概率与统计知识整合高考理科数学二轮复习微专题讲义.docx
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概率与统计知识整合高考理科数学二轮复习微专题讲义
专题5 概率与统计
一、计数原理
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别是什么?
分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列数、组合数的公式及性质是什么?
公式
(1)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
(2)==
=(n,m∈N+,且m≤n)
特别地,=1
性质
(1)0!
=1;=n!
(2)=;=+
3.二项式系数的性质是什么?
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性
二项式系数
当k<(n∈N+)时,二项式系数是递增的
当k>(n∈N+)时,二项式系数是递减的
二项式
系数的
最大值
当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与取得最大值并且相等
4.各二项式系数的和是什么?
(1)(a+b)n展开式的各项二项式系数的和为+++…+=2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
二、概率
1.互斥事件与对立事件有什么区别与联系?
互斥与对立都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件不一定是对立事件.
2.基本事件的三个特点是什么?
(1)每一个基本事件发生的可能性都是相等的;
(2)任何两个基本事件都是互斥的;
(3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
3.古典概型、几何概型的概率公式分别是什么?
古典概型的概率公式:
P(A)=.
几何概型的概率公式:
P(A)=.
三、统计初步与统计案例
1.分层抽样的适用范围是什么?
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法.
2.如何作频率分布直方图?
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
(2)决定组距与组数.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表.
(5)画频率分布直方图.
3.频率分布直方图的特点是什么?
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×.
(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积总和等于1.因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比.
(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.
4.如何进行回归分析?
(1)定义:
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中(,)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时,表明两个变量正相关;
当r<0时,表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间的线性相关性越弱.通常当|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
5.独立性检验的一般步骤是什么?
解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤:
(1)根据样本数据制成2×2列联表;
(2)根据公式K2=计算K2的观测值k;
(3)比较k与临界值的大小关系,做出统计推断.
四、随机变量及其应用
1.离散型随机变量的分布列及性质是什么?
(1)离散型随机变量的分布列:
若离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为p1,p2,…,pn,则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质:
①0≤pi≤1(i=1,2,3,…,n);
②p1+p2+…+pn=1;
③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj.
2.事件的相互独立性的概念及公式是什么?
(1)相互独立的定义:
事件A是否发生对事件B是否发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B).这时,称事件A与事件B相互独立,并把这两个事件叫作相互独立事件.
(2)概率公式
条件
公式
事件A,B相互独立
P(A∩B)=P(A)·P(B)
事件A1,A2,…,An相互
独立
P(A1∩A2∩…∩An)
=P(A1)·P(A2)·…·P(An)
3.独立重复试验与二项分布的概念和公式是什么?
(1)独立重复试验
①定义:
在相同条件下,重复地做n次试验,各次试验相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式:
在一次试验中事件A发生的概率为p,则n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
(2)二项分布:
在n次独立重复试验中,事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q=1-p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=pkqn-k,其中k=0,1,2,…,n,于是X的分布列:
X
0
1
…
k
…
n
P
p0qn
pqn-1
…
pkqn-k
…
pnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
4.正态分布的概念及性质是什么?
(1)正态曲线:
正态变量的概率密度函数的图象叫作正态曲线,其函数表达式为f(x)=·,x∈R,其中μ,σ为参数,且σ>0,-∞<μ<+∞.
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值;
④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 5.离散型随机变量的数学期望(或均值)与方差的概念是什么? 设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值对应的概率分别是p1,p2,…,pn. (1)数学期望: 称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它刻画了这个离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差: 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn为离散型随机变量X的方差,它反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度),D(X)的算术平方根叫作离散型随机变量X的标准差. 6.均值与方差的性质有哪些? (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数). (3)两点分布与二项分布的均值、方差的公式 ①若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点,几何概型主要以客观题形式考查,求解的关键在于找准测度(长度或面积);相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一部分考查,也是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式.近几年的高考数学试题对统计案例的考查一般不单独命题,而是与概率、随机变量的数学期望交汇命题,高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程,了解独立性检验的思想方法,会判断两个分类变量是否有关.从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为15%,以简单题、中档题为主,考查题型分选择题、填空题和解答题. 一、选择题、填空题的命题特点 (一)考查排列、组合的应用,以考查两个计数原理和排列、组合的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现. 1.(2018·全国Ⅰ卷·理T15改编)从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,恰有1名女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 解析▶ 由题意可得有1名女生,2名男生,则有C=12种不同的选法. 答案▶ 12 2.(2018·浙江卷·T16改编)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 解析▶ 一共可以组成A=720个没有重复数字的四位数. 答案▶ 720 3.(2017·全国Ⅱ卷·理T6改编)安排5名志愿者完成4项工作,每项工作只需由1人完成,则不同的安排方式共有( ). A.120种 B.180种 C.240种 D.360种 解析▶ 由题意可得,5人中选出4人完成工作,剩下1人没有工作,故不同的安排方式有A=120(种). 答案▶ A (二)考查二项式定理的应用,以考查运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现. 4.(2018·全国Ⅲ卷·理T5改编)的展开式中x的系数为( ). A.10B.20C.40D.80 解析▶ 由题可得Tr+1C(x2)5-rC·2r·x10-3r, 令10-3r=1,得r=3.所以·2r=·23=80. 答案▶ D 5.(2017·全国Ⅰ卷·理T6改编)(1+x)6的展开式中x4的系数为( ). A.15B.16C.30D.35 解析▶ 因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1Cxr,所以(1+x)6的展开式中含x4的项为1Cx4和Cx6. 因为+=16,所以(1+x)6的展开式中x4的系数为16. 答案▶ B (三)考查随机事件的概率,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,难度中等,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随机事件的频率与概率题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念及概率题目常常以选择、填空题的形式出现. 6.(2018·全国Ⅲ卷·文T5改编)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ). A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析▶ 设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.25=0.6,故选C. 答案▶ C (四)考查古典概型,全国卷对古典概型每年都会考查,难度中等,主要考查实际背景的可能事件,通常与互斥事件、对立事件一起考查.在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题形式出现,属于中低档题. 7.(2018·全国Ⅱ卷·理T8改编)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取2个不同的数,其和等于26的概率是( ). A.B.C.D. 解析▶ 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取2个不同的数,共有C=45种取法.因为3+23=7+19=26,所以随机选取2个不同的数,其和等于26的有2种取法,故所求概率为. 答案▶ D 8.(2018·江苏卷·T6改编)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中1名男生和1名女生的概率为 . 解析▶ 从5名学生中任选2名学生,共有C=10种选法,其中恰好选中1名男生和1名女生的选法有CC=6种,因此所求概率为=. 答案▶ (五)考查几何概型,难度较大,以理解几何概型的概念、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查,在高考中多以选择题、填空题的形式考查,难度中等. 9.(2018·全国Ⅰ卷·理T10改编)折纸艺术是我国古代留下来宝贵的民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.如图所示的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内圆形区域外面的概率P2的大小关系是( ). A.P1>P2B.P1 C.P1=P2D.不能确定 解析▶ 将正方形内圆形区域外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外面的面积,故P1=P2. 答案▶ C 10.(2016·全国Ⅱ卷·文T8改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为( ). A.B.C.D. 解析▶ 至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为=,故选A. 答案▶ A (六)考查随机抽样,在抽样方法的考查中,系统抽样、分层抽样是考查的重点,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题. 11.(2017·江苏卷·T3改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200、400、300、100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从甲种型号的产品中抽取 件. 解析▶ ∵==,∴应从甲种型号的产品中抽取×200=12(件). 答案▶ 12 (七)用样本估计总体,主要考查平均数、方差等的计算以及茎叶图、频率分布直方图的简单应用.题型以选择题和填空题为主,出现解答题时经常与概率相结合,属于中档题. 12.(2018·全国Ⅰ卷·理T3改编)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下列选项中不正确的是( ). A.新农村建设后,种植收入增加 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入没有增加 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析▶ 由题干可知,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为方便可设建设前后的经济收入分别为100,200(单位省去).A中,种植收入前后分别为60,74,收入增加了,A正确;B中,其他收入前后分别为4,10,增加了一倍以上,B正确;C中,养殖收入前后分别为30,60,收入增加了一倍,C错误;D中,建设后,养殖收入与第三产业收入的总和为(30+28)×2=116>100,D正确.故选C. 答案▶ C 13.(2017·全国Ⅲ卷·理T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位: 万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ). A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 解析▶ 对于选项A,由图易知,月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份,故A错误;对于选项B,观察折线图的变化趋势可知,年接待游客量逐年增加,故B正确;对于选项C,D,由图可知显然正确. 答案▶ A (八)考查离散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学期望与方差,求离散型随机变量的数学期望是全国卷高考重点考查的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、正态分布等. 14.(2018·全国Ⅲ卷·理T8改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.1,P(X=4) A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 解析▶ 因为X~B(n,p), 所以D(X)=np(1-p)=2.1, 所以p=0.3或p=0.7. 因为P(X=4)=p4(1-p)6 所以(1-p)2 答案▶ A 15.(2017·全国Ⅱ卷·理T13改编)一批产品的二等品率为0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= . 解析▶ 有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.08×0.92=7.36. 答案▶ 7.36 二、解答题的命题特点 概率与统计综合试题的题干阅读量大,容易造成考生在数学模型转化过程中失误,得分率不高.这些试题主要考查古典概型,用样本估计总体,利用回归方程进行预测,独立性检验的应用,离散型随机变量的分布列和数学期望,正态分布等.概率、随机变量的数学期望交汇命题,高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程. 1.(2018·全国Ⅱ卷·理T18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位: 亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①: =-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②: =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值. (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由. 解析▶ (1)利用模型①,从2000年开始算起,2018年即t=19,所以该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,从2010年开始算起,2018年即t=9,所以该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. 2.(2018·全国Ⅰ卷,理T20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X). (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析▶ (1)由题意可知,独立重复试验符合二项分布,20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)Cp2(1-p)18=190p2(1-p)18, 对上式求导得f'(p)=[190p2(1-p)18]' =190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17] =190p(1-p)17[2(1-p)-18p] =380p(1-p)17(1-10p). 当f'(p)=0时,有p(1-p)17(1-10p)=0,由0 0,f(p)单调递增;当p∈时,f'(p)<0,f(p)单调递减. 故f(p)max=f(p0)=f,即p0=. (2)(i)由题意,剩余未作检验的产品有180件,其中Y表示不合格品的件数,其服从二项分布Y~B. 故E(Y)=180×=18. 又X=40+25Y, 故E(X)=E(40+25Y)=40+25×18=490(元). (ii)若对这箱余下的所有产品作检验,则需要的检验费为200×2=400(元). 因为E(X)=490>400,所以需要对这箱余下的所有产品作检验. 3.(2018·全国Ⅲ卷·理T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位: min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高? 并说明理由. (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表: 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据 (2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: K2=, P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解析▶ (1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下: (i)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟,因此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟,因此第二种生产方式的效率更高. (iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈
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