三角形个数与线段条数.docx
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三角形个数与线段条数
三角形个数与线段条数
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三角形个数与线段条数
这是三角形个数与线段条数,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
三角形个数与线段条数第1篇
一、学会数图形
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
二、解题策略
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
考点一:
基本图形
例1、数出下图中有多少条线段?
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【解析】方法一:
我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A点为左端点的线段有:
AB、AC、AD3条;以B点为左端点的线段有:
BC、BD2条;以C点为左端点的线段有:
CD1条。
所以,图中共有线段3+2+1=6(条)。
方法二:
把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有:
AB、BC、CD3条;由2条基本线段构成的线段有:
AC、BD2条;由3条基本线段构成的线段有:
AD1条。
所以,图中一共有3+2+1=6(条)线段。
例2、数出图中有几个角?
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【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一:
以OA为一边的角有:
∠AOB、∠AOC、∠AOD3个;以OB为一边的角还有:
∠BOC、∠BOD2个;以OC为一边的角还有:
∠COD1个。
所以,图中共有角3+2+1=6(个)。
方法二:
把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有:
∠AOB、∠BOC、∠COD3个;由2个基本角构成的角有:
∠AOC、∠BOD2个;由3个基本角构成的角有:
∠AOD1个。
所以,图中一共有3+2+1=6(个)角。
例3、数出右图中共有多少个三角形?
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【解析】方法一:
我们可以采用按边分类数的方法。
以PA为边的三角形有:
△PAB、△PAC、△PAD、3个;以PB为边的三角形还有:
△PBC、△PBD2个;以PC为边的三角形还有:
△PCD1个。
所以,图中共有三角形3+2+1=6(个)。
方法二:
把图中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数,那么,由1个基本三角形构成的三角形有:
△PAB、△PBC、△PCD3个;由2个基本三角形构成的三角形有:
△PAC、△PBD2个;由3个基本三角形构成的三角形有:
△PAD1个。
所以,图中一共有3+2+1=6(个)三角形。
方法三:
我们发现,要数出图中三角形的个数,只需数出线段AD中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6(个)。
所以图中共有6个三角形。
考点二:
较复杂的问题
例1、数出下图中有多少个长方形?
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【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长、宽两对线段围成,线段CD上有3+2+1=6(条)线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有6X1=6(个)长方形,而AC上共有2+1=3(条)线段也就有6X3=18(个)长方形。
它的计算公式为:
长方形的总数=长边线段的总数X宽边线段的总数:
(3+2+1)X(2+1)=18(个)
例2、有5个同学,每两个人握手一次,一共要握手多少次?
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【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意,画出线段图,每一个端点代表一个同学。
从图上可以看出,第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次;第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次,第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次;第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。
所以,一共要握手4+3+2+1=10(次)
例3、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?
这些车票中有多少种不同的票价?
【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。
三角形个数与线段条数第2篇
人教版初二数学上册第十一章知识点《与三角形有关的线段》要点总结
一、三角形的有关概念
1.三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征:
①不在同一直线上;
②三条线段;
③首尾顺次相接;
④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段:
角平分线、中线、高
(1)角平分线:
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线:
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明:
①三角形的角平分线、中线、高都是线段;
②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形),也可能在边上(直角三角形),它们(或延长线)相交于一点。
二、三角形的边和角
三边关系:
三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出:
三角形任意两边之差小于第三边。
三、三角形内、外角的关系
1.三角形的内角和等于180°。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和为360°。
四、等腰三角形与直角三角形:
1.等腰三角形:
有两条边相等的三角形称为等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰,三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。
说明:
等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
2.直角三角形:
有一个角是直角的三角形是直角三角形,它的两个锐角互余。
小练习
1.图中的三角形有()
A4个B6个C8个D10个
考查目的:
本题考查学生对三角形概念的掌握.
答案:
C.
解析:
根据三角形相关概念由不在同一条直线上三条线段首尾顺次相连组成的图形叫三角形.
2.下列说法中正确的个数有()
①三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形
③等腰三角形中至少有两边相等
④等边三角形是等腰三角形
A1个B2个C3个D4个
考查目的:
本题考查学生按不同的标准对三角形进行分类.
答案:
①③④是正确的,故选C
解析:
三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形,而等边三角形属于特殊的等腰的三角形.
三角形个数与线段条数第3篇
三角形的个数与增加的线段条数会随着线段条数的增加而增加。
解析过程:
设三角形的个数是m,增加的线段条数是n,m=(n+1)(n+2)/2。
例如:
三角形的个数是5,增加的线段条数是8,5=(8+1)(8+2)/2。
扩展资料:
三角形分类:
不等边三角形;不等边三角形,数学定义,指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。
等腰三角形;等腰三角形(isosceles
triangle),指两边相等的三角形,相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形中,相等的两条边称为这个三角形的腰,另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一性质”)。
等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
等腰三角形是轴对称图形,(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
等腰三角形的腰与它的高的关系,直接的关系是:
腰大于高。
间接的关系是:
腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
等边三角形。
等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形,其三个内角相等,均为60°,它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形个数与线段条数第4篇
下面这个数学问题适合进行数学探究活动。
先来描述我们所做的事情:
(1)先画一个点。
(2)在这个点的旁边再画一个点,并把这个点与原来的那个点连线。
这时的图形有2个点和1条线。
(3)在上面“两点一线”的基础上,再画一点(注意,这个点一定不能位于线段所在直线上),并连接这个新点与已有的两个点。
这时图形中有3个点,3条线,1个三角形。
(4)在上面图形的基础上,再画一点,并把这点与原图形的三个点连线。
所得到的图形中,任意三点可以构成一个三角形,一共可以构成4个三角形。
所以,这个图形有:
4个点,6条线,4个三角形。
(5)继续进行类似的递推工作,结果如下图。
它有5个点,10条线,10个三角形。
(请注意下图中五边形的顺序:
先是除最上面那个点以外的四个标红的点,它们可以构成4个三角形,然后那6个标以蓝色的三角形都是有一个顶点是最上面那个点,这样就不会有遗漏。
)
(6)这个递推过程可以一直无限延续下去。
方法就是:
在前一图形的基础上,增加一点,并把这个点与前一图形中的所有点分别连线。
所以,第n个图形(也就是有n个点的图形)的线段数量为第n-1个图形中线段数量加上第n-1个图形中的点数(因为前一图形点的个数就是后一图形新增线段的个数)。
(7)像上面这样构成的图形叫做完全图。
对n=6的完全图(即有6个点),它的线段数量就等于n=5时的完全图中线段数量10加上n=5时的点数5,即10+5=15。
三角形的个数也可以递推出来:
新增加的一个点,可以与原完全图中每一个点对(或者说与每一条线段)构成一个三角形,所以,第n个完全图中三角形的个数就等于第n-1个完全图中三角形的个数加上第n-1个完全图中线段的条数。
比如,n=6时的完全图中,三角形的个数就等于n=5时的完全图中三角形个数10加上线段个数10,等于20,即n=6时的完全图中三角形的个数为20。
(7)上述递推关系可以由杨辉三角(或叫帕斯卡三角形)形象地展示出来。
观察上图中由红线包围的区域。
这个区域最上面一行的“1”,就表示“1个点”。
上数第二行(以后说第几行都是指上数)的“21”表示“2个点,一条线”。
第三行的“331”表示“3个点,3条线,1个三角形”。
第四行的“464”表示“4个点,6条线,4个三角形”。
第五行的“51010”表示“5个点,10条线,10个三角形”。
第六行的“61520”表示“6个点,15条线,20个三角形”。
第七行的“72135”表示“7个点,21条线,35个三角形”。
............
动用杨辉三角的一个好处是,我们可以不必再一个个递推(比如要计算第100个完全图中线段和三角形的数量,工作量之大,我们根本无法人工实现)。
我们可以利用杨辉三角中每一个数都是一个组合数来直接求出第n行中的第3个数和第4个数,即具有n个点的完全图中线段条数和三角形的个数。
比如,8个点(n=8)的完全图,它具有的线段条数就是杨辉三角中第8行(杨辉三角中最上面的那个1算做第0行)第3个数,而这个位置的数可以用组合数C(8,2)表示[这一行第1个数是C(8,0),第2个数是C(8,1)]。
C(8,2)就是从8个元素中取2个元素的所有可能组合的个数。
由组合数计算公式可以得出:
C(8,2)=8X7/(2!
)=28
而三角形的数目为:
C(8,3)=8X7X6/(3!
)=56
你可以从上面的杨辉三角中,通过两个相邻之数相加而得到倒三角形中下面顶点处的数,即7+21=28;21+35=56。
这正像是斐波那契数列,斐波那契数列也是一个递推关系数列,但我们仍有办法直接求出任意一项的值,并且这个值还是用无理数表示的!
本文这里所讲的完全图的线段数量和三角形数量的计算相对来说简单多了。
您认为这个探究过程是不是小学高年级学生及初中生也可以理解?
数学真的不是那么难,关键在于我们怎么教!
可能越是年纪小,没有“数学难学”这一先入为主的观念,越是有可能把数学学好。
有“数学难学”负担的学生,我们老师要让他们放下和忘掉这个讨厌的观念。
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