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第2章信号分析
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。
本章提要
唐宋或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者称为“博士”,这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。
至明清两代,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。
至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有的基本概念都具有了。
⏹信号分类
一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:
“师者教人以不及,故谓师为师资也”。
这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云:
“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
⏹周期信号分析--傅里叶级数
⏹非周期信号分析--傅里叶变换
⏹脉冲函数及其性质
信号:
反映研究对象状态和运动特征的物理量
信号分析:
从信号中提取有用信息的方法和手段
§2-1信号的分类
●两大类:
确定性信号,非确定性信号
确定性信号:
给定条件下取值是确定的。
进一步分为:
周期信号,非周期信号。
非确定性信号(随机信号):
给定条件下取值是不确定的
●按取值情况分类:
模拟信号,离散信号
数字信号:
属于离散信号,幅值离散,并用二进制表示。
●信号描述方法
时域描述
如简谐信号
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方法:
将信号看成许多谐波(简谐信号)之和,每一个谐波称作该信号的一个频率成分,考察信号含有那些频率的谐波,以及各谐波的幅值和相角。
§2-2周期信号与离散频谱
一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式
●周期信号时域表达式
T:
周期。
注意n的取值:
周期信号“无始无终”
●傅里叶级数的三角函数展开式
(n=1,2,3,…)
傅立叶系数:
式中T--周期;ω0--基频,ω0=2π/T。
●三角函数展开式的另一种形式:
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法
●频谱图
●周期信号的频谱三个特点:
离散性、谐波性、收敛性
●例1:
求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图
解:
解:
信号的基频
傅里叶系数
n次谐波的幅值和相角
最后得傅立叶级数
频谱图
幅频谱图相频谱图
二、周期信号傅里叶级数的复指数形式
●欧拉公式
或
●傅立叶级数的复指数形式
●复数傅里叶系数的表达式
其中an,bn的计算公式与三角函数形式相同,只是n包括全部整数。
●一般cn是个复数。
因为an是n的偶函数,bn是n的奇函数,因此#
即:
实部相等,虚部相反,cn与c-n共轭。
●cn的复指数形式
共轭性还可以表示为
,
即:
cn与c-n模相等,相角相反。
●傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。
它与三角函数形式的关系
对于n>0
(等于三角函数模的一半)
(与三角函数形式中的相角相等)
n
n
n
n
n
a
b
a
b
arctg
arctg
=
-
-
=
-
φ
●用cn画频谱:
双边频谱
第一种:
幅频谱图:
|cn|-ω,相频谱图:
ϕn-ω
0
ω
0
2
ω
1
φ
0
ω
n
A
1
A
2
A
n
φ
2
φ
n
c
2
1
1
A
c
=
2
2
2
A
c
=
0
ω
0
2
ω
ω
0
2
ω
ω
ω
0
ω
0
2
ω
ω
0
ω
-
0
2
ω
-
2
φ
1
φ
1
φ
-
2
φ
-
n
φ
1
φ
-
单边频谱
双边频谱
第二种:
实谱频谱图:
Recn-ω,虚频谱图:
Imcn-ω;也就是an-ω和-bn-ω.
§2-3非周期信号与连续频谱
分两类:
a.准周期信号
定义:
由没有公共周期(频率)的周期信号组成
频谱特性:
离散性,非谐波性
判断方法:
周期分量的频率比(或周期比)不是有理数
b.瞬变非周期信号
几种瞬变非周期信号
数学描述:
傅里叶变换
一、傅里叶变换
演变思路:
视作周期为无穷大的周期信号
式(2.22)借助(2.16)演变成:
定义x(t)的傅里叶变换X(ω)
X(ω)的傅里叶反变换x(t):
●傅里叶变换的频谱意义:
一个非周期信号可以分解为角频率ω连续变化的无数谐波
的叠加。
称X(ω)其为函数x(t)的频谱密度函数。
●对应关系:
X(ω)描述了x(t)的频率结构
X(ω)的指数形式为
)
(
)
(
)
(
ω
φ
ω
ω
j
e
X
X
=
●以频率f(Hz)为自变量,因为f=w/(2p),得
X(f)的指数形式
●频谱图
幅值频谱图和相位频谱图:
ω
)
(
ω
X
ω
)
(
ω
ϕ
幅
值
频谱
图
相
位
频谱
图
实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω)
如果X(ω)是实函数,可用一张X(ω)图表示。
负值理解为幅值为X(ω)的绝对值,相角为
或
。
二、傅里叶变换的主要性质
(一)叠加性
(二)对称性
(注意翻转)
(三)时移性质
(幅值不变,相位随f改变±2πft0)
(四)频移性质
(注意两边正负号相反)
(五)时间尺度改变特性
(六)微分性质
(七)卷积性质
(1)卷积定义
(2)卷积定理
三、脉冲函数及其频谱
(一)脉冲函数:
定义δ函数(要通过函数值和面积两方面定义)
函数值:
脉冲强度(面积)
(二)脉冲函数的样质
1.脉冲函数的采性(相乘)样质:
函数值:
强度:
结论:
1.结果是一个脉冲,脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值
2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
2.脉冲函数的卷积性质:
(a)利用结论2
(b)利用结论2
结论:
平移
(三)脉冲函数的频谱
均匀幅值谱
由此导出的其他3个结果
(利用时移性质)
(利用对称性质)
(对上式,再用频移性质)
(四)正弦函数和余弦函数的频谱
[
]
)
0
0
2
2
(
2
1
)
(
2
1
2
1
2
cos
f
f
f
f
e
e
ft
FT
ft
j
ft
j
-
+
+
−
→
−
+
=
-
δ
δ
π
π
π
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