小学数学奥数基础教程(六年级)--08.doc

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小学数学奥数基础教程（六年级）--第08讲

本教程共30讲

比和比例

　　比的概念是借助于除法的概念建立的。

　　两个数相除叫做两个数的比。

例如，5÷6可记作5∶6。

比值。

　　表示两个比相等的式子叫做比例（式）。

如，3∶7=9∶21。

判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。

两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

　　在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

即：

如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

　　两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。

例如a∶b∶c。

连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。

把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。

例如，

　　甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，

　　因为[6，4]=12，所以

　　5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，

　　得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

　　例1已知3∶（x-1）=7∶9，求x。

　　　　解：

7×（x-1）=3×9，

　　　　　　　　　x-1=3×9÷7，

　　例2六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比。

　　分析与解：

原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。

由此求出

　　女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为24∶20=6∶5。

　　在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

　　将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。

按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

　　例3配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。

　　分析：

总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，

　　答：

生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。

　　在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。

如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。

　　例4师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。

完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

　　分析与解：

解法很多，这里只用按比例分配做。

师傅与徒弟的工作效率

有多少学生？

　　按比例分配得到

　　例6某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：

大客车30元，小客车15元，小轿车10元。

某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。

求这天这三种车辆通过的数量。

　　分析与解：

大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。

　　由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

　　大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。

　　以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。

因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。

这天通过

　　大客车=10×7=70（辆），

　　小客车=12×7=84（辆），

　　小轿车=33×7=231（辆）。

练习8

　　1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。

　　2.一个长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是450分米3。

问：

长方体的长、宽、高各多少厘米？

　　3.一把小刀售价6元。

如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是3∶5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶11。

问：

两人原来共有多少钱？

　　5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。

问：

最后三人各分到多少只贝壳？

　　6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。

已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？

　　7.某俱乐部男、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。

如果甲组中男、女会员的人数之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？

答案与提示练习8

　　1.540米2。

　　2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。

　　解：

长∶宽∶高=20∶15∶12，

　　450000÷（20×15×12）=125=53。

　　长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），

　　高=12×5=60（厘米）。

　　3.86元。

　　解：

设小明有x元钱。

根据小强的钱数可列方程

　　36+50=86（元）。

　　4.2640元。

　　5.甲50只，乙40只，丙48只。

　　解：

甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷（25+20+24）=2，

　　甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），

　　丙=2×24=48（只）。

　　6.12时。

　　7.5：

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