人教版七年级数学上《余角与补角》拓展训练.docx
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人教版七年级数学上《余角与补角》拓展训练
《余角与补角》拓展训练
一、选择题
1.一副三角板按如下四种位置放置,其中对应的∠α与∠β的说法中不一定正确的是( )
A.①中的∠α与∠β互余B.②中的∠α与∠β互补
C.③中的∠α与∠β互余D.④中的∠α与∠β相等
2.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于C点,则∠ACD+∠BCE度数为( )
A.90°B.60°C.120°D.180°
3.将一副三角板按如图方式摆放在一起,若∠1=30°10′,则∠2的度数等于( )
A.30°10′B.60°10′C.59°50′D.60°50′
4.如图,已知∠AOB=120°,∠COD在∠AOB内部且∠COD=60°.下列说法:
①如果∠AOC=∠BOD,则图中有两对互补的角;
②如果作OE平分∠BOC,则∠AOC=2∠DOE;
③如果作OM平分∠AOC,且∠MON=90°,则ON平分∠BOD;
④如果在∠AOB外部分别作∠AOC、∠BOD的余角∠AOP、∠BOQ,则
=2,其中正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
5.已知∠α是锐角,∠β是钝角,且∠α+∠β=180°,那么下列结论正确的是( )
A.∠α的补角和∠β的补角相等
B.∠α的余角和∠β的补角相等
C.∠α的余角和∠β的补角互余
D.∠α的余角和∠β的补角互补
6.如图,AOB是一条直线,∠AOC=60°,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,则图中互补的角有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
7.如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,如果∠1=45°,∠3=30°时,那么∠2的度数是( )
A.15°B.25°C.30°D.45°
8.两个角,它们的比是7:
3,差为36°,则这两个角的关系是( )
A.互余B.互补
C.既不互余也不互补D.不确定
9.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,四位同学观察图形后分别说了自己的观点.
甲:
∠AOB=∠COD;
乙:
∠BOC+∠AOD=180°;
丙:
∠AOB+∠COD=90°;
丁:
图中小于平角的角有6个.
其中观点正确的有( )
A.甲、乙、丙B.甲、丙、丁C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁
10.如图,O为直线AB上一点,∠DOC为直角,OE平分∠AOC,OG平分∠BOC,OF平分∠BOD,下列结论错误的是( )
A.∠DOG与∠BOE互补B.∠AOE﹣∠DOF=45°
C.∠EOD与∠COG互补D.∠AOE与∠DOF互余
二、填空题
11.如果一个角等于它的余角的2倍,那么这个角的补角是 度.
12.如图,一副三角尺放在桌面上且它们的直角顶点重合在点O处,根据 ,可得∠AOB=∠COD,若∠AOD=120°,则∠BOC= 度;若∠BOC=α,则∠AOD= (用含α的式子表示)
13.如果∠A和∠B互补,且∠A>∠B,给出下列四个式子:
①90°﹣∠B;②∠A﹣90°;③
(∠A+∠B)④
(∠A﹣∠B)其中表示∠B余角的式子有 .(填序号)
14.如图,平面内∠AOB=∠COD=90°,∠AOE=∠DOE,点E,O,F在一条直线上,下列结论:
①∠AOC=∠BOD;
②∠AOD与∠BOC互补;
③OF平分∠BOC;
④∠AOD﹣∠BOF=90°.
其中正确结论的有 (把所有正确结论的序号都选上)
15.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOB+∠DOC= 度.
三、解答题
16.如图,已知O为直线AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线,∠MON=56°.
(1)∠COD与∠AOB相等吗?
请说明理由;
(2)求∠BOC的度数;
(3)求∠AOB与∠AOC的度数.
17.如图,A,O,B三点在同一直线上,∠BOD与∠BOC互补.
(1)试判断∠AOC与∠BOD之间有怎样的数量关系,写出你的结论,并加以证明;
(2)OM平分∠AOC,ON平分∠AOD,
①依题意,将备用图补全;
②若∠MON=40°,求∠BOD的度数.
18.如图,将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起.
(1)若∠BOD=35°,则∠AOC= ;
(2)若∠AOC=135°,则∠BOD= ;
(3)猜想∠AOC与∠BOD的数量关系,并说明理由.
19.如图,直角三角板的直角顶点O在直线AB上,OC,OD是三角板的两条直角边,OE平分∠AOD.
(1)若∠COE=20°,则∠BOD= ;若∠COE=α,则∠BOD= (用含α的代数式表示)
(2)当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时,其它条件不变,试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系?
并说明理由.
20.按下面的方法折纸,然后回答问题:
(1)∠2是多少度的角?
为什么?
(2)∠1与∠3有何关系?
(3)∠1与∠AEC,∠3与∠BEF分别有何关系?
《余角与补角》拓展训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1.一副三角板按如下四种位置放置,其中对应的∠α与∠β的说法中不一定正确的是( )
A.①中的∠α与∠β互余B.②中的∠α与∠β互补
C.③中的∠α与∠β互余D.④中的∠α与∠β相等
【分析】根据三角尺的摆放特点,计算出∠α与∠β的关系,根据互补的概念判断即可.
【解答】解:
A、∵∠α+∠β=90°,
∴①中的∠α与∠β互余,
故①说法正确;
B、∵∠α+∠β=180°,
∴②中的∠α与∠β互补,
故②说法正确;
C、∵∠α=∠β,
故③说法错误;
D、由图形可知:
∠α=∠β=180°﹣45°=135°,
故④说法正确.
故选:
C.
【点评】本题考查的是余角和补角,如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角.如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角.
2.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于C点,则∠ACD+∠BCE度数为( )
A.90°B.60°C.120°D.180°
【分析】先利用∠ACE+∠BCE=90°,∠BCE+∠BCD=90°,可得∠ACE+∠BCE+∠BCE+∠BCD=180°,于是有∠ACD+∠BCE=180°.
【解答】解:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠BCE=90°,∠BCE+∠BCD=90°,
∴∠ACE+∠BCE+∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠ACE+2∠BCE+∠BCD=180°,
∵∠ACD=∠ACE+∠BCE+∠BCD,
∴∠ACD+∠BCE=180°.
故选:
D.
【点评】本题考查了余角的概念,掌握同角的余角相等这一性质;能够根据图形正确表示角之间的和的关系.
3.将一副三角板按如图方式摆放在一起,若∠1=30°10′,则∠2的度数等于( )
A.30°10′B.60°10′C.59°50′D.60°50′
【分析】根据邻补角得出∠2=180°﹣∠1﹣90°,代入求出即可.
【解答】解:
∵∠1=30°10′,
∴∠2=180°﹣∠1﹣90°
=180°﹣30°10′﹣90°
=59°50′,
故选:
C.
【点评】本题考查了余角和补角,度、分、秒之间的换算的应用,能根据图形得出∠2=180°﹣∠1﹣90°是解此题的关键.
4.如图,已知∠AOB=120°,∠COD在∠AOB内部且∠COD=60°.下列说法:
①如果∠AOC=∠BOD,则图中有两对互补的角;
②如果作OE平分∠BOC,则∠AOC=2∠DOE;
③如果作OM平分∠AOC,且∠MON=90°,则ON平分∠BOD;
④如果在∠AOB外部分别作∠AOC、∠BOD的余角∠AOP、∠BOQ,则
=2,其中正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
【分析】先求出∠AOC=∠BOD=30°,再根据互补的角的定义即可判断①正确;
设∠AOC=x,根据角平分线定义以及角的和差定义求出∠DOE=
x,即可判断②正确;
设∠AOC=x,当ON在OM的右边时,可得∠DON=∠BON,ON平分∠BOD;当ON在OM的左边时,ON不是∠BOD的平分线,即可判断③错误;
设∠AOC=x,根据角的和差定义可得∠AOP=90°﹣x,∠BOQ=30°+x,即可判断④正确.
【解答】解:
∵∠AOB=120°,∠COD=60°,
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=60°.
①∵∠AOC=∠BOD,∠AOC+∠BOD=60°,
∴∠AOC=∠BOD=30°,
∴∠AOD=∠COB=90°,
∴∠AOD+∠COB=180°,
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴图中有两对互补的角,故①正确;
②设∠AOC=x,则∠BOD=60°﹣x,
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=60°﹣x+60°=120°﹣x.
∵OE平分∠BOC,
∴∠BOE=
∠BOC=60°﹣
x,
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=(60°﹣
x)﹣(60°﹣x)=
x,
∴∠AOC=2∠DOE,故②正确;
③设∠AOC=x,则∠BOD=60°﹣x,
∵OM平分∠AOC,
∴∠COM=
∠AOC=
x.
如果ON在OM的右边,
那么∠DON=∠MON﹣∠COD﹣∠COM=90°﹣60°﹣
x=30°﹣
x,
∴∠BON=∠BOD﹣∠DON=60°﹣x﹣(30°﹣
x)=30°﹣
x,
∴∠DON=∠BON,
∴ON平分∠BOD;
如果ON在OM的左边,显然ON的反向延长线平分∠BOD,即ON不是∠BOD的平分线,故③错误;
④设∠AOC=x,则∠BOD=60°﹣x,∠AOP=90°﹣x,∠BOQ=90°﹣(60°﹣x)=30°+x,
∴∠AOP+∠BOQ=90°﹣x+30°+x=120°,
∵∠COD=60°,
∴
=2,故④正确.
故选:
C.
【点评】本题考查了余角和补角,角平分线定义以及角的计算,设∠AOC=x,用含x的代数式表示相关角度是解题的关键.
5.已知∠α是锐角,∠β是钝角,且∠α+∠β=180°,那么下列结论正确的是( )
A.∠α的补角和∠β的补角相等
B.∠α的余角和∠β的补角相等
C.∠α的余角和∠β的补角互余
D.∠α的余角和∠β的补角互补
【分析】根据补角和余角的定义列出关系式即可求解.
【解答】解:
A、∠α是锐角,∠β是钝角,
则∠α的补角是钝角,∠β的补角是锐角,它们不相等,故选项错误;
B、∠α的余角为90°﹣∠α,∠β的补角为180°﹣∠β,
当90°﹣∠α=180°﹣∠β,∠β﹣∠α=90°,
故选项错误,
C、∠α的余角为90°﹣∠α,∠β的补角为180°﹣∠β,
∵90°﹣∠α+180°﹣∠β=270°﹣(∠α+∠β)=90°,
故选项正确;
D、∠α的余角为90°﹣∠α,∠β的补角为180°﹣∠β,
∵90°﹣∠α+180°﹣∠β=270°﹣(∠α+∠β)=90°,
故选项错误,
故选:
C.
【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义,根据余角和补角的定义列出关系式是解题的关键.
6.如图,AOB是一条直线,∠AOC=60°,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,则图中互补的角有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
【分析】根据邻补角的定义以及角平分线的定义求得图中角的度数,然后根据互补的定义进行判断.
【解答】解:
∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°,
∵OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,
∴∠AOD=∠COD=30°,∠COE=∠BOE=60°,
∴∠AOE=∠BOC=120°,∠DOE=90°,∠DOB=150°,
则∠AOD+∠DOB=180°,∠COD+∠DOB=180°,∠AOC+∠BOC=180°,∠COE+∠BOC=180°,∠BOE+∠BOC=180°,∠AOE+∠BOE=180°,∠AOE+∠AOC=180°,∠AOE+∠COE=180°.
总之有8对互补的角.
故选:
D.
【点评】本题考查了补角的定义以及角平分线的定义,正确求得图中角的度数是关键.
7.如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,如果∠1=45°,∠3=30°时,那么∠2的度数是( )
A.15°B.25°C.30°D.45°
【分析】根据∠2=∠BOD+EOC﹣∠BOE,利用正方形的角都是直角,即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.
【解答】解:
∵∠BOD=90°﹣∠3=90°﹣30°=60°,
∠EOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°,
又∵∠2=∠BOD+∠EOC﹣∠BOE,
∴∠2=60°+45°﹣90°=15°.
故选:
A.
【点评】本题主要考查了角度的计算,正确理解∠2=∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键.
8.两个角,它们的比是7:
3,差为36°,则这两个角的关系是( )
A.互余B.互补
C.既不互余也不互补D.不确定
【分析】设这两个角为7x,3x,则有7x﹣3x=36°,可求出x的值,那么就可求出这两个角,也能得到这两个角的关系.
【解答】解:
设一个角为7x,则另一个角为3x,
则有7x﹣3x=36°,
∴x=9°,
则这两个角分别为63°,27°,
而63°+27°=90°
∴这两个角的关系为互余.
故选:
A.
【点评】本题考查了余角和补角及解一元一次方程的知识,通过设适当的参数求出x=9°后,求出这两个角的值后,判断关系为互补.
9.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,四位同学观察图形后分别说了自己的观点.
甲:
∠AOB=∠COD;
乙:
∠BOC+∠AOD=180°;
丙:
∠AOB+∠COD=90°;
丁:
图中小于平角的角有6个.
其中观点正确的有( )
A.甲、乙、丙B.甲、丙、丁C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁
【分析】根据垂直定义得出∠AOC=∠BOD=90°,再逐个进行判断即可.
【解答】解:
∵OA⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC﹣∠BOC=∠BOD﹣∠BOC.
∴∠AOB=∠COD.
∴甲同学说的正确;
∵∠BOC+∠AOD
=∠AOC+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°,
∴乙同学说的正确;
∵∠AOB+∠BOC=∠AOB=90°,∠BOC和∠COD不一定相等,
∴丙同学说的错误;
∵图中小于平角的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD,共6个,
∴丁同学说的正确.
故选:
D.
【点评】本题考查了余角、补角的定义和角的有关推理的应用,能正确进行推理是解此题的关键.
10.如图,O为直线AB上一点,∠DOC为直角,OE平分∠AOC,OG平分∠BOC,OF平分∠BOD,下列结论错误的是( )
A.∠DOG与∠BOE互补B.∠AOE﹣∠DOF=45°
C.∠EOD与∠COG互补D.∠AOE与∠DOF互余
【分析】根据角平分线的定义可设∠AOE=∠COE=α,∠BOG=∠COG=β,利用平角等于得出α+β=90°,∠EOG=90°.根据同角的余角相等得出∠DOG=∠COE=90°﹣∠COG=α,则∠BOD=∠DOG﹣∠BOG=α﹣β.∠BOF=∠DOF=
(α﹣β).然后根据互余、互补的定义分别判断即可.
【解答】解:
∵OE平分∠AOC,OG平分∠BOC,
∴可设∠AOE=∠COE=α,∠BOG=∠COG=β,
∵O为直线AB上一点,
∴∠AOB=180°,
∴2α+2β=180°,
∴α+β=90°,∠EOG=90°.
∵∠DOC=90°,
∴∠DOG=∠COE=90°﹣∠COG=α,
∴∠BOD=∠DOG﹣∠BOG=α﹣β.
∵OF平分∠BOD,
∴∠BOF=∠DOF=
(α﹣β).
A、∵∠DOG=α=∠AOE,∠AOE+∠BOE=180°,
∴∠DOG+∠BOE=180°,
故本选项结论正确,不符合题意;
B、∵∠AOE=α,∠DOF=
(α﹣β),
∴∠AOE﹣∠DOF=α﹣
(α﹣β)=
(α+β)=45°,
故本选项结论正确,不符合题意;
C、∵∠EOD=∠EOG+∠GOD=90°+α,∠COG=β,
∴∠EOD+∠COG=90°+α+β=180°,
故本选项结论正确,不符合题意;
D、∵∠AOE+∠DOF=α+
(α﹣β)=
α﹣
β=
α﹣
(90°﹣α)=2α﹣45°,
∴当α=67.5°时,∠AOE+∠DOF=90°,
但是题目没有α=67.5°的条件,
故本选项结论错误,符合题意;
故选:
D.
【点评】本题考查了余角和补角的定义及性质,角平分线定义,角的和差计算,准确识图是解题的关键.
二、填空题
11.如果一个角等于它的余角的2倍,那么这个角的补角是 120 度.
【分析】首先设这个角为x°,则它的余角为(90﹣x)°,根据题意可得方程,解出x,再确定它的补角.
【解答】解:
设这个角为x°,由题意得:
x=2(90﹣x),
解得:
x=60,
180°﹣60°=120°,
则这个角的补角是120度.
故答案为:
120.
【点评】此题主要考查了余角和补角,关键是掌握如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.补角:
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.
12.如图,一副三角尺放在桌面上且它们的直角顶点重合在点O处,根据 同角的余角相等 ,可得∠AOB=∠COD,若∠AOD=120°,则∠BOC= 60 度;若∠BOC=α,则∠AOD= 180°﹣α (用含α的式子表示)
【分析】直接利用互为余角的定义以及直角三角形的性质分析得出答案.
【解答】解:
一副三角尺放在桌面上且它们的直角顶点重合在点O处,根据同角的余角相等,可得∠AOB=∠COD,
若∠AOD=120°,则∠DOC=120°﹣90°=30°,
故∠BOC=90°﹣30°=60度;
若∠BOC=α,则∠AOD=90°+∠DOC=90°+(90°﹣∠BOC)=180°﹣α(用含α的式子表示).
故答案为:
同角的余角相等,60,180°﹣α.
【点评】此题主要考查了互为余角,正确结合直角三角板的性质分析是解题关键.
13.如果∠A和∠B互补,且∠A>∠B,给出下列四个式子:
①90°﹣∠B;②∠A﹣90°;③
(∠A+∠B)④
(∠A﹣∠B)其中表示∠B余角的式子有 ①②④ .(填序号)
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°可得∠A+∠B=180°,再根据互为余角的两个角的和等于90°对各小题分析判断即可得解.
【解答】解:
∵∠A和∠B互补,
∴∠A+∠B=180°,
①∵∠B+(90°﹣∠B)=90°,
∴90°﹣∠B是∠B的余角,
②∵∠B+(∠A﹣90°)=∠B+∠A﹣90°=180°﹣90°=90°,
∴∠A﹣90°是∠B的余角,
③∵∠B+
(∠A+∠B)=∠B+
×180°=∠B+90°,
∴
(∠A+∠B)不是∠B的余角,
④∵∠B+
(∠A﹣∠B)=
(∠A+∠B)=
×180°=90°,
∴
(∠A﹣∠B)是∠B的余角,
综上所述,表示∠B余角的式子有①②④.
故答案为:
①②④.
【点评】本题考查了余角和补角,熟记余角和补角的概念是解题的关键.
14.如图,平面内∠AOB=∠COD=90°,∠AOE=∠DOE,点E,O,F在一条直线上,下列结论:
①∠AOC=∠BOD;
②∠AOD与∠BOC互补;
③OF平分∠BOC;
④∠AOD﹣∠BOF=90°.
其中正确结论的有 ①②③ (把所有正确结论的序号都选上)
【分析】由∠AOB=∠COD=90°根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD,即可判断①正确;
由∠AOD+∠BOC=90°+∠AOC+∠BOC,而∠AOC+∠BOC=90°,即可判断②正确;
由∠AOE=∠DOE,∠AOC=∠BOD,根据平角的定义可得∠BOF=∠COF,即可判断③正确;
由∠AOD﹣∠BOF=∠AOC+90°﹣∠BOF,没有∠AOC≠∠BOF,即可判断④不正确.
【解答】解:
①∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,故①正确;
②∵∠AOD+∠BOC=90°+∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOD与∠BOC互补,故②正确;
③∵∠AOE=∠DOE,∠AOC=∠BOD,
∴∠BOF=∠COF,
∴OF平分∠BOC,故③正确;
④∵∠AOD﹣∠BOF=∠AOC+90°﹣∠BOF,没有∠AOC≠∠BOF,
故④不正确.
故答案为:
①②③.
【点评】本题考查了角度的计算:
1平角=180°,等角的余角相等.也考查了角平分线的定义.
15.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOB+∠DOC= 180 度.
【分析】先利用∠AOD+∠COD=90°,∠COD+∠BOC=90°,可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°,而∠BOD=∠COD+∠BOC,∠AOD+∠BOD=∠AOB,于是有∠AOB+∠COD=180°.
【解答】解:
∵∠AOD+∠COD=90°,∠COD+∠BOC=90°,
∠BOD=∠COD+∠BOC,∠AOD+∠BOD=∠AOB,
∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°,
∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°,
∴∠AOB+∠COD=180°.
故答案为:
180
【点评】本题考查了余角的概念,掌握同角的余角相等这一性质;能够根据图形正确表示角之间的和的关系.
三、解答题
16.如图,已知O为直线AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线,∠MON=56°.
(1)∠COD与∠AOB相等吗?
请说明理由;
(2)求∠BOC的度数;
(3)求∠AOB与∠AOC的度数.
【分析】
(1)根据补角的定义可得:
∠AOC+∠AOB=180°,根据平角的定义可得:
∠AOC+∠COD=180°,可得结论;
(2)先根据角平分线的定义得:
∠AOM=∠COM,∠AON=∠BON,再由角的和与差可得:
∠BOC=∠BOM+∠COM,可得结论;
(3)由
(1)得:
∠COD=∠AOB,先计算∠AOB=
(180°﹣∠BOC)=34°,再由平角的定义可得∠AOC=180°﹣∠AOB=146°.
【解答】解:
(1)∠COD=∠AOB.理由如下:
如图∵点O在直线AD上,
∴∠AOC+∠COD=180°,
又∵∠AOC与∠AOB互补,
∴∠AOC+∠AOB=180°,
∴∠COD=∠AOB;
(2)∵OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线,
∴∠AOM=∠COM,∠AON=∠BON,
∴∠BOC=∠BOM+∠COM,
=∠BOM+∠AOM,
=(∠MON﹣∠BON)+(∠MON+∠AON),
=2∠MON,
=112°;
(3)由
(1)得:
∠COD=∠AOB,
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°,
∴∠AOB=
(180°﹣∠BOC)=
(180°﹣112°)=34°,
∴∠AOC=180°﹣∠AOB=180°﹣34°=146°.
【点评】此题主要考查
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- 关 键 词:
- 余角与补角 人教版 七年 级数 余角 补角 拓展 训练