30。
的直角三角板P0Q如图1所示放置,使顶点P落在直线AB上,过点Q作直线MNHAB交直线OC于点H(点H在0左侧).
(1)若PD//OC,ZNQD=45°,则&=
(2)若ZPQH的角平分线交直线4B于点E,如图2.
1当QE//OC,&=60。
时,求证:
OC//PD・
2小明将三角板保持PD//OC并向左平移,运动过程中,ZPEQ=.(用Q
表示)・
26.已知:
Z1=Z2,EG平分ZAEC.
⑴如图1,ZMAE=50°,ZFEG=15°,Z/VCE=80°.试判断EF与CD的位置关系,并说明理由.
⑵如图2,ZM/4E=135°,上FEG=30。
当AB//CD时,求Z/VCE的度数;
⑶如图2,试写出ZMAE、ZFEG、Z/VCE之间满足什么关系时,AB//CD・
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一、选择题
1.D
解析:
D
【分析】
根据对顶角和邻补角的定义即可得到ZBOC的度数,再根据角平分线即可得出Z3的度数.
【详解】
解:
VZ1=Z2,Zl+Z2=80°,
/.Zl=Z2=40°,
・•・ZBOC=140。
,
又TOE平分ZBOC,
.•.Z3=70°.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了邻补角、对顶角、角平分线的应用,解题时注意运用:
对顶角相等,邻补角互补,即和为180°.
2.C
解析:
C
【分析】
垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.据此逐个分析即可.
【详解】
解:
A.立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离,运用“垂线段最短"这一性质;
B.从一个村庄向一条河引一条最短的水渠,运用“垂线段最短"这一性质;
C.把弯曲的公路改成直道可以缩短路程,运用"两点之间,线段最短"这一性质;
D.直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短,运用"垂线段最短”这一性质;故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短,实际问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从"两点之间,线段最短"和"垂线段最短"这两个中去选择.
3.D
解析:
D
【解析】
试题分析:
根据平行线的性质可得A.VABIICD,/.ZEMB=ZEND(两直线平行,同位角相等);B、TABIICD,/.ZBMN=ZMNC(两直线平行,内错角相等);C、TABIICD,/.ZCNH=ZMPN(两直线平行,同位角相等),■/ZMPN=ZBPG(对顶角),
/.ZCNH=ZBPG(等量代换);D、ZDNG与ZAME没有关系,无法判定其相等.故答案选D.
考点:
平行线的性质.
4.D
解析:
D
【分析】
延长CB,根据平行线的性质求得Z1的度数,贝吆DBC即可求得.
【详解】
Z1=ZADE=145°,
ZDBC=180°-Z1=180°-125°=55°.
故答案选:
D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质,解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
5.D
解析:
D
【详解】
解:
D选项中缺少先要条件,就是在同一平面内
故选:
D
6.C
解析:
C
【分析】
过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根据平行线的性质得出&+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=X,求出ZBCD=180°-^,ZDCM=ZCMN=/7-即可得出答案.
【详解】
过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,VAB/7EF,•••AB〃CD〃MN〃EF,
A^+ZBCD=180\ZDCM=ZCMN,ZNMF=X,
AZBCD=180°-^,ZDCM=ZCMN=/7-/t•••X=ZBCD+ZDCM=180°-a-/+^,故选:
c.
AB
EF
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用,主要考查了学生的推理能力.
7.C
解析:
C
【分析】
根据对顶角的性质可得Z1=Z5,再由等量代换得Z2=Z5,即可得到到a〃b,利用两直线平行同旁内角互补可得Z3+Z4二180。
,最后根据Z3的度数即可求出Z4的度数.
【详解】
解:
TZ1与Z5是对顶角,
AZ1=Z2=Z5=45O,
.•・a〃b,
.•.Z3+Z6=180°,
VZ3=70°,
・•・Z4=Z6=110°.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定,其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键.
8.B
解析:
B
【解析】分析:
根据直线公理对①进行判断;根据两点之间的距离的定义对②进行判断;根据线段公理对③进行判断;根据角的定义对④进行判断:
根据线段的中点的定义对⑤进行判断.
详解:
根据直线公理:
两点确定一条直线,所以①正确;
连接两点的线段的长度叫做两点的距离,所以②错误;
两点之间,线段最短,所以③正确;
有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角,所以④错误;
若&B=BC,且B点在上,则点B是AC的中点,所以⑤错误.
故选B.
点睛:
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
9.C
解析:
C
【分析】
根据互为逆命题的关系,将四个选项的题设和结论互换,逐一验证,A是假命题,B是假命题,C是真命题,D是假命题.故答案为C.
【详解】
根据互为逆命题的关系,题设和结论互换,可知:
A选项中,若a=b,则a2=b2的逆命题为:
若a2=b2,则a=b,是假命题:
B选项中,同位角相等的逆命题为:
相等的角是同位角,是假命题:
C选项中,两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是:
全等三角形的对应边相等,对应角相等,是真命题;
D选项中,等腰三角形的两底角不相等的逆命题为:
两个角不相等的三角形是等腰三角形,是假命题.
故选C.
【点睛】
此题主要考查互为逆命题的关系,三角形的性质定理,熟练掌握即可得解.
10.A
解析:
A
【分析】
分别利用对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:
A.对顶角相等,正确,是真命题;
B.两直线被第三条直线所截,内错角相等,错误,是假命题:
C.等腰直角三角形不一定都全等,是假命题;
D.如果0>a>b,那么a:
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质,难度不大.
二、填空题
11・①④②③⑤
【分析】
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行,据此进行判断即可.
【详解】
解:
•・•①Z1=Z2,
・・・AD〃BC;
②VZB=Z5,
解析:
①④②③⑤
【分析】
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行,据此进行判断即可.
【详解】
解:
•・•①
.•・AD〃BC:
2VZB=Z5,
・・・AB〃DC:
3VZ3=Z4,
.・.AB〃CD:
4VZ5=ZD,
.・.AD〃BC:
5VZB+ZBCD=180°,
.・.AB〃CD,
・••能够得到AD〃BC的条件是①④,能够得到AB〃CD的条件是②③⑤,
故答案为①④,②③⑤.
【点睛】
本题考查的是平行线的判定,熟知同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行是解答此题的关键.
12・【分析】
要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.
【详解】
解:
分8种情况讨论:
(1)如图1,AD边与0B边平行时,ZBAD=45°:
(2)如图2,
解析:
8
【分析】
要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.
【详解】
解:
分8种情况讨论:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
如图1,AD边与03边平行时,如图2,当AC边与OB平行时,如图3,DC边与边平行时,如图4,DC边与OB边平行时,如图5,如图6,
如图7,如图&
Z8/40=45°;
ZBAD=90c+45°=135°;
ZBAD=6Q0+9(T=150°,
ZBAD=135°+3(T=165°
DC边与03边平行时,
DC边与AO边平行时,
DC边与AB边平行时,
DC边与AO边平行时,
ZBAD=450
ZBAD=15<>
ZBAD=3O0
ZBAD=30<>
综上所述:
ZBAD的所有可能的值为:
15°,30
-30°=150;
+90°=105°
+45°=75°:
45°,75",105°,135°,
150°,165°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定,画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键.
13.n或180-n
【分析】
分两种情况讨论:
当点在线段上;点在延长线上,根据平行线的性质,即可得到结论.
【详解】
解:
过A作AM丄BC于M,如图1,
当点C在BM延长线上时,点F在线段AD上,
解析:
n或180-n
【分析】
分两种情况讨论:
当点M在线段BC上;点(7在BM延长线上,根据平行线的性质,即可得到结论.
【详解】
解:
过A作AM丄BC于M,如图1,
当点C在BM延长线上时,点F在线段AD上,
图1
VAD//BC,CF±AD,
•••CF丄BG,
AZBCF=90\
AZBCE+ZECF=90°,
•・・CE丄AB,
AZBEC=90°,
AZB+ZBCE=90°,
AZB=ZECF=n°,
VAD//BC,
:
.ZBAF=180°-ZB=180°-n。
过A作AM丄BC于M,如图2,当点C在线段BM±时,点F在DA延长线上,
VAD//BC,CF±AD,
•••CF丄BG,
AZBCF=90°,
AZBCE+ZECF=90°,
•・・CE丄AB,
AZBEC=90°,
AZB+ZBCE=90°,
AZB=ZECF=n°,
VAD//BC,
AZBAF=ZB=n°,
综上所述,ZBAF的度数为n。
或180。
-n。
,
故答案为:
n或180-n.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:
两直线平行,同旁内角互补:
两直线平行,内错角相等.
14.6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒,两灯光束平行,B灯光束第一次到达BQ需要1804-4=45(秒),推出tW45-12,即tW33.利用平行线的性质,结合角度间关系,构建方程即可解答.
【详
解析:
6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒,两灯光束平行,B灯光束第一次到达BQ需要180-4=45(秒),推出t<45-12,即t<33.利用平行线的性质,结合角度间关系,构建方程即可解答.
【详解】
解:
设A灯旋转t秒,两灯的光束平行,B灯光束第一次到达BQ需要180一4=45(秒),/.t<45-12,即t<33.
由题意,满足以卞条件时,两灯的光束能互相平行:
①如图,ZMAM*=ZPBP1,12t=4(12+t),解得t=6;
②如图,ZNAM'+ZPBP'=180°,12t-180+4(12+t)=180,解得t=19.5;
综上所述,满足条件的t的值为6秒或19.5秒.
故答案为:
6秒或19.5秒.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
15.2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况:
(1)当点E在C的左边时;
(2)当点E在C的右边时.画出相应的图形,根据平移的性质,可得AD二BE,再根据AD二2CE,可得方程,解方程即可求解.
【详解】
解析:
2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况:
(1)当点E在C的左边时;
(2)当点E在C的右边时.画出相应的图形,根据平移的性质,可得AD=BE,再根据AD=2CE,可得方程,解方程即可求解.
【详解】
解:
分两种情况:
(1)当点E在C的左边时,如图
BECF
AD
根据图形可得:
线段BE和AD的长度即是平移的距离,则AD=BE,
设AD=2tcm,则CE=tcm,依题意有
2t+t=6,
解得t=2.
(2)当点E在C的右边时,如图
BCFF
根据图形可得:
线段BE和AD的长度即是平移的距离,
则AD=BE,
设AD=2tcm.则CE=tcm,依题意有
2t-t=6,
解得t=6.
故答案为2或6.
【点睛】
本题考查了平移的性质,解题的关键是理解平移的方向,由图形判断平移的方向和距离.注意分类讨论.
16.35或75
【解析】
分析:
根据题意,分为点P在ZABC的内部和外部两种情况,由平行线的性质求解.
详解:
如图,当P点在ZABC的内部时,
•・・PD〃AB
.\ZP=ZABP
TZPBD二ZABC,ZA
解析:
35或75
【解析】
分析:
根据题意,分为点P在ZABC的内部和外部两种情况,由平行线的性质求解.详解:
如图,当P点在ZABC的内部时,
VPDZ/AB
:
.ZP=ZABP
VZPBD=-ZABC,ZABC=70°
2
•••ZPBD=35°
•:
ZABP=ZABC-ZPBD=35°・
当点P在ZABC的外部时,
VZPBD=-ZABC,ZABC=70°2
:
.ZPBD=35°
•IZABP=ZABC+ZDPB=105°
VPD/7AB
:
.ZDPB+ZABP=180°
:
.ZDPB=75°.
故答案为:
35或75.
点睛:
此题主要考查了平行线的性质,关键是明确P点的位置,分两种情况进行求解.
17.①②③
【解析】
1・.・EG〃BC,・・・ZCEG二ZACB,乂TCD是的角平分线,
•••ZCEG二ZACB二2ZDCB,则①正确;
2VZEBC+ZACB=ZAEB,ZDCB+ZABC=ZADC,/.
解析:
①②③
【解析】
①・.・EG〃BC,/.ZCEG=ZACB,又VCD是AAEC的角平分线,
AZCEG=ZACB=2ZDCB,则①正确;
®VZEBC+ZACB=ZAEB,ZDCB+ZABC=ZADC,AZAEB+ZADC=90°+丄
_2
(ZABC+ZACB)=135°,?
.ZDFE=360o-135°-90o=135°,/.ZDFB=45°=丄ZCGE,则②
2
正确;
3VZA=90°,•••ZADC+ZACD二90°,TCD平分ZACB,/.ZACD=ZBCD,
.••ZADC+ZBCD二90°.TEG〃BC,且EG丄CG,AZGCB=90°,即ZGCD+ZBCD二90°,・・.ZADC二ZGCD,则③正确:
4无法证明CA平分ZBCG,则④错误.
故答案为①②③.
18.【解析】
根据平移的性质得出AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1,进而求出AB1和AB2的长,然后根据所求得出数字变化规律,进而得出ABn=(n+1)x5+l求出ii即
解析:
【解析】
根据平移的性质得出A4尸5,4142=5,A2Bi=AiBi-AiA2=6-5=1,进而求出和血2的长,然后根据所求得出数字变化规律,进而得出ABn=(n+l)x5+l求出n即可.
解:
第1次平移将矩形ABCD沿的方向向右平移5个单位,得到矩形AiBiCiDi,
第2次平移将矩形A1BGD1沿的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2...,/.A4i=5/>4i/\2=5/Z\2Bi=>4iBi-^i^2=6-5=1#
•\^Bi=A^i+i4i/42+^2Si=5+5+l=ll=2x5+lf
•••AB2的长为:
5+5+6=16=3x5+1;
A^Bn=(n+l)x5+l=2016r
解得:
n=402・
故答案为:
402.
点睛:
本题主要考查找规律•根据所求出的数字找出