高考求函数值域及最值得方法及例题训练题.docx
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高考求函数值域及最值得方法及例题训练题
函数专题之值域与最值问题
一.观察法:
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.
例1:
求函数
的值域.
点拨:
根据算术平方根的性质,先求出
的值域.
解:
由算术平方根的性质,知
≥0,故3+
≥3。
∴函数的值域为
.
点评:
算术平方根具有双重非负性,即:
(1)被开方数的非负性,
(2)值的非负性。
本题通过直接观察算
术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:
求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案:
值域为:
{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法:
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.
例2:
求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨:
先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:
x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,
故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:
利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:
求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案:
函数的值域为{y∣y<-1或y>1})
三.配方法:
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域.
例3:
求函数y=√(-x2+x+2)的值域.
点拨:
将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:
由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评:
求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:
求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:
值域为{y∣y≤3})
四.判别式法:
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4:
求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.
点拨:
将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。
解:
将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,
由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,
解得:
2<x≤10/3当y=2时,方程(*)无解。
∴函数的值域为2<y≤10/3。
点评:
把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习:
求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。
(答案:
值域为y≤-8或y>0)。
五.最值法:
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5:
已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨:
根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
解:
∵3x2+x+1>0上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,
将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],
函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。
点评:
本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间,若存在最值,
也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习:
若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为()
A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)(答案:
D)。
六.图象法:
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.
点拨:
根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。
解:
原函数化为-2x+1(x≤1)
y=3(-1
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。
点评:
分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七.单调法:
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.
例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域.
点拨:
由已知的函数是复合函数,即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。
解:
设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
点评:
利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,
求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
练习:
求函数y=3+√4-x的值域。
(答案:
{y|y≥3})
八.换元法:
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。
点拨:
通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。
解:
设t=√2x+1(t≥0),则x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。
点评:
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习:
求函数y=√x-1–x的值域。
(答案:
{y|y≤-3/4}
九.构造法:
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合.
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.
点拨:
将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:
原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,
再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
点评:
对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习:
求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。
(答案:
{y|y≥5√2})
十.比例法:
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,
进而求出原函数的值域.
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.
点拨:
将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。
解:
由3x-4y-5=0变形得(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1}.
点评:
本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
练习:
已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。
(答案:
{f(x,y)|f(x,y)≥1})
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.
点拨:
将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解:
y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评:
对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习:
求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。
(答案:
y≠2)
十二.不等式法.
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.
点拨:
先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。
解:
易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)>01-x≠0
解得,0<x<1。
∴函数的值域(0,1)。
点评:
考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。
不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用:
求下列函数的值域
1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})
2.Y=2x/(2x-1)。
(y>1或y<0)
训练例题
例1.求下列函数的值域
(1)
(2)
(3)
(4)
例2.已知
,求
的最值。
例3.求下列函数的值域
(1)
(2)
(3)
例4.如何求函数
的最值?
呢?
例5.求下列函数的值域
(1)
(2)
(3)
(4)
课后练习题
选择题
1.已知函数
=
,则
[
(
)]的值是()
A.9B.
C.-9D.-
2.若集合
,则
等于()
A.{0} B.
C.S D.T
3.下列函数中值域是(0,+∞)的函数是()
A.
B.
C.
D.
4.定义在R上的函数
的值域为[
,b],则
的值域为()
A.[
b]B.[
+1,b+1]C.[
-1,b-1]D.无法确定
5.函数y=
的定义域是(-
,1)
[2,5],则其值域是()
A.(-
0)
[
2]B.(-
2)C.(-
)
[2,+
]D.(0,+
)
6.函数
的值域为R,则实数k的取值范围是()
A.
B.
或
C.
D.
或
7.已知函数
的最小值是()
A.2B.
C.
D.
8.函数
()
A.最小值为0,最大值为4B.最小值为-4,最大值为0
C.最小值为-4,最大值为4D.没有最大值,也没有最小值
9.已知
的最大值为2,
的最大值为
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.以上三种均有可能
10.已知
、b的等差中项是
的最小值是()
A.3B.4C.5D.6
11.已知
则
(
=()
A.15B.1C.3D.30
12.设函数
,则
的值为()
A.
B.bC.
、b中较小的数D.
、b中较大的数
13.
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