二次函数典型例题及练习题.docx
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二次函数典型例题及练习题
二次函数典型例题及练习题
二次函数
专题一:
二次函数的图象与性质
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标
例1已知,在同一直角坐标系中,反比例函数
与二次函数
的图像交于点
.
(1)求
、
的值;
(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2.抛物线与a、b、c的关系
例2已知
的图象如图1所示,则
的图象一定过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
考点3.二次函数的平移
例3把抛物线y=3x2向上平移2个单位,得到的抛物线是()
A.y=3(x+2)2B.y=3(x-2)2C.y=3x2+2D.y=3x2-2
专题练习一
1.对于抛物线y=
x2+
x
,下列说法正确的是
值为_______.
7、已知函数y=
x2-x-12,当函数
y随x的增大而减小时,x的取
值范围是_______
专题二:
二次函数表达式的确定
A
B
C
D
图1
菜园
墙
考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园
,设
边长为
米,则菜园的面积
(单位:
米
)与
(单位:
米)的函数关系式为(不要求写出自变量
的取值范围).
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0);
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
例2已知抛物线的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求该抛物线的表达式.
例3已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数表达式为()
A.y=2a(x-1)B.y=2a(1-x)C.y=a(1-x2)D.y=a(1-x)2
专题三:
二次函数与一元二次方程的关系
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量
与函数值
的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c,为常数)的一个解
的范围是( )
6.17
6.18
6.19
6.20
A.
B.
C.
D.
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
4
图1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示,则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
练习:
已知抛物线y=
x2+x-
.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
例3在平面直角坐标系中,抛物线
与
轴的交点的个数是()
图2
A.3B.2C.1D.0
专项练习三
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是________.
2.已知二次函数
的部分图象如图2所示,则关于
的一元二次方程
的解为.
图3
3.已知函数
的图象如图3所示,那么关于
的方程
的根的情况是()
A.无实数根B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根
4.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是()
A.a>0
△>0;B.a>0,△<0;C.a<0,△<0;D.a<0,△<0
图4
5.二次函数
的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程
的两个根.
(2)写出不等式
的解集.
(3)写出
随
的增大而减小的自变量
的取值范围.
(4)若方程
有两个不相等的实数根,求
的取值范围.
专题四二次函数的应用
例4某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
此时每日销售利润是多少元?
练习:
1、如图是二次函数
的部分图象,由图象可知不等式
的解集是【】
A.
B.
C.
且
D.
或
2、教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为
,由此可知铅球推出的距离是m。
3、某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:
m)与滑行时间x(单位:
s)之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来.
4、如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.
5、若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:
,利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
5、如图有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位是AB宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这是水面宽度为10m。
(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式。
(2)若洪水到来时,水位以每小
时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能
到拱桥顶?
6、某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:
销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元?
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?
最大的月利润是多少?
7、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?
若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
8、如图,抛物线
经过直线
与坐标轴的两个
交点A、B,此抛物线与
轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使
:
5:
4的点P的坐标
9、某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:
cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:
元)与它的面积(单位:
cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:
元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.
薄板的边长(cm)
20
30
出厂价(元/张)
50
70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价),
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?
最大利润是多少?
参考公式:
抛物线:
y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
-
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