排列组合与概率知识点与经典练习题.docx
- 文档编号:9143111
- 上传时间:2023-02-03
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:114.75KB
排列组合与概率知识点与经典练习题.docx
《排列组合与概率知识点与经典练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合与概率知识点与经典练习题.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
排列组合与概率知识点与经典练习题
一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:
①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量:
如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则
也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,
是连续函数或单调函数,则
也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为:
ξ取每一个值
的概率
,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
…
…
P
…
…
有性质①
;②
.
注意:
若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:
即
可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布:
如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:
[其中
]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作
~B(n·p),其中n,p为参数,并记
.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
4.几何分布:
“
”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为
,事A不发生记为
,那么
.根据相互独立事件的概率乘法分式:
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
1
2
3
…
k
…
P
q
qp
…
…
我们称ξ服从几何分布,并记
,其中
二.数学期望与方差.
1.期望的含义:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
…
…
P
…
…
则称
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量
的数学期望:
①当
时,
,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当
时,
,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当
时,
,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布:
其分布列为:
.
⑶两点分布:
,其分布列为:
(p+q=1)
⑷二项分布:
其分布列为
~
.(P为发生
的概率)
⑸几何分布:
其分布列为
~
.(P为发生
的概率)
3.方差、标准差的定义:
当已知随机变量ξ的分布列为
时,则称
为ξ的方差.显然
,故
为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
越小,稳定性越高,波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量
的方差
.(a、b均为常数)
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布:
其分布列为
⑶两点分布:
其分布列为:
(p+q=1)
⑷二项分布:
⑸几何分布:
5.期望与方差的关系.
⑴如果
和
都存在,则
⑵设ξ和
是互相独立的两个随机变量,则
⑶期望与方差的转化:
⑷
(因为
为一常数)
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:
由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
解:
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:
分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
种
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有
种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有几种方法
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
种不同的排法
六.多排问题直排策略
例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
种,其余的5人在5个位置上任意排列有
种,则共有
种
七.排列组合混合问题先选后排策略
例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:
第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
种方法,根据分步计数原理装球的方法共有
八.元素相同问题隔板策略
例8.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解:
因为10个名额没有差别,把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有
种分法。
九.正难则反总体淘汰策略
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种?
解:
这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
只含有1个偶数的取法有
和为偶数的取法共有
。
再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有
十.合理分类与分步策略
例10.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解:
10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
种,由分类计数原理共有
种。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 排列组合 概率 知识点 经典 练习题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)