二次函数知识点总结与典型例题.docx
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二次函数知识点总结与典型例题
二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果
,那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法---五点法:
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)当抛物线
与x轴有交点时,即对应二次好方程
有实根
和
存在时,根据二次三项式的分解因式
,二次函数
可转化为两根式
。
如果没有交点,则不能这样表示。
三、抛物线
中,
的作用
(1)
决定开口方向及开口大小,这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
,故:
①
时,对称轴为
轴所在直线;②
(即
、
同号)时,对称轴在
轴左侧;③
(即
、
异号)时,对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时,
,∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0,
):
①
,抛物线经过原点;②
与
轴交于正半轴;③
与
轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧,则
.
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(2)对称轴是x=
,顶点坐标是
(
,
);
(3)在对称轴的左侧,即当x<
时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>
时,y随x的增大而增大,简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当x=
时,
y有最小值,
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=
,顶点坐标是
(
,
);
(3)在对称轴的左侧,即当x<
时,y随x的增大
而增大;在对称轴的右侧,即当x>
时,y随x
的增大而减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=
时,
y有最大值,
五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的
,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当
>0时,图像与x轴有两个交点;
当
=0时,图像与x轴有一个交点;
当
<0时,图像与x轴没有交点。
补充:
函数平移规律:
左加右减、上加下减
六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当
时,
。
如果自变量的取值范围是
,那么,首先要看
是否在自变量取值范围
内,若在此范围内,则当x=
时,
;
若不在此范围内,则需要考虑函数在
范围内的增减性,
如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当
时,
,当
时,
;
如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当
时,
,当
时,
。
典型例题
1.已知函数
,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()
A.0B.1C.2D.3
2.如图为抛物线
的图像,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是()
A.a+b=-1 B.a-b=-1C.b<2a D.ac<0
3.二次函数
的图象如图所示,则反比例函数
与一次函数
在同一坐标系中的大致图象是().
4.如图,已知二次函数
的图象经过点(-1,0),(1,-2),当
随
的增大而增大时,
的取值范围是 .
5.在平面直角坐标系中,将抛物线
绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是().
A.
B.
C.
D.
6.已知二次函数
的图像如图,其对称轴
,给出下列结果①
②
③
④
⑤
,则正确的结论是()
A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤
7.抛物线
上部分点的横坐标
,纵坐标
的对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确的是 .(填写序号)
①抛物线与
轴的一个交点为(3,0);②函数
的最大值为6;
③抛物线的对称轴是
; ④在对称轴左侧,
随
增大而增大.
8.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA.
(1)求△OAB的面积;
(2)若抛物线
经过点A.
①求c的值;
②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).
9.已知二次函数y=
x2+
x的图像如图.
(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;
(3)设
(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是⊙O′的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=
,抛物线
过A,B,C三点.
(1)求证:
∠CAD=∠CAB;
(2)①求抛物线的解析式;
②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
11.如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),B(-1,2),D(3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;若不存在.请说明理由。
(3)设抛物线与x轴的另—个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的—个动点,当点Q在什么位置时有
最大?
并求出最大值。
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
图
12.如图,抛物线y=
x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;
⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.
13.在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
(1)当n=1时,如果a=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O,
①试求出当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式.
图1
图2
图3
…
…
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- 二次 函数 知识点 总结 典型 例题