最新人教版高中数学选修44综合测试题及答案.docx
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最新人教版高中数学选修44综合测试题及答案
最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案
模块综合测试
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列有关坐标系的说法,错误的是( )
A.在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B.在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小
C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D.同一条曲线可以有不同的参数方程
解析:
直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中,伸缩变形可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆;而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置;对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程.
答案:
C
2.把函数y=sin2x的图象经过________变化,可以得到函数y=sinx的图象.( )
A.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍
B.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍
C.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标缩短为原来的倍
D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的
解析:
本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知,把函数y=sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y=sinx的图象,再把纵坐标缩短为原来的,得到y=sinx的图象.
答案:
D
3.极坐标方程ρ=2sin的图形是( )
解析:
∵ρ=2sin=2sinθ·cos+2cosθ·sin=(sinθ+cosθ),
∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ,
∴x2+y2=x+y,
∴2+2=1,
∴圆心.
结合题中四个图形,可知选C项.
答案:
C
4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.y=x-2 B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)
解析:
由知x=2+y(2≤x≤3)
所以y=x-2 (2≤x≤3).
答案:
C
5.在极坐标系中,曲线ρ=4sin(ρ∈R)关于( )
A.直线θ=成轴对称
B.直线θ=成轴对称
C.点成中心对称
D.极点成中心对称
解析:
将原方程变形为ρ=4cos,
即ρ=4cos,该方程表示以为圆心,以2为半径的圆,所以曲线关于直线θ=成轴对称.
答案:
B
6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( )
A.B.
C.D.
解析:
根据直线参数方程的定义,易得,
即.
答案:
D
7.x2+y2=1经过伸缩变换,后所得图形的焦距( )
A.4B.2
C.2D.6
解析:
变换后方程变为:
+=1,
故c2=a2-b2=9-4=5,c=,所以焦距为2.
答案:
C
8.已知直线(t为参数)与圆x2+y2=8相交于B、C两点,则|BC|的值为( )
A.2B.
C.7D.
解析:
⇒(t′为参数).
代入x2+y2=8,得t′2-3t′-3=0,
∴|BC|=|t′1-t′2|=
==,故选B.
答案:
B
9.已知P点的柱坐标是,点Q的球面坐标为,根据空间坐标系中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离公式|AB|=,可知P、Q之间的距离为( )
A.B.
C.D.
解析:
首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(,,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标,代入两点之间的距离公式即可得到距离为.
答案:
B
10.如果直线ρ=与直线l关于极轴对称,则直线l的极坐标方程是( )
A.ρ=B.ρ=
C.ρ=D.ρ=
解析:
由ρ=知ρcosθ+2ρsinθ=1,∴x+2y=1.
答案:
A
11.圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
A.(φ为参数)
B.(θ为参数)
C.(φ为参数)
D.(θ为参数)
解析:
圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程为
答案:
A
12.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点.若点P(x,y)、点P′(x′,y′)满足x≤x′,且y≥y′,则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足:
不存在Ω中的其他点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A.B.
C. D.
解析:
∵x≤x′且y≥y′,
∴点P(x,y)在点P′(x′,y′)的左上方.
∵Ω中不存在优于Q的点,
∴点Q组成的集合是劣弧,故选D.
答案:
D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在题中横线上)
13.对于任意实数,直线y=x+b与椭圆(0≤θ<2π)恒有公共点,则b的取值范围是________.
解析:
椭圆可化为+=1
把y=x+b代入得5x2+2bx+b2-16=0
Δ=4b2-20(b2-16)≥0
解之得:
-2≤b≤2.
答案:
[-2,2]
14.直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=________.
解析:
直线
:
y=x·tanα,圆:
(x-4)2+y2=4,
如图,sinα==,
∴α=或π.
答案:
或π.
15.已知直线l的参数方程(t为参数),若以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sin.则圆的直角坐标方程为__________,直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离).
解析:
(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1.ρ=2sin即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)圆心C到直线l的距离d==<,
所以直线l和⊙C相交.
答案:
(x-1)2+(y-1)2=2;相交
16.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π]),则圆C的圆心坐标为______,圆心到直线l的距离为______.
解析:
直线和圆的方程分别是x+y-6=0,x2+(y-2)2=22,所以圆心为(0,2),其到直线的距离为d==2.
答案:
(0,2) 2
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)
(1)化ρ=cosθ-2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状;
(2)化曲线F的直角坐标方程:
x2+y2-5-5x=0为极坐标方程.
解析:
(1)ρ=cosθ-2sinθ两边同乘以ρ得
ρ2=ρcosθ-2ρsinθ
∴x2+y2=x-2y
即x2+y2-x+2y=0
即2+(y+1)2=2
表示的是以为圆心,半径为的圆.
(2)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得
x2+y2-5-5x=0的极坐标方程为:
ρ2-5ρ-5ρcosθ=0.
18.(12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径为1.Q点在圆周上运动,O为极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.
解析:
(1)设M(ρ,θ)为圆C上任意一点,
如图,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=,
根据余弦定理,
得1=ρ2+9-2·ρ·3·
cos,化简整理,
得ρ2-6·ρcos+8=0为圆C的轨迹方程.
(2)设Q(ρ1,θ1),
则有ρ-6·ρ1cos+8=0①
设P(ρ,θ),则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)
=2∶3⇒ρ1=ρ,
又θ1=θ,即
代入①得ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0,
整理得ρ2-15ρcos+50=0为P点的轨迹方程.
19.(12分)如图所示,已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上的第一象限的点,A(a,0)和
B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原来,求四边形MAOB的面积的最大值.
解析:
方法一:
M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,
由椭圆+=1的参数方程为(φ为参数),
故可设M(acosφ,bsinφ),
其中0<φ<,因此,
S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB
=OA·yM+OB·xM
=ab(sinφ+cosφ)
=absin.
所以,当φ=时,四边形MAOB面积的最大值为ab.
方法二:
设M(xM,yM),xM>0,yM>0,则
yM=b,S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB
=OA·yM+OB·xM
=ab+bxM
=b(+xM)
=b
=b
≤b
=ab.
20.(12分)如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l:
x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.
解析:
设点Q的坐标为(secφ,tanφ),(φ为参数).
∵QN⊥l,
∴可设直线QN的方程为x-y=λ①
将点Q的坐标代入①得:
λ=secφ-tanφ
所以线段QN的方程为x-y=secφ-tnaφ②
又直线l的方程为x+y=2.③
由②③解得点N的横坐标xN=
设线段QN中点P的坐标为(x,y),
则x==,④
4×④-②得
3x+y-2=2secφ.⑤
4×④-3×②得
x+3y-2=2tanφ.⑥
⑤2-⑥2化简即得所求的轨迹方程为
2x2-2y2-2x+2y-1=0.
21.(12分)已知直线l:
x-y+9=0和椭圆C:
(θ为参数).
(1)求椭圆C的两焦点F1,F2的坐标;
(2)求以F1,F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
解析:
(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为+=1,
所以a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9.
所以c=3.故F1(-3,0),F2(3,0).
(2)因为2a=|MF1|+|MF2|,
所以只需在直线l:
x-y+9=0上找到点M使得|MF1|+|MF2|最小即可.
点F1(-3,0)关于直线l的对称点是F1′(-9,6),
|MF1|+|MF2|=|MF1′|+|MF2|=|F1′F2|
==6,
故a=3.
又c=3,b2=a2-c2=36.
此时椭圆方程为+=1.
22.(14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上且长轴长为4,短轴长为2,直线l的参数方程为(t为参数).当m为何值时,直线l被椭圆截得的弦长为?
解析:
椭圆方程为+x2=1,化直线参数方程为(t′为参数).
代入椭圆方程得
(m+t′)2+42=4⇔8t′2+4mt′+5m2-20=0
当Δ=80m2-160m2+640=640-80m2>0,
即-2 方程有两不等实根t′1,t′2, 则弦长为|t′1-t′2|== 依题意知==,解得m=±.
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- 新人 高中数学 选修 44 综合测试 答案
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