五年级奥数a.docx
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五年级奥数a.docx
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五年级奥数a
定义新运算
例1对于任意数a,b,定义新运算“ж”:
aжb=a×b―a―b
求12ж4的值。
例2规定:
4⊙2=4+44,
2⊙3=2+22+222,
1⊙4=1+11+111+1111。
求3⊙5=?
例3对于任意自然数,定义:
N!
=1×2×…×n。
例如4!
=1×2×3×4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字是几?
例4对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为
a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)
(1)求12☆21的值
(2)已知6☆χ=27,求χ的值。
例5对任意的数a,b,定义:
f(a)=2a+1,g(b)=b×b.
(1)求f(5)-g(3)的值;
(2)求f(g
(2))+g(f
(2))的值;
(3)已知f(x+1)=21,求x的值。
练习:
1、对于任意的两个数a和b,规定aжb=3×a-b÷3。
求8ж9的值。
2、对于任意的两个数p,q,规定p☆q=(p×q)÷4。
已知x☆(8☆5)=10,求x的值。
3、已知:
2⊙3=2×3×4,
4⊙5=4×5×6×7×8,
……
求(4⊙4)÷(3⊙3)的值。
4、定义两种运算“※”和“△”如下:
a※b表示a,b两数中较小的数的3倍,
a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍。
计算:
[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
5、已知一种运算“◎”使下列算式成立:
3◎4=16,7◎2=30,9◎11=47,21◎10=94。
求5◎13的值。
6、对于任意的自然数a,b,定义:
f(a)=a×a-1,g(b)=b÷2+1。
(1)求f(g(6))-g(f(3))的值;
(2)已知f(g(x))=8,求x的值。
位值原则
我们知道,在数学中,abc表示a×b×c,那么一个数的百位是a,十位是b,个位是c,又该怎么表示呢?
我们通常把它写作,表示a个百,b个十,c个一,即=100a+10b+c。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原则。
例1表示多少?
又表示多少?
计算-,你发现了什么?
例2有一个两位数,把数码1加在它的前面可以得到一个三位数,加在它的后面也可以得到一个三位数,这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3a,b,c是1~9中的三个不同的数码,用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?
例4用2,8,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少?
例5一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大6,求这个两位数。
例6将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数。
练习:
1、有一个两位数,把数码1加在它的前面可以得到一个三位数,加在它的后面也可以得到一个三位数,这两个三位数之和是970。
求原来的两位数。
2、有一个三位数,将数码1加在它的前面可以得到一个四位数,将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数,这两个四位数之差是2351,求原来的三位数。
3、一个三位数减去它的各个数位的数字之和得
,求χ。
4、
5、从1~9中取出三个数码,用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。
这六个三位数中最小的能是几?
最大的能是几?
6、一个两位数,各位数字的和的6倍比原数小9,求这个两位数。
7、一个三位数,抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1,求这个三位数。
最大最小
例1两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?
(排排看,你发现了什么?
)
如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,它们的乘积越大。
(当这两个数相等时,它们的乘积最大)。
例2比较下面两个乘积的大小:
a=57128463×87596512
b=57128460×87596515
例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?
我们发现,周长一定的长方形中,正方形的面积最大。
例4两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
(排排看,你发现了什么?
)
两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。
例5要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?
练习:
1、试求和是91,乘积最大的两个自然数。
最大的积是多少?
2、比较下面两个乘积的大小:
123456789×987654321,
123456788×987654322。
3、现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面,为节省材料,要求围墙最短,那么这块长方形地的围墙有多少米长?
4、1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少?
5、在数123456789101112…9899100中划去100个数字,剩下的数字组成一个新数,这个新数最大是多少?
最小是多少?
☆6、把19分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的积最大?
最不利原则
在日常生活和生产中,我们常常会遇到求最大值或最小值的问题,解答这类问题,常常需要从最不利的情况出发分析问题,这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个球才能保证至少有4个小球颜色相同?
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个,为保证这n个小球至少有5个同色,n的最小值是多少?
例3一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。
问:
在乐乐之前已就座的最少有多少人?
例4一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
例5在一副扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中四种花色都有?
练习:
1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个,才能保证至少有5个小球颜色相同?
2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个,其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问:
一次最少取出几个,才能保证至少有6个小球颜色相同?
3、口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问:
(1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到?
(2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子?
(3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子?
4、一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
问:
最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子?
5、一把钥匙开一把锁,现有10把锁和其中的9把钥匙,要保证这9把钥匙都配上锁,至少需要试验多少次?
抽屉原理
抽屉原理1:
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉的物品不少于2件。
例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?
例2在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?
例3在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?
例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?
练习:
1、某班32名小朋友是在5月份出生的,能否找到两个生日是在同一天的小朋友?
2、在任意三个自然数中,是否其中必有两个数,它们的和为偶数?
3、幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?
4、用红、黄、蓝三种颜色涂方格,每个方格涂一种颜色,每一列的两小格涂的颜色不相同。
是否存在两列,它们的小方格涂的颜色完全相同?
抽屉原理2:
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例1某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
例2一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
例3六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。
问:
至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?
例4篮子里有苹果、梨、桃和橘子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿出两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?
练习:
1、礼堂里有253人开会,这253人中至少有多少人的属相相同?
2、把130件玩具分给幼儿园小朋友,如果不管怎样分,都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具,那么这个幼儿园最多有多少个小朋友?
3、体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让一班的41名同学往操场拿球,每人最多拿两个。
问:
至少有几名同学拿球的情况完全一样?
4、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球,有若干人轮流从袋中取球,每人取三个球。
要保证有4人取出的球的颜色完全相同,至少应有多少人取球?
5、10个足球队之间共赛了11场,赛得最多的球队至少赛了几场?
逻辑问题a
列表法求解逻辑问题。
例1小王、小张和小李一位是工人,一位是农民,一位是教师,现在只知道:
小李比教师年龄大;小王与农民不同岁;农民比小张年龄小。
问:
谁是工人?
谁是农民?
谁是教师?
工人
农民
教师
小王
小张
小李
例2刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹,六个人进行乒乓球混合双打比赛。
事先规定:
兄妹二人不许搭伴。
第一盘:
刘刚和小丽对李强和小英;
第二盘:
李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。
问:
三个男孩的妹妹分别是谁?
小丽
小英
小红
刘刚
马辉
李强
试一试1:
甲、乙、丙每人有两个外号,人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。
此外:
(1)数学博士夸跳高冠军跳得高;
(2)跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影;
(3)短跑健将请小画家画贺年卡;(4)数学博士和小画家很要好;
(5)乙向大作家借过书;(6)丙下象棋常赢乙和小画家。
你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗?
试一试2:
张明、席辉和刘刚在北京、上海和天津工作,他们的职业是工人、农民和教师,已知:
(1)张明不在北京工作,席辉不在上海工作;
(2)在北京工作的不是教师;
(3)在上海工作的是工人;(4)席辉不是农民。
问:
这三人各住哪里?
各是什么职业?
逻辑问题b
用假设法解逻辑问题,就是根据题目的几种可能情况,逐一假设。
如果推出矛盾,那么假设不成立;如果推不出矛盾,那么符合题意,假设成立。
例1甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。
赛前甲、乙、丙分别作了预测。
甲说:
“丙第1名,我第3名。
”
乙说:
“我第1名,丁第4名。
”
丙说:
“丁第2名,我第3名。
”
成绩揭晓后,发现他们每人只说对了一半,你能说出他们的名次吗?
2、甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。
甲说:
“我和乙都住在北京,丙住在天津。
”
乙说:
“我和丁都住在上海,丙住在天津。
”
丙说:
“我和甲都不住在北京,何伟住在南京。
”
丁说:
“甲和乙都住在北京,我住在广州。
”
假定他们每个人都说了两句真话,一句假话。
问:
不在场的何伟住在哪儿?
3、一天,老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去,小马虎见到这五人后就一人给了一本,结果全发错了。
现在知道:
(1)甲拿的不是乙的,也不是丁的;
(2)乙拿的不是丙的,也不是丁的;
(3)丙拿的不是乙的,也不是戊的;(4)丁拿的不是丙的,也不是戊的;
(5)戊拿的不是丁的,也不是甲的。
另外,没有两人相互拿错。
问:
丙拿的是谁的本?
丙的本被谁拿走了?
4、甲、乙、丙、丁在比较他们的身高,甲说:
“我最高。
”乙说:
“我不最矮。
”
丙说:
“我没甲高,但还有人比我矮。
”丁说:
“我最矮。
”实际测量的结果表明,只有一人说错了。
请将他们按身高次序从高到矮排列出来。
逻辑问题小练习
1、甲、乙、丙、丁四名学生猜测自己语文成绩
甲说:
“如果我得优,那么乙也得优。
”
乙说:
“如果我得优,那么丙也得优。
”
丙说:
“如果我得优,那么丁也得优。
”
结果大家都没说错,但是只有两个人得优,那么得优的是谁?
2、A、B、C、D四位同学的运动衫上印上了不同的号码。
甲说:
“A是2号,B是3号。
”乙说:
“C是4号,B是2号。
”
丙说:
“D是2号,C是3号。
”丁说:
“D是1号,B是3号。
”
又知道甲、乙、丙、丁四人每人都只说对了一半,那么C的号码是多少?
3、某人的电话号码是五位数,下面有10个五位数:
17560443534109225731786972217190389795005397086275
其中每一个数与电话号码都恰好在同一位上有一个相同的数字,这个电话号码是多少?
4、甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建,分别教数学、语文、英语,根据下面的已知条件:
(1)甲不是浙江人,乙不是江苏人;
(2)浙江的教师不教英语;(3)江苏的教师教数学;(4)乙不教语文。
问:
丙教什么学科?
5、有A、B、C三个足球队,两两比赛一场,共赛了三场,A队两胜,进6球失2球;B队一胜一负,进4球失4球;C队两负,进2球失6球。
请写出三场比赛的具体比分。
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