人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的判定》练习题含答案.docx
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人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的判定》练习题含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2平面与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.不确定D.相等或互补
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体ABCD,则在几何体ABCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
5.已知m,n为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥β
B.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β
C.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
二、填空题
6.如图所示,检查工作的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是________.
7.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________.
8.如图所示,在三棱锥SABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=
,则二面角SBCA的大小为________.
三、解答题
9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:
面A1CD1⊥面C1BD.
10.如图所示,在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)证明SO⊥平面ABC;
(2)求二面角ASCB的余弦值.
B级 能力提升
1.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
2.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=
,则二面角ABDP的度数为________.
3.(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
证明:
平面AEC⊥平面AFC.
参考答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2平面与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.不确定D.相等或互补
答案:
C
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:
因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β.
又m⊂α,所以α⊥β.
答案:
C
3.如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:
因为PA⊥平面ABC,BA⊂平面ABC,CA⊂平面ABC,所以BA⊥PA,CA⊥PA,因此,∠BAC为二面角BPAC的平面角,又∠BAC=90°.
答案:
A
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体ABCD,则在几何体ABCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
解析:
由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,
又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,
从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.
又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.
答案:
D
5.已知m,n为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥β
B.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β
C.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
解析:
α∥β,m⊥α⇒m⊥β,n∥β⇒m⊥n.
答案:
C
二、填空题
6.如图所示,检查工作的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是________.
解析:
如图,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β.又OA⊂α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:
面面垂直的判定定理
7.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________.
解析:
可将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45°.
答案:
45°
8.如图所示,在三棱锥SABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=
,则二面角SBCA的大小为________.
解析:
如图所示,取BC的中点O,连接SO,AO.
因为AB=AC,O是BC的中点,所以AO⊥BC,同理可证SO⊥BC,
所以∠SOA是二面角SBCA的平面角.
在△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,AB=1,
所以AO=1·sin60°=
.同理可求SO=
.
又SA=
,所以△SOA是等边三角形,
所以∠SOA=60°,所以二面角SBCA的大小为60°.
答案:
60°
三、解答题
9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:
面A1CD1⊥面C1BD.
证明:
因为ABCDA1B1C1D1为正方体,所以AC⊥BD,
因为AA1⊥平面ABCD,
所以AA1⊥BD.
又因为AA1∩AC=A,
所以BD⊥平面ACA1,
又因为A1C⊂平面ACA1,
所以BD⊥A1C,同理BC1⊥A1C,
因为BD∩BC1=B,所以A1C⊥平面C1BD,
因为A1C⊂平面A1CD1,
所以面A1CD1⊥面C1BD.
10.如图所示,在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)证明SO⊥平面ABC;
(2)求二面角ASCB的余弦值.
(1)证明:
如图所示,由题设AB=AC=SB=SC=SA.
连接OA,△ABC为等腰直角三角形,
所以OA=OB=OC=
SA,且AO⊥BC.
又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,
且SO=
SA.
从而OA2+SO2=SA2,
所以△SOA为直角三边形,SO⊥AO.
又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.
(2)解:
取SC的中点M,连接AM,OM.
由
(1)知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,
得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM=
SA,AO=
SA,
故sin∠AMO=
=
=
.
所以二面角ASCB的余弦值为
.
B级 能力提升
1.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
解析:
因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面DBC.
又因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
答案:
D
2.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=
,则二面角ABDP的度数为________.
解析:
过点A作AE⊥BD,连接PE,则∠AEP为所求角.
因为由AB=3,AD=4知BD=5,
又AB·AD=BD·AE,
所以AE=
.
所以tan∠AEP=
=
.所以∠AEP=30°.
答案:
30°
3.(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
证明:
平面AEC⊥平面AFC.
证明:
连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.
在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=
.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=
,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=
,故DF=
.
在Rt△FDG中,可得FG=
.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=
,DF=
,可得EF=
.
从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
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