六年级数学上册各单元知识点归纳及专项练习.docx

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六年级数学上册各单元知识点归纳及专项练习

六年级数学上册各单元知识点归纳

第一单元分数乘法

一、分数乘法

（一）分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。

都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如：

65×5表示求5个65的和是多少?

1/3×5表示求5个1/3的和是多少?

2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。

例如：

1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少.

（二）、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：

分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：

用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

注意：

当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）。

　（三）、乘法中比较大小的规律

　一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

　一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

　一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

　　（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

　　乘法交换律：

a×b=b×a

　　乘法结合律：

（a×b）×c=a×（b×c）

　　乘法分配律：

（a+b）×c=ac+bc

　二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），即求单位“1”的几分之几是多少）

1、画线段图：

（1）两个量的关系：

画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。

（2）部分和整体的关系：

画一条线段图。

2、找单位“1”：

单位“1”在分率句中分率的前面；

或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。

3、写数量关系式的技巧：

（1）“的”相当于“×”，“占”、“相当于”“是”、“比”是“=”

（2）分率前是“的”字：

用单位“1”的量×分率=具体量

例如：

甲数是20，甲数的1/3是多少？

列式是：

20×1/3

4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：

单位“1”的量×（1-分率）=具体量；

例如：

甲数是50，乙数比甲数少1/2，乙数是多少？

列式是：

50×（1-1/2）

（比多）：

单位“1”的量×（1+分率）=具体量　

例如：

小红有30元钱，小明比小红多3/5，小红有多少钱？

列式是：

50×（1+3/5）

3、求一个数的几倍是多少：

用一个数×几倍；

4、求一个数的几分之几是多少：

用一个数×几分之几。

5、求几个几分之几是多少：

用几分之几×个数

6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：

（1）、单位“1”的量×（1-分率）=另一个部分量（建议用）

（2）、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量

例如：

教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）

第二单元位置与方向

（二）

一、确定物体位置的方法：

1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）

二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。

三、位置关系的相对性：

1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。

四、相对位置：

东--西；南--北；南偏东--北偏西。

第三单元分数除法

　三、倒数

1、倒数的意义：

乘积是1的两个数互为倒数。

强调：

互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。

　（要说清谁是谁的倒数）。

2、求倒数的方法：

（1）、求分数的倒数：

交换分子分母的位置。

（2）、求整数的倒数：

把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

（3）、求带分数的倒数：

把带分数化为假分数，再求倒数。

（4）、求小数的倒数：

把小数化为分数，再求倒数。

　3、1的倒数是1；因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，（分母不能为0）

　4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

5、运用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。

把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。

1、分数除法的意义：

乘法：

因数×因数=积

除法：

积÷一个因数=另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

例如：

1/2÷3/5意义是：

已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3、分数除法比较大小时的规律：

（1）当除数大于1，商小于被除数;

（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数;

（3）当除数等于1，商等于被除数。

　“[]”叫做中括号。

一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

　二、分数除法解决问题

1，解法：

（1）方程：

根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

解：

设未知量为X（一定要解设）,再列方程用X×分率=具体量

例如：

公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。

（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：

设母鸡有X只。

列方程为：

X×1/3=20

（2）算术（用除法）：

单位“1”的量未知用除法：

即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。

分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

例如：

公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。

（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：

20÷1/3

2、看分率前有没有比多或比少的问题；

分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：

具体量÷（1-分率）=单位“1”的量；

例如:

桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。

列式是：

50÷（1-1/6）

（比多）：

具体量　÷（1+分率）=单位“1”的量

例如:

一种商品现在是80元，比原价增加了1/7，原价多少？

列式是：

80÷（1+1/7）

　3、求一个数是另一个数的几分之几是多少：

用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。

例如:

男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。

列式是：

15÷20=15/20=3/4　

4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：

用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数

即①求一个数比另一个数多几分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。

例如：

5比3多几分之几？

（5－3）÷3=2/3

②求一个数比另一个数少几分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。

例如：

3比5少几分之几？

（5－3）÷5=2/5

说明：

多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。

5、工程问题：

把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间）

例如：

一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？

列式：

1÷（1/5+1/10+1/3）

第四单元比

（一）、比的意义

1、比的意义：

两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

例如15：

10=15÷10=3/2（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）

15　∶　10　＝　3/2

前项比号后项　　比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。

例：

长是宽的几倍。

也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。

例：

路程÷速度=时间。

4、区分比和比值

比：

表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：

相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、　比和除法、分数的联系：

比前项比号“：

”后项比值

除法被除数除号“÷”除数商

分数分子分数线“—”分母分数值

7、比和除法、分数的区别：

除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

9、体育比赛中出现两队的分是2：

0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

10、求比值：

用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）

例如：

15∶10　＝15÷10＝15／10＝3/2

（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

比的基本性质：

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

2、最简整数比：

比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4.化简比：

（2）用求比值的方法。

注意：

最后结果要写成比的形式。

例如：

15∶10=15÷10=15／10＝3/2=3∶2

还可以15∶10=15÷10=3/2　　　最简整数比是3∶2

5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。

6.按比例分配：

把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种方法通常叫做按比例分配。

一般有两种解题法

１，用分率解:

按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。

要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。

例如：

有糖水25克，糖和水的比为1:

4，糖和水分别有几克？

1+4=5糖占1/5用25×1/5得到糖的数量，水占4/5用25×4/5得到水的数量。

2，用份数解：

要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。

例如：

有糖水25克，糖和水的比为1:

4，糖和水分别有几克？

糖和水的份数一共有1+4=5一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五单元圆的认识

一、认识圆形

1、圆的定义：

圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：

将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等.

3、半径：

连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。

用字母表示为：

d=2r或r=d/2

8、轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。

这些图形都是轴对称图形。

10、只有1条对称轴的图形有：

角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：

长方形；只有3条对称轴的图形是：

等边三角形；只有4条对称轴的图形是：

正方形;有无数条对称轴的图形是：

圆、圆环。

１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。

　二、圆的周长

1、圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

用字母C表示。

2、圆周率实验：

（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。

或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。

发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即３倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。

3、圆周率：

任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai）表示。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。

在计算时，一般取π≈3.14。

（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

4、圆的周长公式：

圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C=πd

（1）、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示

d=C÷π或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr

（2）、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍，

用字母表示r=C÷2π（r=C/2π）

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

（1）、周长的一半：

等于圆的周长÷2

计算方法：

2πr÷2即C半=πr

（2）半圆的周长：

等于圆的周长的一半加直径。

计算方法：

半圆的周长=5.14r（推导过程C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r）

　三、圆的面积

1、圆的面积：

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

用字母S表示。

2、圆面积公式的推导：

（1）把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

　长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。

（2）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

　　圆的半径　　=　　长方形的宽

　　圆的周长的一半　=　　长方形的长

3、圆面积的计算方法：

因为：

长方形面积=长×宽

　所以：

圆的面积=圆周长的一半×圆的半径

　即S圆=Ｃ÷2×r＝πr×r＝πr

　圆的面积公式：

S圆=πr→　　r=S圆÷π

4、环形的面积：

一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。

（R=r+环的宽度.）

S环=πR-πr或环形的面积公式：

S环=π（R-r）（建议用这个公式）。

5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

例如：

在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。

6、两个圆：

半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。

例如：

两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9

7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：

4∶π

8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。

反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。

9、常用各π值结果：

π=3.14；2π=6.28；5π=15.7　

10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r推导过程：

S=S正-S圆=d-πr　=2r×2r-πr=4r-πr=r×（4-π）=0.86r

11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r推导过程：

S=S圆-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×（π-2）=1.14r（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）

12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。

13、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360

14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。

15、常见半径与直径的周长和面积的结果。

半径半径的平方直径周长面积

1126.283.14

24412.5612.56

39618.8428.26

416825.1250.24

5251031.478.5

6361237.68113.04

7491443.96153.86

8641650.24200.96

9811856.52254.34

101002062.8314

1.52.2539.427.065

2.56.25515.719.625

3.512.25721.9838.465

4.520.35928.2663.585

5.530.251134.5494.985

7.556.251547.1176.625

第六单元百分数

一、百分数的意义和写法

（一）、百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

（二）、百分数和分数的主要联系与区别：

联系：

都可以表示两个量的倍比关系。

区别：

①、意义不同：

百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位;

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

3、百分数的写法：

通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。

二、百分数和分数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：

把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添上百分号。

2.百分数化成小数：

把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。

（二）百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数：

先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数：

①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。

②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

（建议用这种方法）

（三）常见分数小数百分数之间的互化；

三、用百分数解决问题

（一）一般应用题

1、常见的百分率的计算方法：

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。

2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。

例如：

例如:

男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。

列式是：

15÷20=15/20=75﹪　

3、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）百分率前是“的”：

单位“1”的量×百分率=百分率对应量

（2百分率前是“多或少”的数量关系：

单位“1”的量×（1±百分率）=百分率对应量

4、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。

方法与分数的方法相同。

解法：

（1）方程：

根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：

百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的量

5、求一个数比另一个数多（少）百分之几的方法与分数的方法相同。

只是结果要写为百分数形式。

看百分率前有没有比多或比少的问题；

百分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：

具体量÷（1-百分率）=单位“1”的量；

例如:

大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。

列式是：

50÷（1-50﹪）

（比多）：

具体量　÷（1+百分率）=单位“1”的量

例如:

工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？

列式是：

110÷（1+10﹪）

6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：

方法与分数的方法相同。

用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几

即①求一个数比另一个数多百分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。

甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙（建议用）

方法B，甲÷乙-100﹪

例如：

老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？

列式是：

（50－40）÷40=0.25=25﹪

②求一个数比另一个数少几分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。

乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）

方法B，100﹪-乙÷甲

例如：

张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？

（100－90）÷100=0.1=10﹪

说明：

多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。

7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）

8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：

1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1”。

求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率。

9、利润与折扣问题公式

利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%=（售出价÷成本-1）×100%

涨跌金额=本金×涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价×100%（折扣〈1）

利息=本金×利率×时间

税后利息=本金×利率×时间×（1-20%）

经典例题

例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？

（B级）

解：

定价是进价的1+35%

打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121.5%

每台DVD的实际盈利：

208+50=258（元）

每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元）

答：

每台DVD的进价是1200元

例2：

一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少元？

（B级）

分析：

解：

设乙店的成本价为1

（1+15%）是乙店的定价

（1-10%）×（1+20%）是甲店的定价

（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%

11.2÷7%=160（元）

160×（1-10%）=144（元）

答：

甲店的进货价为144元。

例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。

结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？

（B级）

分析：

要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。

解：

设第二次降价是按x%的利润定价的。

38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%

X%=25%

（1+25%）÷（1+100%）=62.5%

答：

第二次降价后的价格是原来价格的62.5%

第七单元：

扇形统计图

一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

也就是各部分数