概率论与数理统计知识点总结详细.docx
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概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点总结
(详细)
《概率论与数理统计》
第一章概率论的基本概念
§2•样本空间、随机事件
1•事件间的关系AB则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生
B={xx€A或XEB}称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中
至少有一个发生时,事件AB发生
ACB={xx€A且x€B}称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生
时,事件A「B发生
A—B={xx€A且x更B}称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、
B不发生时,事件A—B发生
A'B二■■,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时
发生,基本事件是两两互不相容的
B=S且A'B--:
,则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B
互为对立事件
2•运算规则交换律AB二BAAfB二B'A
结合律(A_.B)_.C=A_.(B_.C)(A^B)C=A(BC)
分配律A_(B「C)二(A一B)一(A一C)
A「(B_•C)二(A一B)(A「C)
徳摩根律AB二A-BA'B二AB
§3.频率与概率
定义在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频
数,比值nA「n称为事件a发生的频率
概率:
设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率
1•概率P(A)满足下列条件:
(1)非负性:
对于每一个事件A0乞P(A)乞1
(2)规范性:
对于必然事件SP(S)=1
nn
(3)可列可加性:
设Ai,A2,…,An是两两互不相容的事件,有P(UAk)=送P(Ak)(n可以取co)k二k4
2.概率的一些重要性质:
nn
P(Ak)八P(Ak)(n可以取二)
(i)P()=0
(ii)若Ai,A2,…,代是两两互不相容的事件,则有
(iii)设A,B是两个事件若AB,贝UP(B-A)二P(B)-P(A),P(B)_P(A)
(iv)对于任意事件A,P(A)_1
(v)P(A)=1-P(A)(逆事件的概率)
(vi)对于任意事件A,B有P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)
§4等可能概型(古典概型)
等可能概型:
试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同
若事件a包含k个基本事件,即a=31]}卩{岂}U…Ug』,里
ii,i2,…,ik是1,2,…n中某k个不同的数,则有
p(AJP{e}二兰二A包含的基本事件数
'丿二'卫nS中基本事件的总数
§5.条件概率
(1)
定义:
设a,b是两个事件,且P(A)A0,称P(B1A)=P(AB)为事件A发生的条件下事
P(A)
件B发生的条件概率
(2)
条件概率符合概率定义中的三个条件
1。
非负性:
对于某一事件B,有P(B|A)Z0
2。
规范性:
对于必然事件S,P(S|A)=1
oOoo
3可列可加性:
设Bi,B2,…是两两互不相容的事件,则有P(UBiA)=£P(BiA)
i二Z
(3)
乘法定理设P(A)>0,则有P(AB)=P(B)P(A|B)称为乘法公式
(4)
n
全概率公式:
P(A)=EP(Bi)P(A|Bi)
i二
P(Bk)P(A|Bk)贝叶斯公式:
P(BkIA)=n一
送P(Bi)P(A|Bi)
id
§6.独立性
定义
设A,B是两事件,如果满足等式P(ABHP(A)P(B),则称事件a,b相互独立
定理一
设A,B是两事件,且P(A).0,若A,B相互独立,则P(B|A)二PB
定理二
若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A与B,A与B,A与B
第二章
随机变量及其分布
§1随机变量
定义设随机试验的样本空间为S二{e}.X二X(e是定义在样本空间S上的实值单值函数,称
X=X(e)为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1.离散随机变量:
有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离
散型随机变量
od
P(X=Xk)=Pk满足如下两个条件
(1)Pk-0,
(2)VPk=1
7
2.三种重要的离散型随机变量
(1)分布
设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是
k1k
P(X=k)=p(1-p)-,k=0,1(0:
:
:
p:
:
:
1),则称x服从以p为参数的分布或两点分布。
(2)伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果:
A与A,则称E为伯努利实验.设P(A)二p(0:
:
:
p:
:
:
1),此时P(A)=1-p.将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
fn、00
P(X=k)!
pkqn-k,k=0,1,2,…n满足条件
(1)Pk-0,
(2)、Pk=1注意到;pkqn-k是二项式(p+q)n的展开式中出现pk的那一项,我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
(3)泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为
lke-^
P(X=k),k=0,1,2_,其中’0是常数,则称X服从参数为’的泊松分布记为
k!
§3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P{X_x},:
:
:
x:
:
:
:
:
称为X的分布函数
分布函数F(x)=P(X乞x),具有以下性质⑴F(x)是一个不减函数
(2)
Q : )=0,F(: : )=1(3)F(x0)=F(x),即F(x)是右连续的 §4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量: 如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使对于任意函数x x 有F(x)=[f(t)dt,则称x为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度 4^0 1概率密度f(x)具有以下性质,满足 (1)f(x)_0, (2)「f(x)dx=1; (3) P(X! _X_x2)f(x)dx;(4)若f(x)在点x处连续,则有F(x)=f(x) xi 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 记为X~U(a,b) (2)指数分布 数为n的指数分布 (3)正态分布 (X」 f(x)= 2.? —— e,-: : : : : x: : : : : 其中」,;「(;「0)为常数,则称X服从参数为」,匚的正态分布或高斯分布,记为 特别,当」=0,;丁=1时称随机变量X服从标准正态分布 §5随机变量的函数的分布 定理设随机变量X具有概率密度fx(x),-: : : : : X: : : 二,又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)0, 第三章多维随机变量 §1二维随机变量 F(x,y)=P{(X_x)-(Y_y)}记成P{X_x,Y_y}称为二维随机变量(X,Y)的分布 函数 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量。 我们称P(X二Xi,丫=yj)二Pj,i,j=1,2,为二维离散型随机变量(x,y)的分布律。 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y),使对于任 yx 意X,y有F(x,y).f(u,v)dudv,则称(X,Y)是连续性的随机变量,函数f(x,y) -oO 称为随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度。 §2边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和Y都是随机变量,各自 也有分布函数,将他们分别记为Fx(x),Fy(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于y的边 缘分布函数。 □0co Pipij=P{X=Xi},i=1,2,…Pj八Pj二p{yj=1,2,…分 别称Pi.Pj为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。 fY(y)为X,Y关于X和关于Y的边缘概率密度。 §3条件分布 P{X=心丫=yj}Pj 则称p{X=人Y=yj}==」,i=1,2,…为在Y=yj条件下随机 P{Y=yj}p划 P{X=Xi,Y=yj}Pj 变量X的条件分布律,同样P{Y=yjX=Xj}==二,j=1,2,…为在 P{X=x}Pi* X=Xi条件下随机变量X的条件分布律。 设二维离散型随机变量(X,丫)的概率密度为f(x,y),(X,丫)关于y的边缘概率密度为fY(y), 若对于固定的y,f丫(y)〉0,则称f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度,记为 fY(y) §4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数及边缘 分布函数.若对于所有x,y有P{X=x,Y=y}=P{X兰x}P{Y 则称随机变量X和Y是相互独立的 对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数P=0 §5两个随机变量的函数的分布 1,Z=X+Y的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量,其 概率密度为fXY(z)=f(z-y,y)dy或fXY(z)=f(x,z-x)dx 又若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fx(x),fY(y)则 qQqQ fxy(z)=fx(z-y)fY(y)dy和fxy(z)=fx(x)fY(z-x)dx这两个公式称为 fx,fY的卷积公式 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 Y 2,Z的分布、Z=XY的分布 x 仍为连续性随机变量其概率密度分别为 Q0O01z fY.(zWjxf(x,xz)dxfXY⑵“弔f(x,;)dx又 若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fx(x),fY(y)则可化为 O0 fYx(z)=__: fx(x)fY(xz)dx 3M=max{X,Y}及N二min{X,Y}的分布 设x,y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x),Fy(y)由于M二max{X,Y} 不大于z等价于x和y都不大于z故有P{M乞z}=P{X岂z,丫乞z}又由于x和y相互独立,得到 M=max{X,Y}的分布函数为Fmax(z)二Fx(z)Fy(z) N=min{X,Y}的分布函数为Fmin(z)=1—匕—Fx(z)M—Fy(z)I 第四章随机变量的数字特征 §1•数学期望 C30 定义设离散型随机变量X的分布律为P{X二Xk}二Pk,k=1,2,…若级数7XkPk绝对收敛,则 k」 E(X),即E(X)八XkPk i oO 称级数7XkPk的和为随机变量X的数学期望,记为 k4 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分.]xf(x)dx绝对收敛,则称积分 oq"bo xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即E(X)二xf(x)dx 定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数) od (i)如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X二Xk}二Pk,k=1,2,…若vg(xk)pk绝对收敛 则有E(Y)=E(g(X))八g(Xk爪 (ii)如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为f(x),若_g(x)f(x)dx绝对收敛则有 qQ E(Y)=E(g(X))=.;g(x)f(x)dx 数学期望的几个重要性质 1设C是常数,则有E(C)=C 2设X是随机变量,C是常数,则有E(CX)=CE(X) 3设x,y是两个随机变量,则有E(XY^E(X)E(Y); 4设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y) §2方差 定义设X是一个随机变量,若E{LX-E(X)f}存在,则称E{[X-E(X)f}为X的方差,记为D(x)即D(x)=E{X…E(X)F},在应用上还引入量.D(x),记为匚(x),称为标准差或均方差。 D(X)=E(X一E(X))2=E(X2)—(EX)2 方差的几个重要性质 1设C是常数,则有D(C)=0, 2 2设X是随机变量,C是常数,则有D(CX)=CD(X),D(XC^D(X) 3设x,Y是两个随机变量,则有D(X,Y)=D(X)-D(Y)-2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别,若x,Y相互独立,则有D(XYHD(X)D(Y) 4D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即P{X=E(X)}=1 2 切比雪夫不等式: 设随机变量X具有数学期望E(X)-;「2,则对于任意正数;,不等式 §3协方差及相关系数 定义量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)二E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y) ++ 对于任意两个随机变量 X和y,D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y) 协方差具有下述性质 1Cov(X,Y)二Cov(Y,X),Cov(aX,bY)二abCov(X,Y) 2Cov(XiX2,Y)=Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y) 定理1「XY<1 2*=1的充要条件是,存在常数a,b使P{Y=a•bx}=1 当*=0时,称X和Y不相关 附: 几种常用的概率分布表 分布 参数 分布律或概率密度 数学期 望 方差 两点分布 0£p£1 P{X=k)=pk(1—p)1_k,k=0,1, p P(1-p) 二项式分 布 n31 0cpc1 p(x=k)=CnP(1—p)」,k=0,1,…n, np nP(1-p) 泊松分布 >0 )ke-人 P(X=k)=e,k=0,1,2,…k! 人 k 几何分布 0£pc1 P(X=k)=(1—p)k」p,k=1,2,… 1p 1-p 2p 均匀分布 acb f(x)i 1 r" 1K,acxcbb—a, i0,其他 a+b 2 (b-a)2 12 指数分布 9>0 1n日 f/、」: e',x>0 f(x)=」8 [0,其他 Q 萨 正态分布 P CT>0 ._(x_h2 f(x)=r^^e卅v2兀口' P a2 第五章大数定律与中心极限定理 §1•大数定律 弱大数定理(辛欣大数定理)设X]X2…是相互独立,服从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望 定义设Y,丫Yn…是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正数呂,有 limP{Yn—a<总=1,则称序列£,%,…Yn…依概率收敛于a,记为Yn—Ja 伯努利大数定理设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率, §2中心极限定理 定理一(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2厂',Xn相互独立,服从同一分布,且具有 n 数学期望和方差E(XJ=」,D(Xk)-;「2(k=i,2,…),则随机变量之和7Xk标准化变量 i=1 n z X n k-E(、Xk) n z Xk打 k土 k仝 i=1 n .n二 J DCXk) k吕 定理二(李雅普诺夫定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具有数学期望和方差 n II2f2=2 E(Xk)=f,D(XQ0,k=1,2…记Bn八;k k¥ 布,则对任意x,有町p'^np諾肘x}込矗产咕%)
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