF//CE.BF-CE,所以11G〃BF,〃G=*〃F・ 又O为〃卩的中点.所以HG/IOF・HG=OF・所以四边形OFG"为平行四边形,所以O〃〃FG・因为"Gu平面AfEF.OH 所以平IftlA9EF・ (2)山条件可知丄OB,6T丄OD,OD丄OB・ 分別以OB,06Of所在直线为 jc轴.丿轴、二轴建立如图所示 的空何直角坐标系O_xyz・设正六边形ABCDEF的边长为2. ・0・0).C(JJ・2・0), 0(0,3,0).£(-^3,2,0),J*(0,0,1), 所以赃(0,2,0),疋=(©2,-1), £ZJ=(^.L0),7D=(0.3,-1)・ 设平面ABC的法向虽为斗=gX•二 rti<侍{k介八 |叫.A9C=0.+2yt-"j=0. 取召-1•可得绚三(i■o,75)・ 设平ffiiA1DE的法向虽为n2=(r,,儿.=J・ rti %•ED=0,十*(y2=0./! •Z/)=0.”必-rt=0 取勺・1・可得6・(1,--3d)・ 设平面a^RC与平而ADR所成钱二面角的大小为Q・ zg”,小騙一气體瞪严L錚 所以平面才sc与平而/fa所成锐二面角的余弦值为埠L? 1【解】 (1)函数/仗)工,一21严一么的定义域为(0.2)・ 广(巧=2一=211112^- X**・ 设r(x)=r3+lnT-l・所以r(x)=3x24丄>()・ X 所以函数“丫)二X;鼻1! 1工一1在(0・+8)上申调逵增. 又ni)=o,列表如下: X (0,1) 1 (1,+00) 厂(X) 0 + fix) 极小值 所以当"I时.函数冷)*-如-a取得最小值为")=1—。 ・… •X 因为/(x)^0.即1-adO,所以aWl・ 所以。 的取值范用是(yo・1]・… ⑵不妨设巧v兀. 由 (1)可得.函数/(x)在(Q1)上单调递减,在(b-boo)±单调递増. 所以0<舛«1<工2・0<—<1・・・• I* 因为f(x\)m/(吃)Jo‘ 所以几5)-/(占2/(禺)一/(占) ££ “2In丄 十一")一(丄——-Q)xi工,丄 ・*2 =(x、•+—)(x,—-—2InxJ. X2X2 设函数g(x)-x-丄-2\nx(x>\)9 •V K'j^r(A)=1+4r--2.=/■■->0(A>1)・函数g(n在(1,十8)上单调递增. X*X' tlg(x,)=x2-—-2In^r,>g(l>=0・・W 所以伽)一/(占)>0,即.©)>/&)・ 又因数/⑴如街O1)上单调递减. •I 所以0 ? ? 【解】(1〉由4二巧,"1,得橢圆方程为 因为点4任弟一象限,所以用£冷). 又0/1丄AB. 所以直线曲的方程为y-l=-3(.v-|),即3x+y-5=O・ —丄 所以直线的斜率为5三善一吉・ (2〉法1: 设直线04的料率为心>0),则直线M的斜率为 因为△(? •仏是等麼直角二角形(点Q儿B按顺时针排列),所以设力(心yt)•3(心y2)»(x>0.>0,xt /.OA-AH.所以J璋*: =J(q_xj4(j,_”);.得J+古卜」=J\+lr'-x-l• 所以Ji=兀一片・即®=斗亠>\• XrflOJ丄.4―得K,土二L=_1,所以y^y^x,. 因为点/(心x)・B(斗+»牙_斗)在椭IS斗+告=1上. q・b・ x;yj. 所以 7'F=・所以£十¥=色二也十斗工, d+yj"f,Q・快/b・ ~7~+ 整理得-2(aJ-F)¥+N=0・… 所以A-4(a2-A2): -4a'b2>0.R卩(a‘-F十ah)(a2-b2-ab)^0. 因为a"—/r+ab>0» 所以/一戻一加>20・即0・ aa 所以 a2 当上=牛=辿磐1=备亠密1时.寻取最大值马2法2: 设直线0/1的斜率为A(A>0),倾斜角为^(0°<^<90A). 闵为△04〃是等脛直角三角形(点O.A.B按顺时针排列).且0A丄加, 所以直线OR的斜率为心=伽(4-45。 )或—二伽(Q*175。 ). 设.4(^牙)・Bgy2).(斗>0.yl>0.x} rh 尸3“柑 4+i;=i,^X|'F77F- (T$ Z(闫j€, 又OB^y/2OA.所以2Of=曲,得2(1+小彳= a万(1+上)' 整理得irk2+2(尸一“4宀0•所以"4(6’一巧-4a访'刁U,即(a2-h'Y-a2b2乡0•所以(a—ab\a-甘-ab)20・囚为4、-b、十“b;>0, 所以“―bPO.即(少+寻一1M0• 所以 a2 出—一绝詳2二£_1二卷tl时,◎取最大值年1. 2Zrb'2a2 15
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