第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例学案 理 北师大版.docx
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第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
(对应学生用书第74页)
[基础知识填充]
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:
已知两个非零向量a和b,如图431,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.
图431
②当θ=0°时,a与b同向.
当θ=180°时,a与b反向.
当θ=90°时,a与b垂直.
(2)向量的数量积
定义:
已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cosθ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:
a·b=b·a;
(2)数乘结合律:
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)分配律:
a·(b+c)=a·b+a·c.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
数量积
a·b=|a||b|cosθ
a·b=x1x2+y1y2
夹角
cosθ=
cosθ=
a⊥b
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|
≤·
[知识拓展] 两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量.( )
(2)由a·b=0,可得a=0或b=0.( )
(3)向量a⊥b的充要条件:
a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.( )
(4)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
(5)a·b=a·c(a≠0),则b=c.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)× (4)× (5)×
2.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=( )
A.30° B.45°
C.60°D.120°
A [因为=,=,所以·=+=.又因为·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.]
3.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1B.0
C.1D.2
C [法一:
∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴a2=2,a·b=-3,
从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
法二:
∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选C.]
4.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
-2 [由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cosθ=4×cos120°=-2.]
5.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
7 [∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).
又a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0,
即(m-1)×(-1)+3×2=0,
解得m=7.]
(对应学生用书第75页)
平面向量数量积的运算
(1)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC边上的高,则·=( )
A.- B. C.- D.
(2)(2017·北京高考)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.
【导学号:
79140156】
(1)A
(2)6 [
(1)由等边三角形的性质得||=||=,〈,〉=120°,所以·=||||cos〈,〉=××=-,故选A.
(2)法一:
根据题意作出图像,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
·=||||cosθ,
||=2,||=,
cosθ==,
所以·=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
所以·的最大值为2+4=6.
法二:
如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),
所以=(2,0),=(cosα+2,sinα),
·=2cosα+4≤2+4=6,
当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.]
[规律方法] 向量数量积的两种计算方法
1当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ.
2当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=x1,y1,b=x2,y2,则a·b=x1x2+y1y2.
易错警示:
1要有“基底”意识,关键是用基向量表示题目中所求相关向量.
2注意向量夹角的大小,以及夹角θ=0°,90°,180°三种特殊情形.
[跟踪训练]
(1)(2018·太原模拟
(二))已知a=(2,1),b=(-1,1),则a在b方向上的投影为( )
A.-B.C.-D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
(1)A
(2)1 1 [由题意,得|b|=,a·b=-1,所以a在b方向上的投影为|a|cosθ==-,故选A.
法一:
以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1.
法二:
由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,所以·=||·1=1,
当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC=1,
所以(·)max=||·1=1.]
平面向量数量积的性质
◎角度1 平面向量的模
(2018·合肥二检)设向量a,b满足|a+b|=4,a·b=1,则|a-b|=( )
A.2B.2C.3D.2
B [由|a+b|=4两边平方可得|a|2+|b|2=16-2a·b=14,则|a-b|====2,故选B.]
◎角度2 平面向量的夹角
(2018·济南一模)设向量a与b的夹角为θ,若a=(3,-1),b-a=(-1,1),则cosθ=________.
(2)已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为( )
A.B.C.D.1
(1)
(2)A [
(1)由题意得向量b=(b-a)+a=(2,0),所以cosθ===.
(2)由题意可知:
-1=a·b=|a|·|b|cos120°,所以2=|a|·|b|≤.即|a|2+|b|2≥4,
|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,
所以|a-b|≥.]
◎角度3 平面向量的垂直
(2018·深圳二调)已知平面向量a,b,若|a|=,|b|=2,a与b的夹角θ=,且(a-mb)⊥a,则m=( )
A.B.1C.D.2
B [由(a-mb)⊥a可得(a-mb)·a=a2-ma·b=3-m××2×cos=0,解得m=1,故选B.]
[规律方法] 平面向量数量积性质的应用类型与求解策略
1求两向量的夹角:
cosθ=,要注意θ∈[0,π].
2两向量垂直的应用:
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
3求向量的模:
利用数量积求解长度问题的处理方法有
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=x,y,则|a|=.
4射影的数量投影
a在b上的投影|a|〈a,b〉=.
[跟踪训练]
(1)(2017·山西四校联考)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
A.B.C.D.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
(3)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
【导学号:
79140157】
(1)B
(2)2 (3) [∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.
(2)法一:
|a+2b|=
=
=
==2.
法二:
(数形结合法)由|a|=|2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
(3)=-,由于⊥,
所以·=0,
即(λ+)·(-)
=-λ2+2+(λ-1)·
=-9λ+4+(λ-1)×3×2×
=0,解得λ=.]
平面向量与三角函数的综合问题
(2017·湖北仙桃一中期中)已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
[解]
(1)a·b=coscos-sin·sin=cos2x.
∵a+b=,
∴|a+b|
=
==2|cosx|.
∵x∈,∴cosx>0,∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1
=2-.
∵x∈,∴≤cosx≤1,
∴当cosx=时,f(x)取得最小值-;
当cosx=1时,f(x)取得最大值-1.
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的方法等,得到三角函数的关系式,然后求解.
2给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
[跟踪训练] 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
[解]
(1)因为m=,
n=(sinx,cosx),m⊥n.
所以m·n=0,即sinx-cosx=0,
所以sinx=cosx,所以tanx=1.
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