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用锐角三角函数概念解题的常见方法含答案页
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法
1.锐角三角函数
(1)锐角三角函数的定义
我们规定:
sinA=abab,cosA=,tanA=,cotA=.ccba
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角
函数.
(2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三
角函数值求角度
对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可
以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?
用计算器可以帮我们解决大问题.
①已知角求三角函数值;
②已知三角函数值求锐角.
2
直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
3.锐角三角函数的性质
(1)0<sinα<1,o<cosα<1(0°<α<90°)
1
(2)tanα·cotα=1或tanα=
(3)tanα=1;cot?
sin?
cos?
,cotα=.cos?
sin?
(4)sinα=cos(90°-α),tanα=cot(90°-α).
有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法:
一、设参数
例1.在?
ABC中,?
C?
90?
,如果tanA?
5,那么sinB的值等于()12D.125A.5
13B.12
13C.5
12
解析:
如图1,要求sinB的值,就是求AC5的值,而已知的tanA?
,也就是AB12
BC5?
AC12
可设BC?
5k,AC?
12k
则AB?
(5k)2?
(12k)2?
13k
?
sinB?
12k12?
,选B13k13
二、巧代换
例2.已知tan?
?
3,求sin?
?
2cos?
的值。
5sin?
?
cos?
解析:
已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式
sin?
?
3,作代换
sin?
?
3cos?
,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的cos?
分式的分子、分母都除以cos?
。
tan?
?
2
sin?
?
2sin?
?
2cos?
?
cos?
sin5sin?
?
cos?
5?
1cos?
再把sin?
1?
3代入,得:
原式?
cos?
16
三、妙估计
例3.若太阳光与地面成37?
角,一棵树的影长为10m,则树高h的范围是(取?
1.7)
A.3?
h?
5B.5?
h?
10C.10?
h?
15D.h?
15解析:
如图2,树高h?
10tan37?
,要确定h的范围,可根据正切函数是增函数,估计tan30?
?
tan37?
?
tan45?
即10tan30?
?
10tan37?
?
10tan45?
?
10?
?
h?
103
?
5?
h?
10,故选B
四、善转化
例4.在?
ABC中,1?
A?
30?
,tanB?
BC?
,求AB的长。
3
解析:
注意题中所说的?
ABC并不是直角三角形!
如图3,?
ABC不是直角三角形,
1,可以作CD?
AB于D,3
这样?
B就是一直角三角形中的一角,?
A也为了利用tanB?
出现在另一个直角三角形中,
设CD?
x,则BD?
3x
由x2?
(3x)2?
()2,得x?
1
即CD=1,BD=3再有AD?
CD?
cot30?
?
?
AB?
3?
五、适时构造
例5.不查表,不用计算器,求sin75?
的值。
解析:
我们可以先画Rt?
ABC,使?
A?
30?
,?
C?
90?
,如图4,延长CA至D,使AD=AB,连结BD,则?
D?
?
DBA?
15?
,?
?
DBC
?
75?
图4
设BC=1,则AB?
2,AC?
3,CD?
2?
?
BD?
2?
(2?
3)2?
?
2
6?
2?
sin75?
?
?
46?
2
六、准确分类
例6.“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到?
A?
30?
,AC=40米,BC=25米,请你求出这块花圃的面积。
2?
3
4
图5图6
解析:
?
ABC中,已知两边和其中一边的对角,这时特别注意?
ABC的形状不惟一!
要分两种情况分别求出,如图5、图6,作CD?
AB,分出直角三角形后,可求得面积应为:
(3?
150)米2或(3?
150)米2
1.在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=,则cosB的值是()
2
A.1B
C.1D22.下列各式不成立的是()
A.sin50°<sin89°B.cos1°<cos88°
C.tan22°<cot45°D.cos23
°>sin23°
3.∠A是锐角,tanA>,则∠A()3
A.小于30°B.大于30°C.小于60°D.大于60°
4.下列各式正确的是()
A.sin30°+sin30°=sin60°B.tan60°-tan30°=tan30°
C.cos(60°-30°)
=cos60°-cos30°D.3tg30°5.一个人从山下沿30°角的坡路向上攀登,如果在坡面上走了100米,?
那么他上升的高度是()
A.
100米B.50米C.D.无法确定
6.在△ABC中∠C为直角,各边长均扩大2倍,则锐角A的四个三角函数值()
A.都扩大2倍B.都缩小2倍
C.没有变化D.有的扩大2倍,有的缩小2倍
7.cos60?
?
tan45?
的值等于()cot30?
?
2cot45?
5
A.
1.-C
D.
28.用计算器求“已知cotα=1.515,求α”时,先计算()
A.1B.αC
D.
cot?
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=2,则cosA=______.
10.若sin(90°-α)
=,则cos(90°-α)=______.2
3,b=6,则c=______.811.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
12.2cos30°-3tanα=0,则锐角α是_____度.
13.用不等号连接右面的式子:
cos40°_____cos20°,sin37°______sin42°.
1cos60°=_______,(sin30°+tan45°)·cos60°=_______.2
315.在Rt△ABC中,∠C为直角,若sinA=,则cosB=_______.514
°-
16.若tanα·tan35°=1,则锐角α的度数等于________.
17.△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,已知b=3,
?
求∠A的四个三角函数.
18.正方形ABCD中的正三角形ABP,?
已知正方形的边长为1,?
试计算tan?
∠PAD.
6
19.一个等腰三角形的两边是10、12,这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切.
20.如图是一块三角形形状的草坪ABC,经测量:
∠B=30°,∠A=45°,BC=25m,请你求出这块花圃的面积.(结果用根号表示)
21.△ABC中,│
71│+(sinB-)2=0,求∠C.2
答案:
1.D[点拨
]sinA=2,所以∠A=45°,所以cos∠
A=2.
2.B[点拨]余弦函数值随角度的增大而减小,所以cos1°<cos88°.
3.B[点拨]因为
tanA>3,所以tan>tan30°.?
又因为正切值随着角度的增大而减小,所以∠A>30°.
4.D
5.B[点拨]他上升的高度为100×sin30°=50.
6.C
1
7.D[点拨]cos60?
?
tan45?
?
1
cot30?
?
2cot45?
2.
8.A
9
点拨]此题有多种方法,这里例举一种:
,
cosA=ACAB?
4=2.
10.1
2[点拨]因为sin(90-α)
=2,所以90°-α=60°,
所以cos(90°-α)=cos60°=1
2.
8
11
3a9[点拨]tanA==,a=,
.86412.30°[点拨]因为2cos30°-3tanα=0,所以tanα
=,α=30°.3
13.<,<[点拨]正弦值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.
14.331113,[点拨
°-cos60°
-×=;4422224
113+1)×=.224
3315.[点拨]因为∠A=90°-∠B,所以sinA==sin(90°-∠B)=cosB.55(sin30°+tan45°)·cos60°=(
16.55°[点拨]因为tan35°·cot35°=1,tanα·tan35°=1,
所以tanα=cot35°,α=55°.
17.解:
根据勾股定理得:
所以
sinA=aab
cosA=?
;
tanA=?
,
.?
?
?
bc4c1411,AD=ED=.2218.解:
过点P作PE⊥AD,交BC于点F(如图所示).显然EF=1,BF=CF=
在直角三角形BFP中,PF=sin60°×
BP=×
1=.
22
pE=EF-PF=1-2=.22
PE在△AEP中,∠AEP=90°,所以tan∠
PAD=?
AE
2
19.解:
如图所示:
AB=AC=10,BC=12,作AD⊥BC于点D,作CE⊥AB于点E.
9
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=6.
在直角三角形ABD中,
.又∵S1
△ABC=2AB·CE=1
2BC·AD,所以10×CE=12×8,CE=9.6.
在直角三角形ACE中,
.
所以sin∠BAC=CE9.6
AC?
10=0.96,cos∠BAC=AE
AC?
2.8
10=0.28,
tan∠BAC=CE
AE?
9.6
2.8?
247
7,cot∠BAC=24.
20.解:
如图,过B作BD⊥AC于点D.
在直角三角形BCD中,∠B=30°,∠BDC=90°sinB=CD
BC,即CD=BC×sinB=25×sin30°=12.5(米)
BD=BC×cosB=25
×2
=2(米)
在直角三角形ACD中,∠A=45°
所以AD=CD=12.5(米)
10
所以三角形地ABC的面积是11
25AB·CD=(平方?
22
2米)
答:
略.
21.解:
∵│
│≥0,(sinB-1212
2)≥0且│
+(sinB-2)=0
∴│
cosA-2│=0,(sinB-12
2)=0
所以
cosA-2=0,sinB-11
2=0,即
cosA=2,sinB=2,
因此∠A=45°,∠B=30°
所以∠C=180°-45°-30°=105°.
11
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- 锐角三角 函数 概念 解题 常见 方法 答案