高三数学理二轮复习专题十六统计与统计案例.docx
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高三数学理二轮复习专题十六统计与统计案例
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专题十六 统计与统计案例
(见学生用书P99)
(见学生用书P99)
1.抽样方法包括:
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法.
2.频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距,数据落在各个小组内的频率用小矩形的面积表示,各小矩形的面积和等于1.
3.众数、平均数、中位数是描述数据的集中趋势的量,方差、标准差则是描述数据的波动大小.其中,方差的计算公式为s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].
4.茎叶图通常用来记录两位数的数据,把两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,如数据为三位数,则把十位和百位数字放在一起作为茎,个位数字作为叶.
5.回归分析
(1)回归直线方程:
=x+一定过样本点中心,=,=y-x.
(2)样本相关系数r
当r>0时,表明两变量正相关;当r<0时,表明两变量负相关.|r|越接近1,表明两变量的线性相关性越强;|r|越接近0,表明两变量的线性相关性越弱.
6.独立性检验
K2=,其中n=a+b+c+d.
(见学生用书P99)
考点一 随机抽样方法
考点精析
1.解决区分抽样方法的问题,先要弄清三种抽样方法的意义与本质,然后根据三种抽样方法适应的情况进行判断,这样才能保证求解的正确性.
2.求抽取样本的相关参数问题的基本步骤是:
一要明确是哪一种抽样方法;是分层抽样还是系统抽样;二要利用好分层抽样或系统抽样的基本关系;三是建立参数的关系式来求解,要注意在计算时应细心、准确.
例1-1(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100
C.180D.300
考点:
分层抽样.
分析:
根据分层抽样的抽样比相等原理求解.
解析:
抽取的样本中青年教师有320人,占该校青年教师人数的,所以样本中老年教师人数为900×=180.故选C.
答案:
C
点评:
本题考查分层抽样,只需根据分层抽样的抽样比分别抽样即可,属于基础题.
例1-2(2014·黄冈模拟)要采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人数为n1,编号落入区间[451,750]的人数为n2,其余的人数为n3,则n1∶n2∶n3=( )
A.15∶10∶7B.15∶9∶8
C.1∶1∶2D.14∶9∶9
考点:
系统抽样方法.
分析:
根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人,即抽到号码的公差d=30,然后根据等差数列的公式即可得到结论.
解析:
根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人,即抽到号码的公差d=30.
∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,
∴等差数列的首项为29,
则抽到号码数为an=29+30(n-1)=30n-1,
由30n-1≤450,得30n≤451,
即n≤=15,
∴n≤15,即编号落入区间[1,450]的人数为15人,即n1=15.
由451≤30n-1≤750,
得452≤30n≤751,
即≤n≤,
则15≤n≤25,
∴16≤n≤25,即编号落入区间[451,750]的人数为25-16+1=10人,即n2=10.
所以n3=32-15-10=7.
故n1∶n2∶n3=15∶10∶7.
答案:
A
点评:
本题主要考查系统抽样的定义及应用,转化为等差数列是解决本题的关键.
规律总结
随机抽样方法(特别是分层抽样与系统抽样)是历年高考的热点,一般设置为选择、填空题,难度为容易题,牢记抽样方法的本质是解决这类问题的关键.
变式训练
【1-1】(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶图如图所示:
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中提取7人,取其中成绩在区间[139,151]上的运动员的人数是( )
A.3B.4
C.5D.6
解析:
按系统抽样抽取7人,即把35人按1~35编号后平均分成7段,各段间隔为=5.由于成绩在区间[139,151]上的运动员的人数为20,被抽取的人数为=4.故选B.
答案:
B
考点二 用样本估计总体
考点精析
1.解决频率分布直方图的相关问题,首先,要读懂频率分布直方图所描述的问题,其次,根据频率分布直方图提供的数据进行相关的计算.
2.求解样本数据的数字特征的相关计算问题:
一要熟悉公式,二要计算准确.
例2-1(2014·潍坊模拟)2012年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中,按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如图的频率分布直方图.
(1)该调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数和平均数;
(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求车速在[65,70)的车辆至多有一辆的概率.
考点:
频率分布直方图;等可能事件的概率.
分析:
(1)这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.
(2)选出直方图中最高的矩形,求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的点即为中位数;利用各个小矩形的面积分别乘以对应矩形的底边的中点的积的和为数据的平均数.
(3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数和车速在[65,70)的车辆数.从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,设车速在[60,65)的车辆设为a,b,车速在[65,70)的车辆设为c,d,e,f,列出各自的基本事件数,从而求出相应的概率即可.
解析:
(1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.故调查公司在采样中,用到的是系统抽样.
(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数等于77.5.
设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为:
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5,
解得x=77.5,即中位数为77.5.
平均数等于0.01×5×62.5+0.02×5×67.5+0.04×5×72.5+0.06×5×77.5+0.05×5×82.5+0.02×5×87.5=77.
(3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为:
m1=0.01×5×40=2(辆),
车速在[65,70)的车辆数为:
m2=0.02×5×40=4(辆).
设车速在[60,65)的车辆设为a,b,车速在[65,70)的车辆设为c,d,e,f,
则所有基本事件有:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),
(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),
(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种.
其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有:
(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),
(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),
(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共14种.
所以,车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为P=.
点评:
解决频率分布直方图的有关特征数问题应清楚:
众数是最高矩形的底边中点;中位数是左右两边的矩形的面积都等于的底边的值;平均数等于各个小矩形的面积分别乘以对应的矩形的底边中点的积的和.此题把统计和概率结合在一起,比较新颖,也是高考的方向,应引起重视.
规律总结
用样本估计总体是统计学基本思想方法,因而也是历年高考命题的热点问题.重点考查:
用样本的频率和频率分布直方图估计总体,用样本的数字特征估计总体,用茎叶图估计总体.
变式训练
【2-1】(2015·湖北卷)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:
万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=________;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
解析:
(1)a==3.
(2)∵10000×[1-(0.15+0.25)]=6000,
∴消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6000.
答案:
(1)3
(2)6000
【2-2】(2014·上海模拟)从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量分别为(单位:
克)x,127,y,125,123,且平均质量为125,则该样本方差s2的最小值为______.
解析:
∵x,127,y,125,123,且平均质量为125,
∴(x+127+y+125+123)=125,
∴x+y=250,即y=250-x.
∴样本方差s2=[(x-125)2+4+(y-125)2+4]=(x-125)2+,
∴当x=125时,s2的最小值是.
答案:
【2-3】(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:
则这组数据的中位数是( )
A.19B.20
C.21.5D.23
解析:
这组数据按照从小到大排列是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,共12个数据,所以这组数据的中位数是=20,故选B.
答案:
B
【2-4】(2015·安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:
[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
解析:
(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;
受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为P=.
考点三 统计案例
考点精析
1.变量相关性的判断问题,主要是分析散点图提供的数据信息,进而确定两变量之间所存在的线性相关性.
2.变量相关性的数据分析问题,首先要熟知回归直线方程及其特点(过定点),其次要准确计算,最后解决相关问题.
3.当相关系数的绝对值不小于0.75时,两个变量具有较好的相关性,这种情况下求出的回归直线方程具有实际应用价值.
4.所谓独立性检验,就是根据采集样本的数据,先利用三维柱形图和二维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系,再利用公式计算K2的值,比较它与临界值的大小关系,来判断事件X与Y是否有关的问题.
例3-1(2014·广州模拟)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:
先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+a;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问
(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
考点:
回归分析的初步应用;等可能事件的概率.
分析:
(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有6种.根据等可能事件的概率做出结果.
(2)根据所给的数据,先做出x,y的平均数,即做出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程.
(3)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的,根据求得的结果和所给的数据进行比较,得到所求的方程是可靠的.
解析:
(1)设抽到不相邻的两组数据为事件A,
从5组数据中选取2组数据共有10种情况:
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5),其中数据为12月份的日期数.
每种情况都是等可能出现的,事件A包括的基本事件有6种.
∴P(A)==.
∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.
(2)由数据,求得=12,=27.
由公式,求得b=,a=-b=-3,
∴y关于x的线性回归方程为=x-3.
(3)当x=10时,=×10-3=22,|22-23|<2;
同样当x=8时,=×8-3=17,|17-16|<2.
∴该研究所得到的回归方程是可靠的.
点评:
本题考查等可能事件的概率,考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,考查估计验算所求的方程是否是可靠的,是一个综合题目.
规律总结
统计案例包括回归分析与独立性检验两大知识点.主要考查基本概念、基本思想.题型多样化,选择题、填空题、解答题都可能出现.高考中回归分析应该重点在先分析再求解回归直线方程,并进行相应的估计预测,但由于这类问题的计算量较大,预计试题中出现的数据组数不会太多,应在5组~10组数据之内.对于独立性检验问题,将主要以K2的计算为主,以及根据结果进行相关性判断.
变式训练
【3-1】(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区的5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=-——,x).据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元B.11.8万元
C.12.0万元D.12.2万元
解析:
由表中数据可得,
——,x)=×(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,
=×(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,
∴=-——,x)=8-0.76×10=0.4,
故可得回归直线方程=0.76x+0.4,估计该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为=0.76×15+0.4=11.8(万元),故选B.
答案:
B
【3-2】(2015·重庆卷)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年代
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程=t+;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:
回归方程=t+中,
.
解析:
(1)列表计算如下:
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5,=i==3,=i==7.2.
又ltt=120-5×3×7.2=12,
从而===1.2,=-t=7.2-1.2×3=3.6,
故所求回归方程为=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
(见学生用书P104)
例1(2014·湖南模拟)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).
解析:
(1)由题意,
解得x=15,y=20.
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,
x==1.9.
∴估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟.
(2)设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”.
将频率视为概率,
得P(B)==,P(C)==.
∵B,C互斥,且A=B+C,其中A表示事件“一位顾客一次性购物结算时间不超过2分钟”.
∴P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=,
因此P(A)=1-P(A)=1-=.
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.
易错提示:
(1)对统计表的信息不理解,错求x,y难以用样本平均数估计总体.
(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B+C的对立事件,导致计算错误.
专家会诊:
(1)准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征的含义.
(2)正确判定事件间的关系,善于将A转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式.
例2某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用如图所示的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )
A.0.6B.0.9
C.1.0D.1.5
考场错解:
由图可以看出所用时间为0.5h的人数最多,∴选A.
专家把脉:
对条形图理解错误,实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题.
对症下药:
设每人阅读的时间为ξ,则ξ=0,0.5,1.0,1.5,2.0.且P(ξ=0)=,P(ξ=0.5)=,
P(ξ=1.0)=,P(ξ=1.5)=,P(ξ=2.0)=.
∴Eξ=0×+0.5×+1.0×+1.5×+2.0×=0.9.
∴这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9h.
∴选B.
专家会诊:
对抽样方法,总体分布的估计,正态分布及线性回归等知识点近几年高考要求都不高,有的尚未考查,但作为新的知识点,高考也不会完全放弃,所以平时学习应以基础知识为主,重点学习抽样方法,正态分布的基础知识.抽样方法主要是概念的理解,正态分布主要是图象的性质.
(见学生用书P182)
一、选择题
1.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:
万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析:
A,B,C均正确,对D,2006年以来随年份增加,二氧化硫年排放量减少,不与年份正相关.
答案:
D
2.(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取来一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
解析:
由题可知,谷占的比例约为,
所以米内夹谷约为×1534≈169(石).
答案:
B
3.(2014·江西二模)甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,其中甲成绩的中位数为15,极差为12;乙成绩的众数为13,1,2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有( )
A.1>2,s1 B.1=2,s1 C.1=2,s1=s2 D.1=2,s1>s2 解析: 根据题意,得x=5,z=3,20+y-9=12, ∴y=1. ∴甲测试成绩的平均数是 1==15, 乙测试成绩的平均数是 2==15, ∴1=2. 又∵甲的测试成绩数据极差小,数据比较集中, ∴甲的标准差小, 乙的测试成绩数据极差相对大,数据比较分散, ∴乙的标准差大, ∴s1 答案: B 4.(2015·安徽卷)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( ) A.8B.15 C.16D.32 解析: 若x1,x2,…,xn的标准差为s,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的标准差为as.由题意s=8,则所求标准差为2×8=16. 答案: C 5.(2015·重庆卷)从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预测身高为172cm的高三男生的体重为( ) A.70.09kgB.70.12kg C.70.55kgD.71.05kg 解析: 由表中数据可得x==170, ==69, 因为(——,x),)一定在回归直线=0.56x+上, 故69=0.56×170+,解得=-26.2. 故=0.56x-26.2. 当x=172时,=0.56×172-26.2=
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