无锡初三几何.docx
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无锡初三几何
初三几何2
一.解答题(共24小题)
1.如图,已知∠XOY=90°,正△PAB的顶点P与O点重合,顶点A是射线OX上的一个定点,另一顶点B在∠XOY的内部.
(1)当顶点P在射线OY上移动到点P1时,连接AP1,请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形(要求:
保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)设AP1交OB于点C,AB的延长线交B1P1于点D.求证:
△ABC∽△AP1D;
(3)连接BB1,求∠ABB1的度数.
2.在△ABC中,∠ABC=45°,BC=4,tanC=3,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.
(1)如图1,将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B、D分别与点E、F对应),连接AE,当点F落在AC上时(F不与C重合),求AE的长;
(2)如图2,△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的,射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.
3.有一张矩形纸片ABCD,AB=4,AD=9.
(1)如图1,点E在这张矩形纸片的边AD上,将纸片折叠,使AB落在CE所在直线上,折痕设为MN(点M,N分别在边AD,BC上),利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图2,点K在这张矩形纸片的边AD上,DK=3,将纸片折叠,使AB落在CK所在直线上,折痕为HI,点A,B分别落在点A′,B′处,小明认为B′I所在直线恰好经过点D,他的判断是否正确,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中有A、B两点,请在x轴上找一点C,将△ABC沿AC翻折,使点B的对应点D恰好落在x轴上.
(1)利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(5,2),请求出点C的坐标.
5.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:
若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称P′为点P关于⊙C的反称点,如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N(
,0),T(1,
)关于⊙O的反称点是否存在?
若存在,求其坐标;
②点P在直线y=﹣x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣
x+2
与x轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
6.某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练.机器人从点A出发,在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,到达点D时停止移动.已知机器人的速度为1个单位长度/s,移动至拐角处调整方向需要1s(即在B、C处拐弯时分别用时1s).设机器人所用时间为t(s)时,其所在位置用点P表示,P到对角线BD的距离(即垂线段PQ的长)为d个单位长度,其中d与t的函数图象如图②所示.
(1)求AB、BC的长;
(2)如图②,点M、N分别在线段EF、GH上,线段MN平行于横轴,M、N的横坐标分别为t1、t2.设机器人用了t1(s)到达点P1处,用了t2(s)到达点P2处(见图①).若CP1+CP2=7,求t1、t2的值.
7.如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.
(1)如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长;
(2)不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围 .
8.如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:
(1)中这样的直线AC是否唯一?
若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
9.操作:
小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的纸片进行如下设计:
说明:
方案一:
图形中的圆过点A、B、C;
方案二:
直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合,斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率=
×100%
发现:
(1)方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确,请说明理由.
(2)小明通过计算,发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.请帮忙计算方案二的利用率,并写出求解过程.
探究:
(3)小明感觉上面两个方案的利用率均偏低,又进行了新的设计(方案三),请直接写出方案三的利用率.
说明:
方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点.
10.已知如图1,Rt△ABC中,∠BCA=90°,A=30°,BC=2cm,射线CK平分∠BCA,点O从C出发,以
cm/秒的速度沿射线CK运动,在运动过程中,过O作OD⊥AC,交AC边于D,当D到A时,点O停止运动,以O为圆心,OD为半径画圆O.
(1)经过 秒,⊙O过点A,经过 秒⊙O与AB边相切;
(2)求经过几秒钟,点O运动到AB边上;
(3)如图2,当⊙O在Rt△ABC内部时,在O出发的同一时刻,若有一点P从B出发,沿线段BC以0.5cm/秒的速度向点C运动,过P作PQ∥AB,交CD于Q,问经过几秒时,线段PQ与⊙O相切?
11.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作
、
、
,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形,设点I为对称轴的交点.
(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段MN的长为 ;
(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;
(3)如图4,将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合,⊙O的半径为3,将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)
12.如图
(1),在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C,过点P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP,设点P的运动时间为x(s).
(1)当点A′落在边BC上时,求x的值;
(2)在动点P从点A运动到点C过程中,当x为何值时,△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形;
(3)如图
(2),另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C,过点Q作QE⊥AB于点E,将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ,连结A′B′,当直线A′B′与△ABC的一边垂直时,求线段A′B′的长.
13.
(1)如图1,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK交于点F,连接CF.求证:
∠AFE=∠CFD.
(2)如图2,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法);
②在①的条件下,如果∠G=60°,GM=3,P为MN中点,求MQ的长度.
14.如图,在平面直角坐标系中,一直线y=
m(m>0)分别与x轴、y轴交于A、B两点,点A、点D关于原点对称,过点A的抛物线y=﹣
mx
m2与射线AB交于另一点C,若将△ACO沿着CO所在的直线翻折得到△A′CO,△A′CO与△COD重叠部分的面积为△COD的
.
(1)求B、D两点的坐标(用m的代数式表示).
(2)当A′落在抛物线上时,求二次函数的解析式.
15.定义:
只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)识图:
如图
(1),损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径线段为 .
(2)探究:
在上述损矩形ABCD内,是否存在点O,使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上?
如果有,请指出点O的具体位置;若不存在,请说明理由.
(3)实践:
已知如图三条线段a、b、c,求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD(尺规作图,保留作图痕迹).
16.如图1,等边△ABC的边长为4cm,动点D从点B出发,沿射线BC方向移动,以AD为边作等边△ADE.
(1)在点D运动的过程中,点E能否移动至直线AB上?
若能,求出此时BD的长;若不能,请说明理由;
(2)如图2,在点D从点B开始移动至点C的过程中,以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF.
①▱ADEF的面积是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点,直接写出MN+MP的最小值.
17.如图①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°,它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,5
),AB=10,点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),则点P的运动速度为 ;
(2)求
(1)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标;
(3)如果点P,Q保持
(1)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有 个.
18.如图,已知线段AB.
(1)仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在
(1)的前提下,若AB=2cm,则等腰△ABC的外接圆的半径为 cm.
19.已知A(2,0),B(6,0),CB⊥x轴于点B,连接AC
画图操作:
(1)在y正半轴上求作点P,使得∠APB=∠ACB(尺规作图,保留作图痕迹)
理解应用:
(2)在
(1)的条件下,
①若tan∠APB=
,求点P的坐标;
②当点P的坐标为 时,∠APB最大
拓展延伸:
(3)若在直线y=
x+4上存在点P,使得∠APB最大,求点P的坐标.
20.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴,y轴分别交于点A,点C,过点A作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B.
(1)线段AB,BC,AC的长分别为AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折叠图1中的△ABC,使点A与点C重合,再将折叠后的图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2.
请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题.
A:
①求线段AD的长;
②在y轴上,是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?
若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
B:
①求线段DE的长;
②在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
21.问题提出
(1)如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,填空:
当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示).
问题探究
(2)点A为线段BC外一动点,且BC=6,AB=3,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE,找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值.
问题解决:
(3)①如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
②如图4,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4
,若对角线BD⊥CD于点D,请直接写出对角线AC的最大值.
22.如图,已知矩形ABCD,AB=6,AD=10,请用直尺和圆规按下列步骤作图
(不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(1)在BC边上作出点E,使得cos∠BAE=
(2)在
(1)作出的图形中
①在CD上作出一点F,使得点D、E关于AF对称;
②四边形AEFD的面积= .
23.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目:
如图①,点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(2,0).动点B在⊙O上,连结AB,作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序),求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索,终于得到解题思路:
在图①中,连接OB,以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.
(1)请你找出图中与OC相等的线段,并说明理由;
(2)线段OC的最大值为 .
【灵活运用】
(3)如图②,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
【迁移拓展】
(4)如图③,BC=4
,点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点,以BD为边作等边△ABD,请直接写出AC的最值.
24.已知:
矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点M、N分别在边AB、CD上,直线MN交矩形对角线AC于点E,将△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,且点P在射线CB上.
(1)如图1,当EP⊥BC时,求CN的长;
(2)如图2,当EP⊥AC时,求AM的长;
(3)请写出线段CP的长的取值范围,及当CP的长最大时MN的长.
二.填空题(共3小题)
25.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AC=12,AB=10,D是AC上一个动点,以AD为直径的⊙O交BD于E,则线段CE的最小值是 .
26.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点,连接AP,过点A作AP的垂线交射线PB于点C.当△PAB是以AP为腰的等腰三角形时,线段BC的长为 .
27.如图,线段AB=4,M为AB的中点,动点P到点M的距离是1,连接PB,线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是 .
三.选择题(共4小题)
28.已知△ABC中,∠ABC=45°,AB=7
,BC=17,以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD,连接BD,则BD的长为( )
A.25
B.
C.
D.
29.如图,一次函数y=2x与反比例函数y=
(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(﹣2,0)为圆心,1为半径的⊙C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为
,则k的值为( )
A.
B.
C.
D.
30.如图,正方形ABCD中,AB=2
,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.则线段OF长的最小值( )
A.2
B.
+2C.2
﹣2D.5
31.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E、F、G分别在边AB、AD、CD上,EG与BF交于点I,AE=2,BF=EG,DG>AE,则DI的最小值等于( )
A.
+3B.2
﹣2C.2
﹣
D.2
+3
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