长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案docx.docx

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2016长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案

选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列各式中，值为f的是（）

A.2sin15：

cosl5B.cos215：

一sin215：

C・2sin215°-lD.sin215°+cos215°

2.如图，ABCD-A.B.CD,为正方体，下面结论错误的女

是（）

（A）BD//平面CBQ

（B）AC】丄BD

（C）AC】丄平面CBQ

（D）异面直线4D与CB、所成的角为60°

3•在等比数列{"”}（/2WN*）中，若q=1,4，则该数歹啲前10项和为（

O

A•若a,b与a所成的角相等，则a//b

B.若a//a.b//f3,a〃0,则a//b

C.若aua,bu（3,a//b'则a//（3

D.若a丄or,b丄0,a丄0，贝［Jd丄b

6•如果双曲线于『I上-点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）

7.设"是1-d和1+。

的等比中项,则a+4b的最大值为（

A.1B.3C.V5

A./（X）=3vB•/（x）=sinx

8.给出下列三个等式：

/（xy）=/（%）+/（>）,f（x+y）=f（x）f（y）t站沪吿號’下列函数中不满足其中但I等式的是（）

C./（x）=log2xD•/（x）=tanx

9.在棱长为1的正方体ABCQ-A0CQ中，E,F分别为棱

3目的中点zG为棱£3上的一点z且

AG=2（0W2W1）.则点G到平面D]E卜的距离为（）

d-t

10.已知抛物线y=-F+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则等于（）

（A）3（B）4（0）3^2（D）4a/2

二填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.数列｛①｝的前斤项和为S「若①严―^—,则55等于

n（n+l）

12.若向量馮的夹角为60°,a=b=\，则a（a-b）.

22

13•以双曲线罕-2-=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程

45

是

14•一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,

2,3,则此球的表面积为.

15.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为

=.解答题：

本大题共6小题，共75分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

设锐角三角形的内角A,B,C的对边分别为巧bfc,6/=2&sinA・

（I）求3的大小；

（II）若a=3壬,c=5，求力・

17.（本小题满分12分）

如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,丄AC,PA丄平面

ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.

（I）求证：

AC丄PB；

（n）求证:

PB//平面AEC；

（m）求二面角E-AC-B的大小

18.（本小题满分12分）

设数列｛aH｝的前n项和为Sn=2n2,｛bn｝为等比数列，且=b｝,b2（a2-^）=也.

（I）求数列｛匕｝和仇｝的通项公式；

（n）设c”=）,求数列｛"｝的前n项和T®

19.（本小题满分13分）

已知函数f（x）=x2+-（20,常数owR）・X

2

（1）当。

=1时，解不等式.f（x）>—

X

（2）讨论函数/（x）的奇偶性，并说明理由；

20.（本小题满分13分）

如图，一载着重危病人的火车从0地岀发，沿射线OA行驶，其中

tga=*,在距离0地5日（日为正数）公里北偏东B角的N处住有一位医学专家，其中sinp=丄,现有110指挥部紧急征调离0地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医

学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与0B围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时•

（1）求S关于p的函数关系；

（2）当p为何值时，抢救最及时.

21.（本小题满分13分）

椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2^2,相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线/与x轴相交于点A,|0F|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（I）求椭圆的方程及离心率；

（H）若丽•页=0,求直线PQ的方程；

（in）设乔=2元（兄〉1）,过点p且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点m,证明:

而二-久甩.

参考答案

_、选择题

1、B2、D3、B4、D5、D6、A7、C8、B9、D10、C

二填空题

11.-12、-13、y2=12x14、13龙15、72-1

62

三、解答题

16、解:

2

由△ABC为锐角三角形得B=Z6分

6

（n）根据余弦定理,得X=a2+c2-2gccosB=27+25-45=7.

所以，b=4i12分

（I）由a=2bsinA,根据正弓玄定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB二丄z

17.（I）tPA丄平面ABCD

•••AB是PB在平面ABCD上的射影

又TAB丄ACzACu平面ABCD,

/.AC丄PB3分

（口）连接BD,与AC相交于0,连接E0o

tABCD是平等四边形，

•••0是BD的中点，

又E是PD的中点,

/.EOIIPB

又PB（Z平面AEC,EOu平面AEC,

.•.PBll平面AEC。

7分

‘•b

（m）取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为（-,-,0）,OG=（0,-,0）

222

—*bb—►

X0E=（0--,-）,AC=（t/,0,0）

.-.oeac=o,6g-ac=o

••・OE丄AC,OG±AC

••・zEOG是二面角E-AC-B的平面角。

••cosEOG=cos<0E,0G>=

/.ZEOG=135°

18.

解：

（1）：

当〃=1时,纠=&=2;

当n>2时宀=S”—S“_i=2宀2（—If=%-2,

故｛禺｝的通项公式为=4h-2,即｛色｝是d|=2,公慕〃=4的等差数歹!

J.

设｛Q/?

｝的通项公式为g,贝Ub、qd=b,=4,「.q=*.

12

故仇f严—2x占，即仮｝的通项公式为hn=5分

（"）"严牛二写=（2—1）4二

b.、丄

・•・Tn=c,+q+・・・+c“=[1+3x4*+5x4?

+・・・+（2〃-1）4心],47；=[lx4+3x42+5x4?

+…+（2〃—3）4"_+（2“—1）4"]

两式相减得

37；=—1一2（屮+4?

+牟+…+4,,_1）+（2/2-1）4“=|[（6/?

-5）4“+5]•••7>*[伽-5）4〃+5].

12分

（2）当“0时，/⑴"，

xe（-00,0）U（0,+oo）,/（-x）=（-x）2=x2=/（x）,/（兀）为偶函

数.当dHO时，f（x）=x2+—A^O）,

取兀=±1，得/（_1）+/

（1）=2h0,/（-l）-/（l）=-2a^0,

20、解：

（1）以0为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系,

则fOA:

>,=3x

设N（也/比）z.-.Xo=5asin/3=3ay0=5acos/?

=4a:

.N（3a,4a）又B（P/0）,••・直线BC的方程为：

尸出（x_p）

3a-p

由得C的纵坐标）"卫」（#〉％,.•・

尸上j-p）c3p-5d3

3ci一p

3p—5a3

（2）由

（1）得6卯—2卯5/.5=26/[/+—+—]>—/

•35广5、"—P3（）9/33

当且仅当心空，即心竺此时防丛时，上式取等号，•••当"巴。

公里时,抢救

9/333

最及时.

13分

21、（I）解：

由题意，可设椭圆的方程为4+—=l（tz>V2）.由已知得a2

a-c2=2,22

=亦，C=2所以椭圆的方程为—+—=1，离心率c=2（---C）.62

.C

（n）解：

由

（1）可得A（3,0）.设直线PQ的方程为y=k（x-3）.由方程组

I=1

<62'得（3/+l）x2-1肿x+27/-6=0依题意4=12（2-3疋）〉0,得

y=k（x-3）

一¥V2V¥•设P（"l，X），Q（“2，『2），则兀1+兀2=3/1~+]7①

所以直线PQ的方程为x-V5y-3=0或x+^5y-3=07分

（m）证明:

AP=（x}-3,y）,AQ=（x2-3,y2）.由已知得方程组X|—3=2（兀2—3）,

5A-1

注意几>1，解得X2=——•因F（2,O）,M（X|,—y）,

2几

古攵FM=（X]-2,—）\）=（几（兀2—3）+1,—一必）=一久%）•

—>J—1・

而FQ=（x2-2,y2）=（—-,儿），所以FM=-A,FQ.

2A

13分

4.如图，正四棱柱4BCD-A/CQ中，AA=2AB,则异面直线4/与所成角的余弦值为（）D}