平面直角坐标系和点的坐标.docx
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平面直角坐标系和点的坐标
平面直角坐标系与点的坐标
一、选择题
1.(2016•湖北咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),
OB=45,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DR最短时,点P的坐标为()
A.(0,0)
【考点】菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称一一最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题.
【分析】点C关于OB的对称点是点A,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DR最短的点;连接CP,解答即可.
【解答】解:
如图,连接AD交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CPAC,AC交OB于点E,过E作EF丄OA垂足为F.
•••点C关于0B的对称点是点A,•••CP=AP•••AD即为CP+DP最短;
•••四边形OABC是菱形,OB=45,
•••OE=1OB=2、5,AC丄OB
又•••A(5,0),
•••在Rt△aeo中,ae=OA2_OE2=,52-(2\5)2=5;
易知Rt△OEF^AOAE
OE_EF
…OA=AE
OEAE255_o
…EF=~0A=5=2,
•••of=OE2EF2=(2\5)2-22=4.
•••E点坐标为E(4,2)
设直线OE的解析式为:
y=kx,将E(4,2)代入,得y=;x,
设直线AD的解析式为:
y=kx+b,将A(5,0),D(0,1)代入,得y=—gx+1,
•••点P的坐标的方程组y=舟x,
y=-:
x+i
解得x=
10T,
y=
•••点P的坐标为(170,7)
故选D.
【点评】本题考查了菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相
似,勾股定理,动点问题•关于最短路线问题:
在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L
上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点(注:
本题C,D位于
OB的同侧).如下图:
解决本题的关键:
一是找出最短路线,二是根据一次函数与方程组的关系,将两直线的解析
式联立方程组,求出交点坐标.
2.2016•四川成都•3分)平面直角坐标系中,点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为
()
A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,-2)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质,横坐标不变,纵坐标互为相反数,进而得出答案.
【解答】解:
点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为(-2,-3).
故选:
A.
3.(2016湖北孝感,6,3分)将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在
平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=2,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,则点A的对应点A的坐标为()
-「)-旋转【分析】先根据题意画出点A'依据旋转的定义和性质可得到角三角函数值求解即可.
【解答】解:
如图所示:
过点
的位置,然后过点
OA的长和/COA
A作AC丄OB
A作AC丄OB接下来
的度数,最后依据特殊锐
•••将三角板绕原点O顺时针旋转75°,
•••/AOA=75°,OA=OA
•••/COA=45°.
•OC=2<:
=",CA=2<:
=".
22
•A的坐标为(二-「).
故选:
C.
【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用,得到/COA=45。
是解题的关键.
4.(2016•广西贺州)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB',那么A(-
2,5)的对应点A'的坐标是()
A卜
B'
bL\
%*
*1
*J
*卢*
—丁
0
X
A.(2,5)B.(5,2)C.(2,-5)D.(5,-2)
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB'可以得出厶ABdAAB'O',
/AOA=90°,作ACLy轴于C,AC'丄x轴于C',就可以得出△AC3AACO,就可以得出AC=AC,CO=CO由A的坐标就可以求出结论.
【解答】解:
•••线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB',
•••△ABO^^AB'O,/AOA=90°,
•••AO=AO.
作ACLy轴于C,AC'Lx轴于C',
•••/ACOMA'C'O=90.
•••/COC=90°,
•••/AOA-MCOA=MCOC-/COA,
•••/AOCMA'OC.
在厶ACO和厶AC'O中,
'Zaco=Za'茫o
ZAOOZA70C7
姑0
•△ACO^ACO(AAS,
•AC=AC',CO=CO.
A(-2,5),
•AC=2CO=5
•AC'=2,OC=5,
•A(5,2).
故选:
B.
【点评】本题考查了旋转的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等式的性质的运
用,点的坐标的运用,解答时证明三角形全等是关键.
5.(2016•山东枣庄)已知点P(a+1,-a+l)关于原点的对称点在第四象限,贝Ua的取
2
值范围在数轴上表示正确的是
1■——i1・
-2-
1012
A.
-2
012
C.
1^^
-2-1
oi2■
L
B.
D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:
已知点拭a+lj-—+1)关于瘵点的对称点在第四家限,可得点P在第二象限,所UAa+KO»+1
7r
>0*解得a<-l,在数轴上表示为
故答案选C,
考点:
点的坐标;不等式组的解集•
6、(2016广东,7,3分)在平面直角坐标系中,点P(-2,-3)所在的象限是()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
答案:
C
考点:
平面直角坐标。
解析:
因为点P的横坐标与纵坐标都是负数,所以,点P在第三象限。
2.(2016大连,,2,3分)在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是()
A.第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
【考点】点的坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解:
点(1,5)所在的象限是第一象限.
故选A.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键,四个象限的符号特点分别是:
第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,
-);第四象限(+,-).
二、填空题
1.(2016•广东茂名)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点B顺时针旋转到AA1BOVI
的位置,使点A的对应点A1落在直线y=_x上,再将AA1BO绕点A顺时针旋转到AADQVs
的位置,使点O的对应点02落在直线y=3x上,依次进行下去…,若点A的坐标是(0,1),
点B的坐标是(,1),则点A的横坐标是.6+6.
3
【考点】坐标与图形变化-旋转;一次函数图象与几何变换.
【分析】先求出点A,A4,A6…的横坐标,探究规律即可解决问题.
3Vs
【解答】解:
由题意点A的横坐标(+1),
点A的横坐标
iVs
■(+i),
点A的横坐标
点A的横坐标
6(+1).
【点评】本题考查坐标与图形的变换-旋转,一次函数图形与几何变换等知识,解题的关键
是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型.
2.(2016•广东梅州)已知点P(3-mm在第二象限,则m的取值范围是.
答案:
m•3
考点:
平面直角坐标,解不等式组。
3-m<0
解析:
因为点P在第二象限,所以,,解得:
m
3.(2016江苏淮安,11,3分)点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2).
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标互为相反数解答.
【解答】解:
点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2).
故答案为:
(3,2).
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题
的关键是掌握好对称点的坐标规律:
4.(2016•山西)如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图•若建
立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街点的坐标为(0,-1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是(3,0).
考点:
坐标的确定
分析:
根据双塔西街点的坐标为(0,-1),可知大南门为坐标原点,从而求出太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标
解答:
太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标(3,0)
5.(2016山东省聊城市,3分)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABCi的两边在坐标轴上,以它的对角线OB为边作正方形OBB2C2,再以正方形OBB2C2的对角线OB
1008
为边作正方形OBB3C3,以此类推…、则正方形OB015B016G016的顶点B2016的坐标是(2,0).
【考点】正方形的性质;规律型:
点的坐标.
【分析】首先求出B、庄、已、b、B、R、B、臼、B9的坐标,找出这些坐标的之间的规律,然后根据规律计算出点B2016的坐标.
【解答】解:
•••正方形OABG边长为1,
•••OB=,
•••正方形0BB2C是正方形OABC的对角线OB为边,
•••OB=2,
•B2点坐标为(0,2),
同理可知OB=2,
•B3点坐标为(-2,2),
同理可知OB=4,B4点坐标为(-4,0),
B5点坐标为(-4,-4),B6点坐标为(0,-8),
Br(8,-8),B8(16,0)
B9(16,16),B10(0,32),
由规律可以发现,每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的
边长变为原来的倍,
•/2016十8=252
•••B2016的纵横坐标符号与点B8的相同,横坐标为正值,纵坐标是0,
•••B2016的坐标为(21008,0).
故答案为:
(21008,0).
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点,解答本题的关键是由点
坐标的规律发现每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边
长变为原来的'倍.
6.(2016.山东省泰安市,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线I:
y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A,点A,A,…在直线I上,点B1,B2,Bs,…在x轴的正半轴上,若AAQB,△A2B1B2,AA3BB3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBh-1Bn顶点Bn的横坐标为2“2.
A.
A/
/
7°
艮8?
B-卞
【分析】先求出Bi、B2、Bs…的坐标,探究规律后,即可根据规律解决问题.
【解答】解:
由题意得OA=OA=2,
•OB=OA=2,
BB2=BA=4,B2ab=B2B3=8,
(2,0),B2(6,0),Bb(14,0)…,
234
2=2-2,6=2-2,14=2-2,…
•Bn的横坐标为2n+1-2.
【点评】本题考查规律型:
点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊
到一般,探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.
7.(2016.山东省威海市,3分)如图,点A的坐标为(1,0),A在y轴的正半轴上,且ZA1A2O=30,过点A作AA丄A1A,垂足为A,交x轴于点As;过点A作AA^AzAs,垂足
为A,交y轴于点A4;过点A作AA5丄AsA4,垂足为A,交x轴于点As;过点A作AA丄A4A5,
【考点】
【分析】
坐标与图形性质.
先求出A、A、A、A、A坐标,探究规律,利用规律解决问题.
【解答】
解:
••人(1,0),A2[0,^S1],A3[H",0].A4[0,-(
0]…,
•••序号除以4整除的话在y轴的负半轴上,余数是1在x轴的正半轴上,余数是2在y轴的正半轴上,余数是3在x轴的负半轴上,
•/2016-4=504,
在y轴的负半轴上,纵坐标为-故答案为-
【考点】
【分析】
二元一次方程组的解;点的坐标.
先求出x、y的值,再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论.
【解答】解:
,
I
t①-②得,3x+1=0,解得x=-;
丄2.
把x的值代入②得,y=-+1=,
丄2.
•点(x,y)的坐标为:
(-,),
•此点在第二象限.
故答案为:
二.
9.(2016?
呼和浩特)已知平行四边形ABCD勺顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为(-2-a,-b)(2-a,-b).
【考点】平行四边形的性质;坐标与图形性质.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2根据已知条件得到B(2+a,b),或(a-2,
b),•••由于点D与点B关于原点对称,即可得到结论.
【解答】解:
如图1,
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••CD=AB=2
TA的坐标为(a,b),AB与x轴平行,
•B(2+a,b),•••点D与点B关于原点对称,
•D(-2-a,-b)
如图2,tB(a-2,b),•••点D与点B关于原点对称,
-b).
三、解答题
1.(2016•湖北咸宁)(本题满分12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记I1,12的交点为P.
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来,发现:
这些点P竟然在一条曲线L上!
1设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;
2设点P到x轴,y轴的距离分别为d1,d2,求d1+d2的范围.当d计d2=8时,求点P的坐标;
3将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.
图1图2
【考点】二次函数,一次函数,尺规作图,平面直角坐标系,勾股定理,一元二次方程,轴
对称——翻折,最值问题•
【分析】
(1)根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可,要标出字母;
(2)①分x>0和xw0两种情况讨论:
当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE±y轴于
点E,可得出PA=PB=y再在Rt△APE中,EP=OB=xAE=OE-OA=y-1,由勾股定理,可求出
y与x之间的关系式;当xw0时,点P(x,y)同样满足y=^x2+扌,曲线L就是二次函数y=1x2+2的图像,也就是说曲线L是一条抛物线•
②首先用代数式表示出di,d2:
di=^x2+*,d2=|xI,得出di+d2=^x2+*+|x|,
可知当x=0时,di+d2有最小值2,因此di+d2的范围是di+d2>-2;当di+d2=8时,则-1x'+弓+|x|=8.将x从绝对值中开出来,故需分x>0和xV0两种情况讨论:
当x>0时,将原方程化为吉x2+£+x=8,解出xi,X2即可;当xv0时,将原方程化为
^x2+-2—x=8,解出xi,X2即可;最后将x=±3代入y=gx2+g,求得P的纵坐标,从而得出点P的坐标.
③直接写出k的取值范围即可.
【解答】解:
(i)如图i所示(画垂直平分线,垂线,标出字母各i分).
..3分
图1图2
(2)①当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PELy轴于点E.
•/li垂直平分AB
/•PA=PB=y.
在Rt△APE中,EP=OB=xAE=OE-OA=y-1.
由勾股定理,得(y-1)2+x2=y2.5分
整理得,y=2x2+1.
当x<0时,点P(x,y)同样满足y=^x2+吉..6分
•••曲线L就是二次函数丫=畀2+召的图像.
即曲线L是一条抛物线.7分
2
②由题意可知,d1=|x+2,d2=|x|.
•d1+d2=舟x2+*+|x|.
当x=0时,d1+d2有最小值2.
•-d1+d2的范围是d1+d2>2.8分
当d1+d2=8时,则2x2+l+|x|=8.
(I)当x>0时,原方程化为"2x2+*+x=8.
解得x1=3,X2=-5(舍去)
(n)当xv0时,原方程化为1x+—x=8.
解得x1=-3,X2=5(舍去)
将x=±3代入y=召x2+弓,得y=5..9分
•••点P的坐标为(3,5)或(-3,5)..10分
③k的取值范围是:
一-3vkv#..12分
解答过程如下(过程不需写):
把y=2代入y=2x2+1,得X1=—■.3,X2=3.
•直线y=2与抛物线y=*x2+2两个交点的坐标为(一.3,2)和(-.3,2)
当直线y=kx+3过点(—.3,2)时,可求得k=-3;
当直线y=kx+3过点(,3,2)时,可求得k=—笃
故当直线y=kx+3与这条“W形状的新曲线有4个交点时,k的取值范围是:
—撐
~■
.12分
v=kx+3
v=kx+3
v=2
v=2
的主角。
解决压轴题目的关键是找准切入点,如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形;紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论;深度挖掘题干,反复认真的审题,在题
目中寻找多解的信息,等等.压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高,除了要熟知各类知识外,平时要多练,提高知识运用和转化的能力。
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- 平面 直角 坐标系 坐标