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111证明1
第1章证明
(二)
第一课时
1、复习
1、命题:
判断一件事情的句子,叫做命题
每个命题都由和两部分组成。
一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是,“那么”引出的部分是。
正确的命题是,不正确的命题是。
命题“如果两个角相等,那么它们是对顶角”的条件是,
结论是。
命题“对顶角相等”的条件是,结论是。
命题“全等三角形的面积相等”的条件是,结论是。
2、反例:
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的,而不具备命题的,这种例子称为反例。
举出反例说明命题“已知两边和一角对应相等的两个三角形一定全等”是假命题。
3、公理:
公认的真命题称为公理。
迄今为止遇到的公理(黑体部分为公理):
1.过两点有且只有一条直线
2.两点之间线段最短
3.同角或等角的补角相等
4.同角或等角的余角相等
5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9.同位角相等,两直线平行(注意全称的条件“两条直线被第三条直线所截”)
10.内错角相等,两直线平行
11.同旁内角互补,两直线平行
12.两直线平行,同位角相等(两条平行线被第三条直线所截)
13.两直线平行,内错角相等
14.两直线平行,同旁内角互补
15.定理:
三角形两边的和大于第三边
16.推论:
三角形两边的差小于第三边
17.三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
18.推论1:
直角三角形的两个锐角互余
19.推论2:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20.推论3:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21.全等三角形的对应边、对应角相等
22.边角边公理(SAS):
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23.角边角公理(ASA):
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24.推论(AAS):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25.边边边公理(SSS):
有三边对应相等的两个三角形全等
26.定理1:
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
27.定理2:
到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
28.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
29.定理:
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
30.逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
31.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
32.定理1:
关于某条直线对称的两个图形是全等形
33.定理2:
如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
34.定理3:
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
35.逆定理:
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
4、经典习题训练
(1)已知a,b,c,是三角形的三边,且满足
求证:
这个三角形是等边三角形
(2)求证:
四边形的内角和等于360度。
(3)如图1-1,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
(你能想到几种方法来证明它?
)
方法一:
方法二:
方法三:
(4).已知:
如图∠CDA的平分线DO与∠CBA的平分线BO交于O且∠BAD=27°,∠BCD=39°
求:
(1)∠O的度数。
(2)∠O与∠BAD、∠BCD之间有何数量关系,请试着用等式表示出来。
第1节你能证明它们吗
一:
证明一中有六条公理,请分别填一填:
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;
3.____________对应相等的两个三角形全等;(SAS)
4.____________对应相等的两个三角形全等;(ASA)
5._____对应相等的两个三角形全等;(SSS)
6.全等三角形的________相等,________相等.
思考:
你能由公理3、4、5、6证明下面的推论吗?
请自己写出已知、求证和证明。
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)
二
(1)把所学的等腰三角形的性质尽可能回忆出来.
(2)求证“等腰三角形的两个底角相等”(等边对等角)
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:
∠B=∠C.D
你能想到其他的证明方法吗?
请用其他方法证明这个定理(要求:
写明已知、求证和证明)
二:
由上述的两个证明方法可以看出:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(三线合一)
课堂演练一:
1、求证:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度。
2、如图,在
中,
,
平分
,且
.
求证:
思路分析:
由
可知
为等腰三角形,
为其底边,要证明
自然联想到等腰三角形的性质——三线合一,故可取
的中点
.
证明:
如图,取
的中点
,连接
,
基础训练
一、选择题
1.等腰三角形底边长为7,一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3,则腰长是()
A.4B.10C.4或10D.以上答案都不对
2.如图,由∠1=∠2,BC=DC,AC=EC,得△ABC≌△EDC的根据是()
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
3.具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
二、填空题
4.在△ABD和△ACE中,有下列四个论断:
①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE
请以其中三个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出一个正确的判断(⊙⊙⊙→⊙的形式写出来) .
5.已知:
如图,AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=.
6.如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=80°则∠DEC= .
三、解答题
7.已知:
如图,等腰三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧),AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D、E.求证:
△ADC≌△CEB;
探究实践
8.如图,CA=CB,DA=DB,EA=EB.
(1)C、D、E三点在一条直线上吗?
为什么?
(2)如果AB=24,AD=13,CA=20,那么CD的长是多少?
9..已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF//AC交CE的延长线于点F.
求证:
AC=2BF.
点击中考
10.(2007年重庆)
等腰三角形的性质专练
一.选择题(共9小题)
1.下列两个三角形中,一定全等的是( )
A.
有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.
两个等边三角形
C.
有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.
有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
2.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( )
A.
7
B.
11
C.
7或11
D.
7或10
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数为( )
A.
80°
B.
75°
C.
65°
D.
45°
4.在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是( )
A.
15°
B.
30°
C.
50°
D.
65°
5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.
顶角的一半
B.
底角的一半
C.
90°减去顶角的一半
D.
90°减去底角的一半
6.下列说法中不正确的是( )
A.
三角形三条中线相交于一点
B.
直角三角形三条高相交于直角顶点
C.
钝角三角形只能画一条高
D.
等腰三角形底边上的中线平分顶角
7.下列说法中,错误的是( )
A.
底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等
B.
含有100°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等
C.
腰长和底边长分别对应相等的两个等腰三角形全等
D.
含有80°内角且腰长是3cm的两个等腰三角形全等
8.等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是( )
A.
3
B.
5
C.
7
D.
9
9.等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角是( )
A.
20°
B.
80°
C.
20°或80°
D.
40°或80°
二.填空题(共8小题)
10.(2012•宁波)如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB= _________ 度.
11.(2012•潜江模拟)已知等腰三角形有一个角是50°,则它的另外两个角是 _________ .
12.(2013•秀洲区二模)△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,若∠B=50°,则∠DAC的度数是 _________ .
13.(2012•金堂县一模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB交于点D,则∠BCD的度数是 _________ 度.
14.(2012•抚顺)已知等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm,则此等腰三角形的周长为 _________ .
15.(2011•新昌县模拟)有两个等腰三角形甲和乙,甲的底角等于乙的顶角,甲的底长等于乙的腰长,甲的腰长等于乙的底长,则甲的底角是 _________ 度.
16.(2011•嘉兴)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则△ABC的外角∠BCD= _________ 度.
17.(2008•上虞市模拟)小敏的叔叔家有一块等腰三角形形状的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计).则这块等腰三角形菜地的面积为 _________ 平方米.
三.解答题(共13小题)
18.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AM⊥AD交直线BC于M,若∠BAC=36°,BM=AB+AC.求∠ABC的度数.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE,CE.△ABE与△ACE全等吗?
为什么?
20.如图,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于H,且AE=BE.
(1)求∠C的度数.
(2)求证:
AH=2BD.
21.已知:
如图,AD是△ABC的高,AB=AC,BE=2AE,点N是CE的中点.
求证:
M是AD的中点.
22.问题背景在△ABC中,∠B=2∠C,点D为线段BC上一动点,当AD满足某种条件时,探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中,某两条或某三条线段之间存在的数量关系.
例如:
在图1中,当AB=AD时,可证得AB=DC,现在继续探索:
任务要求:
(1)当AD⊥BC时,如图2,求证:
AB+BD=DC;
(2)当AD是∠BAC的角平分线时,判断AB、BD、AC的数量关系,并证明你的结论.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DE与DF的有怎样的大小关系?
请说明理由.
24.如图,已知D、E两点在线段BC上,AB=AC,AD=AE.
证明:
BD=CE.
25.如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过 _________ 后,点P与点Q第一次在△ABC的 _________ 边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
26.
(1)如图1,求作一点P,使P到两条直线的距离相等,且使PA=PB;(保留作图痕迹)
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,点M、N在边BC上,且AM=AN,试判断BM和CN的大小关系,并说明理由.
27.汶川地震过后,某中学小亮同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平:
在等腰直角三角尺斜边中点D固定线绳的一端,线绳的另一端挂一个铅锤,把这块三角尺的斜边紧贴在房梁上,结果,线绳经过三角尺的直角顶点,由此小亮同学认为房梁是水平的.
你认为小亮的判断正确吗?
请你用所学过的几何知识加以说明.
28.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为直线BC上一点,DE⊥AC,DF⊥AB,CH⊥AB,
(1)如图
(1)若D为BC的中点,求证:
DE+DF=CH.
(2)如图
(2)若D为BC延长线上一点,其他条件不变,线段DE.DF.CH之间有何数量关系,请证明你的结论.
29.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A<90°,CD、BE分别为△ABC的中线,AF⊥CD,AG⊥BE,分别交CD、BE的延长线于F、G两点,试问:
(1)AF与AG相等吗?
为什么?
(2)当∠A=90°时,其余条件不变,猜想AF _________ AG(用>,=,<填空).
(3)当∠A>90°时,其余条件不变,猜想AF _________ AG(用>,=,<填空).
(4)通过本题,你可以得到怎样的结论?
请用文字叙述.
30.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
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