函数的定义域与值域知识点与题型归纳.docx
- 文档编号:912467
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:29
- 大小:346.11KB
函数的定义域与值域知识点与题型归纳.docx
《函数的定义域与值域知识点与题型归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数的定义域与值域知识点与题型归纳.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
函数的定义域与值域知识点与题型归纳
第二节函数的定义域与值域
●高考明方向
了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现,难度不大;有时也在解答题的某一小问当中进行考查;值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联系在一起,三种题型都有,难度中等.
一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一常见基本初等函数的定义域
注意:
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则
2、定义域必须写成集合或区间的形式
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R
(5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞)
(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}
(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意
义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
(补充)
三角函数中的正切函数y=tanx定义域为
如果函数是由几个部分的数学式子构成的,
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.
知识点二基本初等函数的值域
注意:
值域必须写成集合或区间的形式
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:
当a>0时,值域为{y|y≥};
当a<0时,值域为{y|y≤}
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
(补充)三角函数中
正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx的值域均为
正切函数y=tanx值域为
《名师一号》P15
知识点二函数的最值
注意:
《名师一号》P16问题探究问题3
函数最值与函数值域有何关系?
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在.
1、温故知新P11知识辨析1
(2)
函数的值域为()
答案:
正确
2、温故知新P11第4题
函数的值域为()
答案:
D
注意:
牢记基本函数的值域
3、温故知新P11第6题
函数的值域是,则函数的值域是()
答案:
A
注意:
图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析:
(一)函数的定义域
1.据解析式求定义域
例1.
(1)《名师一号》P13对点自测1
(2014·山东)函数的定义域
为( )
A. B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)
解析 要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,
即log2x>1或log2x<-1,
解得x>2或0 所以函数f(x)的定义域为∪(2,+∞). 例1. (2)《名师一号》P14高频考点例1 (1) 函数f(x)=+的定义域为( ) A.(-3,0]B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1] 解析: 由题意得解得-3 注意: 《名师一号》P14高频考点例1规律方法 (1) 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集. 函数的定义域一定要用集合或区间表示 例2.(补充) 若函数的定义域为 则实数的取值范围是; 答案: 变式: ? 练习: (补充) 若函数的定义域为 则实数的取值范围是; 答案: 2.求复合函数的定义域 例3. (1)《名师一号》P14高频考点例1 (2) (2015·北京模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y=f(2x)-ln(x-1)的定义域为( ) A.[1,2]B.(1,2]C.[1,8]D.(1,8] 解析: 由已知函数y=f(x)的定义域为[0,4]. 则使函数y=f(2x)-ln(x-1)有意义,需 解得1 例3. (2)《名师一号》P13对点自测2 已知函数f(x)=,则函数f(f(x))的定义域是( ) A.{x|x≠-1}B.{x|x≠-2} C.{x|x≠-1且x≠-2}D.{x|x≠-1或x≠-2} 解析 解得x≠-1且x≠-2. 注意: 《名师一号》P14高频考点例1规律方法 (2) (P13问题探究问题1类型二) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域, 是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围, 而已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b]. 例4.(补充)已知的定义域是,求 的定义域。 答案: 注意: 《名师一号》P13问题探究问题1类型三 若已知的定义域为,求的 定义域相当于当时,求的值域 (即的定义域) 练习: (补充) 已知的定义域是,求函数的定义域。 已知的定义域是,求函数的定义域。 如: 的定义域是, 的定义域 练习: (补充) 1、设函数, 求函数的定义域。 答案: 得 2、设函数的定义域为,求函数 的定义域。 答案: 得 3.实际问题中函数定义域的确定 注意: 实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义 (二)求函数值域 注意: 求函数的值域先求定义域! (1)确定函数值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时, 函数的值域是指表格中y的值的集合. ②当函数y=f(x)的图象给出时, 函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的 值的集合. ③当函数y=f(x)用解析式给出时, 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定. ④当函数由实际问题给出时, 函数的值域应结合问题的实际意义确定. (2)基本初等函数的值域 (3)求函数值域的方法 求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式.常用的方法有: 《名师一号》P14问题探究问题2 怎样求解函数的值域? 求函数值域的基本方法 (1)观察法: 一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法: “二次函数类”用配方法求值域. (3)换元法: 形如y=ax+b±(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用换元法求值域,形如y=ax+的函数用三角函数代换求值域. (4)分离常数法: 形如y=(a≠0)的函数可用此法求值域. (5)单调性法: 函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法: 画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围. 《名师一号》P17高频考点例3规律方法(3)、(4) 基本不等式、导数法 例1.《名师一号》P14高频考点例2 (1) 求函数的值域 答案: 小结: 求函数值域的基本方法 1.配方法: 《名师一号》P14问题探究问题 (2) ——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法,要特别注意自变量的范围; 二次函数在给定区间上的最值有两类: (1)求闭区间上的最值; (2)求区间定(动),对称轴动(定)的最值 ----二次函数专题 例2. (1)(补充) 求函数的值域 答案: 例2. (2)《名师一号》P14高频考点例2 (2) 求函数y=2x-的值域 方法1: 令=t(t≥0),则x=. ∴y=1-t2-t=-2+. ∵二次函数对称轴为t=-, ∴在[0,+∞)上,y=-2+是减函数. 故ymax=-2+=1, 故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1]. 方法2: ∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数,故y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数,故ymax=2×-=1,无最小值. 故函数的值域为(-∞,1]. 变式: 求函数的值域 分析: 令 答案: 形如y=ax+b±(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数 令,使之变形为二次函数 例2.(3)(补充) 求函数的值域 分析: 令 答案: 练习: 求函数的值域 分析: 令 答案: 小结: 求函数值域的基本方法 2.换元法: 《名师一号》P14问题探究问题(3) 运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定 的另一函数,从而求得原函数的值域. 例如: 形如y=ax+b±(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数 令,使之变形为二次函数 对于含结构的函数,可以利用三角代换, 令, 或令转化为三角函数 强调: 换元后要确定新元的取值范围! 例3. (1)《名师一号》P14高频考点例2(3) 求函数的值域 例3. (2)(补充) 求函数的值域 答案: 变式1: 求函数的值域 答案: 变式2: 求函数的值域 答案: 小结: 求函数值域的基本方法 3.不等式法: 《名师一号》P17高频考点例3规律方法(3) 利用基本不等式: a+b≥2(a、b∈R+)求函数的值域. 用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”. 例4. (1)(补充)求函数的值域 答案: 例4. (2)求函数的值域 (前面换元法已讲解) 答案: 小结: 求函数值域的基本方法 4.利用函数单调性: 《名师一号》P14问题探究问题(5) 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域. (补充)注意双勾函数的单调性! 函数在区间单调递减; 函数在区间单调递增. 例5. (1)温故知新P11知识辨析1 (2) 函数的值域为() 答案: 正确 例5. (2)(补充)求函数的值域. 值域 小结: 求函数值域的基本方法 5.分离常数法: 《名师一号》P14问题探究问题(5) 形如的函数的值域可使用此法 练习: 1、2、 3、 答案: 1、2、 3、 例6.《名师一号》P14高频考点例2(4) 求函数的值域 法一: 换元+分离常数法 ※法二: 利用函数有界性 由y=,得3x=. ∵3x>0,∴>0,∴0<y<1. ∴原函数的值域为(0,1),无最值. 变式1: (补充)求函数的值域 答案: 法一: 换元+分离常数法 ※法二: 利用函数有界性 变式2: (补充)求函数的值域 答案: 法一: 换元+分离常数法 ※法二: 利用函数有界性 小结: 求函数值域的基本方法 ※6.函数有界性法: (补充) 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过的函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。 例7. (1)《计时双基练》P215第9题 定义运算: 例如: 则函数 的最大值为 答案: 4 《名师一号》P15特色专题典例 已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 定义域 值域 知识点 题型 归纳
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)