初中数学几个常用模型0811192954.docx
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初中数学几个常用模型0811192954
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初中数学几个数学模型
模型1、l:
r=3600:
n0
①圆锥母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是216。
②劳技课上,王芳制作了一个圆锥形纸帽,其尺寸如图.则将这个纸帽展开成扇形时的圆心
角等于(C)A.45°B.60°C.90°D.120°
③要制作一个圆锥形的模型,
要求底面半径为2cm,母线长为4cm,在一个边长为
8cm的正
方形纸板上,能否裁剪制作一个这种模型(侧面和底面要完整,不能拼凑)
(C
)
(A)一个也不能做
(B)能做一个
(C)可做二个
(D)可做二个以上
4、(2004河北T7)在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形
使之恰好围成如图所示的圆锥模型
.设圆的半径
为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是
(D
)A、2r=R
B、9
R
、
r
4
C3rR
D、4r
R
模型2、角平分线+平行=等腰三角形
如图,
ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,过D作直线平行于
BC,
交AB、AC于E、F,当∠A的位置及大小变化时,线段
EF和BE+CF的
大小关系(B).
(A)EF>BE+CF
(B)EF=BE+CF
(C)EF (D)不能确定 模型3、一副三角板 ①在△ABC中,a=1,b= 3,∠A=300,则∠B=___60___度。 ②两个全等的含300,600角的三角板ADE直线上,连结BD,取BD的中点M,连结腰直角三角形) 和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.(等 共享知识分享快乐 ③(2006邵阳T8.)将一副三角板按图 (一)叠放,则△AOB与△DOC的面积之比等于 (1: 3) ④(2005年浙江绍兴T18.)(以下两小题选做一题,第 (1)小题满分5分,第 (2)小题 满分为3分。 若两小题都做,以第 (1)小题计分) 选做第________小题,答案为________ (1)将一副三角板如图叠放,则左右阴影部分面积S1: S2之比等于________ (2)将一副三角板如图放置,则上下两块三角板面积A1: A2之比等于________ ⑤(2006年武汉市T24.10分)已知: 将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放, 点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。 将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋 转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相 交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H。 (1)当α=30°时(如图②),求证: AG=DH; (2)当α=60°时(如图③), (1)中的结论是否成立? 请写出你的结论,并说明理由; (3)当0°<α<90°时, (1)中的结论是否成立? 请写出你的结论,并根据图④说明理由。 F F 45° C C(N) E M EA 60° D BAGDHB 图① 图② 第24题图 E C E C F F M M N N A GD HB A GD HB 图③ 图④ 第24题图 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注, 不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD,则∠ADB的余切值为. ⑧如图,ABC中,ACB90,B30,AC1,过点C作CD1AB于D1, 共享知识分享快乐 过 D1 作 D1D2BC 于 D2 ,过 D2 作 D2D3 AB 于 D3 ,这样继续作下去,⋯⋯,线段 DnDn1能等于(n为正整数) 3 n 3 1 3 n n1 C D2 3 n (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 D4 D6 ⑨已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题: (1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边①在图甲中,证明: PC=PD; A D5 B D1D3 (第⑧题图)OA,OB交于点C,D.. 3 ②在图乙中,点G是CD与OP的交点,且PG=2PD,求△POD与△PDG的面积之比. (2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,在图丙中作出图形,试求OP的长. A M A M A M P P C C O D B O D B O B 图甲 图乙 图丙 ⑩如图,客轮沿折线 A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从 AC的中点D出发沿某 一方向匀速直线航行, 将一批物品送达客轮。 两船同时起航,并同时到达折线 A-B-C的某 点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的 2倍。 (1)选择: 两船相遇之处 E点( )。 A、在线段AB上B 、在线段BC上 C、可以在线段 AB上,也可以在线段 BC上 (2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里 ? (结果保留根号)。 A D CB ⒒将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动, 共享知识分享快乐 直角的另一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。 设A、P两点间的距离为x, (1)当点Q在CD上时,线段PQ、PB之间有怎样的大小关系? 试证明你观察到的结论。 (2)当点Q在CD上时,求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式,并求出X的取值范围; (3)当点P在线段AC上滑动时,三角形PCQ是否能为等腰三角形? 如果可能, 指出所有可 能使三角形PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置,并求出相应 D 的X的值;如果不能说明理由(以下三个图的形状,大小相 A 1 同,以供操与解题时备用) P 3 Q 4 解: (1)PQ=PB O 证明: 连接BD交AC于点O,连接PD,如图 (1) 四边形ABCD是正方形 OCD450 B C ODC AC垂直平分BD, PB=PD, 4 900 12 图 (1) PBPD 34900 13 23 PDQ 2ODC 2450 PQD 3 OCD 3450 PDQ PQD PD PQ PB PQ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分 (2)连接BD交AC于点O,作QE AC于点E(如图2) A P PB PQ, PBO QPE,POB QEP 900 O POB QEP 2 E QE OP OA AP x 2 B SPBCQ SPBC SPCQ 1PC(BO QE) 1(2x)(2x) 2 2 y 1x2 1(1 x 2) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 (3)可能 当P与A重合时,Q与D重合,有PQ=QC,X=0 当PC=CQ时,且Q在DC的延长线上时,(图形 3),连接BD交AC于点O,连接 CQ=PC=2x,BQ2 BC2 CQ2 1(2 x)2 由 (1)证得,PB=PQ, D Q C BQ,则 共享知识分享快乐 PB2 (2BQ)2 11(2x)2 2 2 PB2 BO 2 OP2 11( 2x)2 (2)2 (x 2)2 2 2 2 由x 1 ⋯⋯⋯⋯⋯.3分 12.如图,操作: 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使 它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一 边与边DC或射线DC相交于点Q。 当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系? 试证明你观察得到的结论; ②当点Q在边CD运动上时,设四边形PBCQ的面积为S时,试用含有x的代数式表示S: ③当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形? 如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由。 ①过点P作PE AB交AB于E,过点P作PF CD交BC于F-----1 PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE ∴BE=PF ------2 分 EPB FPQ 900 EPB EBP900 ∴EBP FPQ------3 ∴ PEB PFQ ------4 分 ∴PB=PQ --------5 设PM=x,BM=1-x,QC=1-x-x=1-2x SSPBCSVPCQ AD O P BC Q 分 分 分 1 BC PM 1CQPF 2 2 1 1x 1 1)x 2 (2x 2 x2 -----------8 分 ③有可能成为等腰三角形,求出x值-------11 分 13.(12分)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三 角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论? 并证明你的结论; (2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2), 共享知识分享快乐 你在 (1)中得到的结论还成立吗? 简要说明理由. (1)BE=CF.⋯⋯2分 证明: 在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).⋯⋯4分∴BE=CF.⋯⋯6分 (2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ ABE和△ACF全等,BE 和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 27(.8分)等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P为BC的中点,小慧拿着含 30° 角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转. (1)如图1,当三角板的两边分别交 AB、AC于点E、F时.问△BPE与△CFP是否相似; (2)操作: 将三角板绕点P旋转到图 2情形时,三角板的两边分别交 BA的延长线、边AC 于点E、F. ①探究1: △BPE与△CFP还相似吗? (只需写出结论) ②探究2: 连结EF,△BPE与△PFE是否相似? 请说明理由; ③设EF=m,△EPF的面积为S,试用m的代数式表示S. A F A E E F B P C B P C (1) (2) (1)如图,由题意得∠FPC+∠BPE=150,∠BEP+∠BPE=150 ∴∠BEP=∠FPC 又∵∠B=∠C=30∴△BPE~△CFP⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 (2)①△BPE与△CFP还相似 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 ②△BPE与△PFE相似, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 BE PE BE PE 由△BPE与△CFP相似,得 FP ,又∵BP=CP∴ BEBP CP BP FP 即 ,又∵∠B=∠EPF=30 ∴△BPE~△PFE⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 PEFP 共享知识分享快乐 ③如图,∵△BPE~△PFE,∴∠PEB=∠PEF作 PH⊥BE于点H,PG⊥EG于点G,则PH=PG⋯⋯⋯7分 在Rt△BPH中,PH BPsinPBH=23 ∴S=3m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 E A H F G BPC (2) 模型4知二求四 在上图中隐含有以下重要性质: ⑴两对相等的锐角;∠A=∠BCD,∠B=∠ACD 222 ⑵三对相似三角形: ⊿ACD∽⊿CBD∽⊿ABC,AC=AD·ABBC=BD·ABCD=BD·AD⑶边之比的推广 ⑷面积: AC·BC=AB·CD ⑸勾股定理 ⑹AB是ABC外接圆的直径 ① ②③④⑤ ∽ 模型5增长率 ①②③④⑤⑧增长率与百分数问题 i ii某商品降价20%后出售,一段时间后恢复原价,则应在售价的基础上提高的百分数是 ()A、20%B、25%C、30%D、35% 某商品经过两次降价,由每件100元降至81元,则平均每次降价的百分率为() A、8.5%B、9%C、 9.5%D、10% iii 模型6垂径定理 ①如图: 一个残破的圆钢轮,为了再铸做一个同样大小的圆轮,请用圆规、直尺作出它的圆 心(不用写作法,保留作图痕迹)。 共享知识分享快乐 ② ③ 在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后, 截面如图所示,如果油面宽 AB=8m,那么油的最 大深度是______m. 模型7 配方法 用配方法解关于 x2+px+q=0时,此方程可变为( A) (x p2p2 4q p ) 24qp2 (x p 2p2 4q p 2 4qp2 ) 4 B. (x 4 ) 4 (x ) A. 2 2 C. 2 D. 2 4 模型8 三个非负量 初中阶段学过三个非负量: 平方数 ,绝对值 ,算术平方根 。 它们具有 以下性质: ①非负性; ②n个非负量之和仍为非负量;③若 n个非负量之和为 0,则每个非 负量必须同时为 0;④当a=0时, 、 、 都有最小值,相反 都 有最大值。 ①如图所示,化简 (a b)2 a b ( )A、2a B、2b C、-2b D、-2a a 0 b ② ③ ④ ⑤ 模型9 全等三角形模型 ①i(2006年安徽T13,3分)如图,直线 L过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线 L的距离分别是 1和 2,则正方形的边长是 2 3 1 S4 S S2 S3 1 l ii(2005 年温州T18,3 分)在直线l上依次摆放着七个正方形 (如图所示)。 已知斜放置的 三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4,则 S+S+S+S=_______。 1 2 3 4 共享知识分享快乐 ②(2004年临沂T21,7分)如图△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC。 求证: ∠C=90° A BC 模型10方程模型①(2004年河北 T20,4分.)、扑克牌游戏 小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入 左边一堆。 这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数,你认为中 间一堆的张数是。 ②(200年山东枣庄 T,分.)如图所示,若将正方形分成 k个全等的矩形, 其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则 k的值为 ; ③i(2006年山东枣庄T18,4分.).右图是由9个等边三角形拼成的六 边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长 是. ii(200年T,分.)如图,一个长方形被划分成大小不等的6个 正方形,已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米,则这个长方形的 面积为. 友情提醒: 北师大版年级册P阅读材料 右边给出的是2004年3月份的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究,发现这三个数的和不可能是() (A)69(B)54(C)27(D)40 共享知识分享快乐 模型11不等式模型 ①(2004年临沂T11,3分)点P(x+1,x-1)不可能在第()象限 A: 一B: 二C: 三D: 四 ②(2004年临沂T10,3分)如图,直线y=kx+b与坐标轴的两个交点 分别为A(2,0)和B(0,-3),则不等式kx+b+3≥0的解集是() A: x≥0B: x≤0C: x≥2D: x≤2 模型12函数模型 y o Ax B ①飞机着陆后滑行的距离S(单位: m)与滑行的时间(t单位: s)的函数关系式是S=60t-1.5t2. 飞机着陆后滑行多远才能停下来? (新人教版九年级下册P
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