重庆大学出版社高等数学题库参考答案.docx
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重庆大学出版社高等数学题库参考答案
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法)
、单选题
为(A).
f(x)f(x)C
1.设f(x)是可导函数,则(f(x)dx)
f(x)f(x)C函数f(x)的(B)原函数,称为f(x)的不定积分.
A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个
3.
f(x)dxexcos2xC,则f(x)
A).
ex(cos2x2sin2x)ex(cos2x2sin2x)Cexcos2xexsin2x函数f(x)ex的不定积分是(B).
xxee
clnxlnx
c函数f(x)cosx的原函数是(A).
sinx
ccosx
sinxcosxc函数f(x)
112的原函数是(A).x2
cx
22
3x
x
c设2x是f(x)的一个原函数,则f(x)dx(B)
2x.2
2x
e
xce
2x
e
ce2xc函数f(x)sinx的原函数是(D)
sinxccosx
sinx
cosxc若
F(x)、G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)G(x)=(B)
f(x).0
1
F(x)f(x)函数f(x)12的原函数是(A)
x
cx
x2
c函数f(x)112的原函数是(A)
x
cx
c若函数f(x)、g(x)在区间(a,b)内可导,且f(x)g(x),则
B)
f(x)
g(x).f(x)
g(x)
xx2x
x2若exdxexc,则e2xd2x=(A)
f(x)g(x).不能确定f(x)与g(x)之间的关系
14.若F(x)f(x),则下列等式成立的是(B).
F(x)dxf(x)C.f(x)dxF(x)C
F(x)dxf(x)C.f(x)dxF(x)C
15.经过点(0,1),且切线斜率为2x的曲线方程是(D).
yxyx2yx21yx21二.填空题
1.5dx2x2dln(52x).
2.xdx
3.axdx
1
d(1x2)
2
xa
C.
lna
7.
cos7xdx
17sin7xC
4.设f(x)是连续函数,则df(x)dxf(x)dx
2
5.2xcosx的原函数是xsinx.
8.3x13x.adxd(a1)3lna
9.sin3xdx
d(cos3x).
3
10.lnxdx1ln2xCx2
11.x3dx1x4C.
4
12.xe2xdxd(1e2xC)
4
13.
14.
15.
16.
cosxsinxdx
119x2dx
2sin
2xdx
f(2x)dx
sin2xC
2
1
arctan3xC
3
(xsinx)C
2
1f(2x)C
2
F(0)
17.设f(x)dxF(x)C.,若积分曲线通过原点,则常数C
18.
dx
19x2
1
d(arctan3x).
19.xexdx
1x2
20.已知f(x)dxsin2xC,则f(x)sin2x
22.
23.
x21
dxx1
1
1x
2edx
x
12
xxC
2
1
exC
24.
x
2dxx21
1dln(x21).
2
25.若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数为
sinxC
26.设x3为f(x)的一个原函数,则
df(x)
3x2dx
27.
sin2xdx
1d(14cos2x)
8
28.
2
x2sinx的一个原函数是
1x3
3
cosx
29.
x
sindx
3
3d(cos3x).
30.
tanxdx
lncosxC
31.
cos12xdx
1sin(12x)C
2
32.
sec2xdxtanxC
33.
dx
sin23x
1cot3xC
3
34.设2x是f(x)的一个原函数,则[f(x)dx]2.
判断题
1.
sinxdxcosxcedx(×)2.
x
e(×)
3.
sinxdxcosx.sinxdx
(×)4.
cosxc
(√)
5.
[sin(12x)]
dxsin(12x)(×)6.
cosxdxsinxc
×)
四.计算题
1.求不定积分
21
x1x2dx.解:
原式=1
2
x2d(1
x2)13(1
3
x2)2C
2.求不定积分
3.求不定积分
4.求不定积分
1
1dx.解:
原式=ln33x
x1exdx.解:
原式=11ex1
(12sinx
x
xC
xd(1
e
3)dx.解:
原式=2x
x
ex)
ln(1ex)
2cosx3lnx
5.求不定积分
212
xexdx.解:
原式=1exC
2
6.求不定积分2xdx.解:
原式=1ln(1x2)C
x212
xxx
7.求不定积分(2x7x)2dx.解:
原式=421449C2ln2ln142ln7
8.求不定积分(2x1)10dx.解:
原式=1(2x1)11C
22
9.求不定积分(x1)(x1)dx.解:
原式=2xx1xx2xC
x52
11
10.求不定积分sin2xdx.解:
原式=1x1sin2xC
24
11.求不定积分212dx.解:
原式=tanxcotxCsin2xcos2x
1
12.求不定积分1dx.解:
原式=1ln2x3C2x32
1
13.求不定积分12arctanxdx.解:
原式=1(arctanx)2C
1x22
14.求不定积分3x4dx.解:
原式=3ln1x4C
1x44
1
15.求不定积分1dx.解:
原式=1arctan2xC14x22
15x
16.求不定积分(x35x)dx.解:
原式=1x45C
4ln5
17.求不定积分e5xdx.解:
原式=1e5xC
5
五.应用题
1.设一质点作直线运动,已知其加速度为a12t23sint,如果t0时v05,s03,
求
(1)v与t的函数关系;
(2)s与t的函数关系.
v(t)(12t23sint)dt4t33costCt0,v5v(t)4t33cost2解:
s(t)(4t33cost2)dtt43sint2tct0,s3s(t)t43sint2t3
2.求经过点(0,0),且切线斜率为2x的曲线方程.
解:
y2xdxx2Cx0,y0yx2
2
3.一物体由静止开始运动,t秒末的速度是3t(米/秒),问
(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少?
(2)物体走完360米需多长时间?
解:
设运动方程为:
SS(t)3t2dtt3Ct0,s0S(t)t3
1)当t3时,S(3)27(米)
2)当S(t)t3360t3360秒.
3
4.一曲线过原点且在曲线上每一点
(x,y)处的切线斜率等于x3,求这曲线的方程.
解:
y
x3dx41x4C
x0,y0
14y4x4
5.已知物体由静止开始作直线运动
经过t秒时的速度为360t
180(米/秒),求3秒末物体离
开出发点的距离.
解:
S(t)
2
(360t-180)dt180t2
180tCt0,s0S(t)
2
180t2180t.
当t3时,S(3)1080(米).
1
6.求经过点(e,1),且切线斜率为x的曲线方程.
1解:
y1dxlnxCxe,y1ylnx.
x1
7.求经过点(0,0),且切线斜率为1x2的曲线方程.
1x0,y0
解:
y2dxarctanxCx0,y0yarctanx.
1x第五章不定积分2一.单选题
1.下列分部积分法中,u,dv选择正确的是(A).
xsin2xdx,ux,dvsin2xdxlnxdx,u1,dvlnxdx
x2exdx,uex,dvx2dxxexdx,uex,dvxdx
2.arctan2xdxxarctan2xxd(A).
arctan2xarctan4x-arctan2x-arctan4xdx
4-x2
xarcsin
xarccosarcsinxC2
C
arccosx
C二.判断题
1.分部积分法udvuv
vdu的关键是恰当的选择
u和dv,使vdu应比udv容易积分.
√)
2.
√)
若被积函数中含有x2a2,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分三.填空题
1.1dx2x1C.x1
3.xlnxdx
4.dx
19x2
1x2lnx1x2C
24
1.
3d(arcsin3x)
6.xsin3xdx
四.计算题
1.求不定积分
2.求不定积分
3.求不定积分
4.求不定积分
5.求不定积分
6.求不定积分
7.求不定积分
8.求不定积分
9.求不定积分
10.求不定积分
11.求不定积分
12.求不定积分
13.求不定积分
5
2xx2
.xedxe(x2x2)C
xcos3x
3
x
23x2
1sin3xC
9
dx
.解:
原式=
1
23x2
d(2
3x2)
12
23xC
3
2x2
e2xx2dx.解:
原式=1e2x(x2x1)
22
x
dx
原式x1t
(2t2
2t)dt
.解:
23t3
t2
23(x
2
1)3
x1C
dx
x(1x).解:
t2
22dt
1t2
2arctantC2arctanx
原式x
xsin2xdx.解:
5x
(x2)edx
原式=1xcos2x1sin2x
24
.解:
原式=1e5x(x9)C
55
4x
xedx.解:
原式
e4x(1x1)C
416
dx
1x1.解:
原式
21xln(11x)C
1xdx
1ex.解:
原式=ln1ex1C
1ex1
x2lnxdx
.解:
原式1x(lnx1)C
33
x1
dx
x.解:
原式2(x1arctanx1)C
1
12x1
dx
-2x1ln2x11C
.解:
原式
2
14.求不定积分
xadx(a0,a1).解:
原式ax(x2x23)C
lnaln2aln3a
1
2dx
15.求不定积分
49x.解:
原式1arcsin3xC
32
16.求不定积分
sinxdx.解:
原式
-2xcosx2sinxC
17.求不定积分
xcos3xdx
.解:
原式
1xsin3x
3
1cos3xC
9
18.求不定积分
xdx
x2
.解:
原式
2
3(x
3
2)2
1
4(x2)2C
五.应用题
增加题)
第六章定积分
一.单选题
xdx
(D
1.0420
2
0(2
x)dx
4
2(2
x)dx
2
0(x
2)dx
4
2(x2)dx
2
0(x
2)dx
4
2(2
x)dx
2
0(2
x)dx
4
2(x2)dx
A.大于0B.小于0
11
3.f(x)dxf(x)dx
C.
(C)
等于0D.不能确定
A.大于0B.小于0
b
4.定积分af(x)dx
C.
等于0D.不能确定
是(D)
A.一个原函数B.fx的一个原函数C.一个函数族D.一个常数
b
5.定积分af(x)dx的值的大小取决于(C)
f(x).区间a,bC.f(x)和a,bD.都不正确b
6.定积分af(x)dx的值的大小取决于(C)
f(x).区间a,bC.f(x)和a,bD.无法确定
33
7.f(x)dxf(x)dx
(A)
42
f(x)dxf(x)dx
24
43
3f(x)dx2f(x)dx下列命题中正确的是(C)(其中f(x),g(x)均为连续函
数)
A.在a,b上若f(x)
bb
g(x)则af(x)dxag(x)dxB.
b
f(x)dx
b
af(t)dt
C.若f(x)g(x),则
f(x)dx
b
f(x)dxg(x)dxdf(x)dxD.a
9.ddxaf(x)dx
(B)
f(x).0
f(x)F(x)若f(x)1,则
b
f(x)dx
a
(C)
abba定积分
b
af(x)dx是(B)
A.任意的常数B.确定的常数C.f(x)的一个原函数
D.
f(x)的全体原函数
k)dx2,则k(B)
1
(2x
12.若0
.1
2x4dx.12
.判断题
2.
3.
b
(af(x)dx)0.(×)
4.
db
sinxdxsinxdxa
.填空题
.(×)
1.设f(x)在
a,b上连续,则
(x)dxf(b)f(a)
2.
3xdx
6xC
ln6
3.
1
01
2
x
2dx
x
4.
1x
ex
2dx
x
ee
5.设
5
1f(x)dx3,2f(x)dx
5,
2
f(x)dx2
1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件.(×)
b
0dxba.(×)
a
3dx0
7.若f(x)在a,b上连续,且
b
f(x)dx
a
0b
则f(x)1dxbaa
52
3
8.由曲线yx22,直线x1,x3及x轴围成曲边梯形的面积A31(x22)dx
9.d2
sinxdx0dx0
1
1x
10.141ln1xdx0
11.
2sin
(1)
1xdx
1
x
12.
12
xdx
1
13.
1
xcosxdx
1
2
3
14.利用定积分的几何意义填写定积分的值
011
0
x2dx
15.
dx2sint2dtdx0
2sinx
16.
22x2sinxdx
2
17.
13
x3dx
1
18.
积分
elnx
dx的值为
19.
242
2(3x5x
20.
1x
0edx
21.
3
dx
1
12
1xlnxdx
22.
2
四.
计算题
2)dx
4
的值的符号为负.
4
e1
1
x
2
0dx
1.求定积分
dx.解:
原式2(1
1x
ln2)
3
2.求定积分
1
04
dx
2
x.解:
原式
arcsinx
3.求定积分
0
1(1
x)(23x)dx.解:
原式12
4.求定积分
1dx
解:
原式
arcsinx
1
2
1
2
5.求定积分
1dx
2115x解:
原式=
1ln(11
5
5x)
6.求定积分
91dx解:
原式
41x
2
2tln(t1)32
54ln2
2(1ln2)
7.求定积分
8.求定积分
9.求定积分
10.求定积分
11.求定积分
12.求定积分
13.求定积分
14.求定积分
15.求定积分
16.求定积分
17.求定积分
18.求定积分
19.已知f(x)
20.求定积分
21.求定积分
exdx
0edx.解:
原式
1x2dx
1
解:
原式
1327x
313
04tan2d
解:
原式
tan
4sin22xdx.解:
原式
01sin2x
23
ln(1sinx)4ln32
x3sin2xdx
.解:
原式=0
1
2
1
2
2
arcsinx
dx
.解:
原式=13(arcsinx)3
1
2
1
2
324
1dx
xx
.解:
原式
2ln(x1)32ln2
x2exdx
.解:
原式
ex(x22x2)1e2
0
1dx解:
原式
0(1x)4
13
-13(1x)3
7
24
2
xexdx
0.
解:
原式
ex(x1)
2
2e
1
0
1xxexdx0
.解:
原式
-ex(x
1)
1
1
2
0
e
sinx
dx
3.解:
原式cos(x)0
33
2
x,
0
x1
,计算
2
0f(x)dx.
解:
原式
12
xdx
2
1(2
x)dx
1
2x,
1
x3
0
1
6
9
x1
xd
x
:
原式
23
12
9
271
4
.解
(2x2
2
x
)
3
2
4
6
1
xarcta
0
nxdx
解:
原式=
1(x2arctanx
x
1arctanx)
4
1
2
0
2
求定积分1
arcsinxdx.解:
原式
0
(xarcsinx
1x2)10
求定积分
2cos2udu
6.解:
原式
11
(usin2u)
22
求定积分
02xxsinxdx.解:
原式
12
x
2
xcosx
sinx
求定积分
11x2
12dx
2x.解:
原式x
sint
cott
14
求定积分
2
11
12sindx
xx.解:
原式cos
x
12
1
求定积分
1
2x12x1
010dx.解:
原式10
1
2ln100
495
ln10
求定积分
2sinxcos3xdx
0解:
原式
14
-cos
4
21
04
求定积分
14x2xdx.解:
原式
0
1
8x1
ln100
7
ln10
求定积分
e1lnx
dx
1x.解:
原式
lnx
1ln2xe
21
3dx
求定积分
求定积分
1x(1x).解:
原式xt2arctant1
2sin3xcosxdx14
0.解:
原式sinx
4
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
11dx1求定积分32x.解:
原式-ln2x3ln5
2x22
0xexdx.解:
原式1ex2
20
02sinxdx
1
0(1
.解:
原式cosx
x)(23x)dx.解:
原式
t2
2
12
te2dt
0.解:
原式
12x2
2dx
01x2.解:
原式
0xsinxdx.解:
原式
eln2x
dx
1x.解:
原式
023sinxcosxdx
2
tsintdt
0
2x
1(4
2(e4
52
x
2
1)
111
02
t2
e2
2(x
1
e2
1
arctanx)0
xcosx
sinx0
13ln
.解:
原式
3sinx
2
为常数解:
原式
cosxdx.解:
原式
x21dx
3
1
31
.解:
原式
12dx
x.解:
原式
dx.解:
原式
16
14xx
sinx02
13
x
3
1tcos
3
sinx2
2
2sin
13
x
3
arctanx13
3
xt441t2
2
tln(1
t)
2ln32
1.已知生产某产品x(百台)时,总收入R的变化率R台)增加到3(百台)时,总收入的增加量.
x(万元/百台),
求产量从从1(百
解:
由已知R8x得总收入的增加量为:
R
3
Rdx
1
3
(8x)dx8x
12
x
2
3
1
36.求定积分
37.求定积分
38.求定积分
39.求定积分
40.求定积分
41.求定积分
42.求定积分
43.求定积分
44.求定积分
45.求定积分
46.求定积分
47.求定积分
48.求定积分
五.应用题
2.试描画出定积分
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