初二数学辅助线专题.docx
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初二数学辅助线专题.docx
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初二数学辅助线专题
辅助线专题
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5).
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
作辅助线的方法
一:
中点、中位线,延线,平行线。
如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二:
垂线、分角线,翻转全等连。
如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三:
边边若相等,旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心,因题而异,有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:
面积找底高,多边变三边。
如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。
五、截长法与补短法,
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目
构造全等三角形几种方法
一、延长中线构造全等三角形
例1.如图1,AD是△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2.如图3,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。
求证:
AB+BD=AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3.如图5,△ABC中,AB=AC。
E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。
求证:
EF=FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4.如图7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC。
M是AC边的中点。
AD⊥BM交BC于D,交BM于E。
求证:
∠AMB=∠DMC。
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5.如图9,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD>∠CAD。
求证:
AB>AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6.如图11,正方形ABCD中,∠1=∠2,Q在DC上,P在BC上。
求证:
PA=PB+DQ。
例7.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是cm.
8.如图,两个边长相等的两个正方形ABCD和OEFG,若将正方形OEFG绕
点O按逆时针方向旋转150°,两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积()
A.不变B.先增大再减小C.先减小再增大D.不断增大
M
A
D
B
C
O
E
F
G
N
七、截长法与补短法,
例7:
如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。
求证:
CD=AD+BC。
练习
12.(4分)如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为1,l2,l3之间的距离为3,则点B到AC的距离是( )
A.
5
B.
C.
D.
考点:
全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.
专题:
计算题.
分析:
过A作AD⊥l3于D,过B作BF⊥AC于F,过C作CE⊥l3于E,则BF的长就是点B到AC的距离,根据AAS证△DAB≌△EBC,求出BE=3,根据勾股定理求出BC、AB、AC,根据三角形的面积即可求出答案.
解答:
解:
过A作AD⊥l3于D,过B作BF⊥AC于F,过C作CE⊥l3于E,则BF的长就是点B到AC的距离
∵AD⊥l3,CE⊥l3,
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,∠ABD+∠CBE=90°,
∴∠DAB=∠CBE,
在△DAB和△EBC中
,
∴△DAB≌△EBC,
∴AD=BE=3,
∵CE=3+1=4,
在△CEB中,由勾股定理得:
AB=BC=5,AC=5
,
由三角形的面积公式得:
S△ABC=
AB×BC=
AC×BF,
即5×5=5
BF,
即BF=
,
故选C.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的面积,等腰直角三角形,勾股定理等知识点的应用,关键是正确作辅助线后能求出BE、AB、BC、AC的长,主要考查了学生的推理能力和计算能力.
18.(4分)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为
.
考点:
等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
压轴题.
分析:
过P作PF∥BC交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据等腰三角形性质求出EF=AE,证△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DE=
AC即可.
解答:
解:
过P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=
AC,
∵AC=1,
∴DE=
.
故答案为:
.
18.如图,在△ABC中,BC=2
,∠ABC=45°=2∠ECB,BD⊥CD,则(2BD)2= 16﹣8
.
【考点】勾股定理.
【分析】延长BD至F,使得DF=BD,连结CF交AB于G.根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2
,BG=CG=2,根据线段的和差求得FG=2
﹣2,
在Rt△BGF中,根据勾股定理即可求解.
【解答】解:
延长BD至F,使得DF=BD,连结CF交AB于G.
∵BD⊥CD,DF=BD,
∴CF=CB=2
,∠DCF=∠ECB,
∵∠ABC=45°=2∠ECB,
∴∠BCG=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∵BC=2
,
∴BG=CG=
BC=2,
∴FG=2
﹣2,
在Rt△BGF中,(2BD)2=BF2=BG2+FG2=22+(2
﹣2)2=16﹣8
.
故答案为:
16﹣8
.
【点评】考查了勾股定理,中垂线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,本题关键是作出辅助线构造直角三角形,难度较大.
24.正方形ABCD中,E点为BC中点,连接AE,过B点作BF⊥AE,交CD于F点,交
AE于G点,连结GD,过A点作AH⊥GD交GD于H点.
(1)求证:
△ABE≌△BCF;
(2)若正方形边长为4,AH=
,求△AGD的面积.
24.证明:
(1)正方形ABCD中,∠ABE=90°,
∴∠1+∠2=90°,
又AE⊥BF,
∴∠3+∠2=90°,
则∠1=∠3(2分)
又∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABE
=∠BCF=90°,AB=BC
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA)(5分)
(2)延长BF交AD延长线于M点,∴∠MDF=90°(6分)
由
(1)知△ABE≌△BCF,∴CF=BE
∵E点是BC中点,∴BE=
BC,即CF=
CD=FD,
在△BCF和△MDF中,
∴△BCF≌△MDF(ASA)
∴BC=DM,即DM=AD,D是AM中点(8分)
又AG⊥GM,即△AGM为直角三角形,
∴GD=
AM=AD
又正方形边长为4,∴GD=4
S△AGD=
GD·AH=
×4×
=
1、在△ABC中,AB=AC,D为射线BC上一点,DB=DA,E为射线AD上一点,且AE=CD,连接BE。
(1)如图2,若BE=2CD,连接CE并延长,交AB于点F,求证:
CE=2EF.
(2)如图3,若BE⊥AD,垂足为点E,求证:
24.如图1,△ABC中,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,连接DE.
(1)若AB=BC,DE=1,BE=3,求△ABC的周长;
(2)如图2,若AB=BC,AD=BD,∠ADB的角平分线DF交BE于点F,求证:
BF=
DE;
(3)如图3,若AB≠BC,AD=BD,将△ADC沿着AC翻折得到△AGC,连接DG、EG,请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系,并证明你的结论.
【分析】
(1)由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=
AC=AE,AC=2DE=2,AE=1,由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出结果;
(2)连接AF,由等腰三角形的性质得出∠3=∠4,证出△ABD是等腰直角三角形,得出∠DAB=∠DBA=45°,∠3=22.5°,由ASA证明△ADF≌△BDF,得出AF=BF,∠2=∠3=22.5°,证出△AEF是等腰直角三角形,得出AF=
AE,即可得出结论;
(3)作DH⊥DE交BE于H,先证明△ADE≌△BDH,得出DH=DE,AE=BH,证出△DHE是等腰直角三角形,得出∠DEH=45°,∠3=45°,由翻折的性质得出DE=GE,∠3=∠4=45°,证出DH=GE,DH∥GE,证出四边形DHEG是平行四边形,得出DG=EH,即可得出结论.
【解答】
(1)解:
如图1所示:
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=CE,∠AEB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴DE=
AC=AE,
∴AC=2DE=2,AE=1,
∴AB=
=
,
∴BC=
,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2
+2;
(2)证明:
连接AF,如图2所示:
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠3=22.5°,
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°,
∴∠1=∠3=22.5°,
∵DF平分∠ABD,
∴∠ADF=∠BDF,
在△ADF和△BDF中,
,
∴△ADF≌△BDF(SAS),
∴AF=BF,∠2=∠3=22.5°,
∴∠EAF=∠1+∠2=45°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=
AE,
∵DE=AE,
∴BF=
DE;
(3)解:
BE=DG+AE;理由如下:
作DH⊥DE交BE于H,如图3所示:
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2,
∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH,
在△ADE和△BDH中,
,
∴△ADE≌△BDH(ASA),
∴DH=DE,AE=BH,
∴△DHE是等腰直角三角形,
∴∠DEH=45°,
∴∠3=90°﹣∠DEH=45°,
∵△ACD翻折至△ACG,
∴DE=GE,∠3=∠4=45°,
∴∠DEG=∠EDH=90°,DH=GE,
∴DH∥GE,
∴四边形DHEG是平行四边形,
∴DG=EH,
∴BE=EH+BH=DG+AE.
2、已知:
正方形
中,
,
绕点
顺时针旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于点
.
当
绕点
旋转到
时(如图1),易证
.
(1)当
绕点
旋转到
时(如图2),线段
和
之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
(2)当
绕点
旋转到如图3的位置时,线段
和
之间又有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想.
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