三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲.docx
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三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面枳的计算公式:
三角形面积=底X高+2
从这个公式我们可以发现:
三角形面积的大小,取决于三角形展和高的乘积.
如果三角形的庶不变,高趙大(小),三角形面积也就越大(小):
如果三角形的高不变,底越大(小片三角形面积也就越大(小):
这说明当三角形的面积变化吋,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的展和髙同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的3,則三角形面积与原来的一样.这就是说:
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:
一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状•在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
1等底等高的两个三角形面积相等;
2
两个三角形高相等,面枳比等于它们的底之比;两个三角形底相等,如左图5:
St
3央在一组平行线之间的等积变形,如右上图Sg-SzD;反之,如果Sgm-Sg、则可知直线AB平行于CD.
4等展等鬲的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
5三角形面积等于与它等底等髙的平行四边形面积的一半;
6两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比:
两个平行四边形底相等,面积比等于它们的髙之比.
【例1]你有多少种方法将任童一个三角形分成:
⑴3个面积相等的三角形,⑵4个面积相等的三角形;⑶6个面积相等的三角形•
【例2】如图,BD长12厘米,QC长4厘米,B.C和D在同一条直线上.
(1)求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍?
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【例3】
如右图,ABFE和CDEF都是矩形.M的长是4厘米,的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是—平方厘米.
A
如图,长方形的面积是56平方厘米,点几G分别是长方形ABCD边上的中点,H为Q边上的任意一点,求阴影部分的面积•
【例7】
如右图,£在AD上,AD垂直BC,AD=\2厘米,加=3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍?
【例8】如图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE.AE.CF、肿那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形?
【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图,三角形的面积为1,其中AE=3AB^BD=2BC,三角形bde的面积是多少?
【例10】(2008年四中考题)如右图,AD=DB^AE=EF=FC.已知阴影部分面积为5平方厘米,
的面积是__平方厘米-
【例11】
如图ABCQ是一个长方形,点以F和G分别是它们所在边的中点-如果长方形的面积是36个平方单位,求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【例12】如图,大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积•
【例141
(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图,在三角形ABC中,已知三角形ADE^三角形
ME.三角形BCD的面积分别是89,28.26.那么三角形D处的面积是■
【例15】(第四届《小数报》数学竞赛)如图,梯形ABCD被它的一条对角线分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,它们的差是5分米•求梯形ABCD的面积•
【例16】
图中"OB的面积为线段OB的长度为OD的3倍,求梯形ABCD的面积•
【解析】在aMD中,因为$*厂1501「,且OB=3OD、所以有SwD*3=5cm・
因为bABD和aACQ等底等高,所以有■
从而Sgi5cnr,在“BCD中,匚<尺=3二心=45cm-,所以梯形面积;
15+5+15+45=80(cn?
)
【例18】
(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形,緑色三角形面积占长方
形面积的15%,黄色三角形面积是2k亦.问,长方形的面积是多少平方厘米?
【例19】°是长方形佔CD内一点,己知SBC的面积是5cn匚△如的面积是Zcm?
求MBD的
面积是多少?
【例20】如右图,过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线GH,若的面积为8平方分米,求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米?
【例22】在长方形AB3内部有一点形成等腰4^08的面积为16.等腰2OC的面积占长方形
面积的18%,那么阴影MOC的面积是多少?
【例24】
如图所示,四边形MCD与MGF都是平行四边形,请你证明它们的面积相等.
【例25】
如图,正方形ABCD的边长为6,胚=1・5,CF=2・长方形£FGH的面积为_•
【例26】
如图,ABCD为平行四边形,W平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米・求三角形CDF的面积•
【例27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘
【例28】如图,有三个正方形的顶点D.G.K恰好在同一条直线上,其中正方形GF£B的边长为10厘米,求阴影部分的面积•
p
K
【例29】(2008年”华杯赛鮮决赛)右图中,和CGEF是两个正方形,AG和CF相交于已
知CH等于CF的三分之一,三角形咖的面积等于6平方厘米,求五边形MGEF的面积.
【例30】(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图,E.F分别悬梯形ABCD的下底和腰CD上
的点,DF=FC,并且甲.乙.丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米・求图中阴影部分的面积-
C
【例31】如图,已知长方形QEF的面积16,三角形仙的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形的面积是多少?
F
C
【例32】如图,在平行四边形ABCD中,BE=EC,CF=2FD.求阴影面积与空白面积的比.
【例33J(第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示,三角形中,D是M边的中点,
7/15
E是AC边上的一点,且肚=3EC,0为DC与BE的交点.若△CEO的面积为“平方厘米,的面积为b平方厘米.且是2.5平方厘米,那么三角形MC的面积是平方厘
米・
【例34】如图,在梯形中,BE:
EC=2:
3,且45OE的面积比MOD的面积小10平方厘米.梯形的面积是平方厘米-
【例35】如右图所示,在长方形内画出一些直线,己知边上有三块面积分别是13,35,49•那么图
中阴影部分的面积是多少?
【例36】图中是一个各条边分别为5厘米.12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到
斜边上去与斜边相重合,那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?
【例37】如图,长方形MCD的面积平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
【例38】(2007年六年级希望杯二试试题)如图,三角形田地中有两条小路胚和CF,交叉处为D,
张大伯常走这两条小路,他知道DF=DC,且Q=2D£・则两块地ACF和CFB的面积比是
【例39】(2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图,BC=45,AC=21,A4BC
被分成9个面积相等的小三角形,那么DZFK=•
【例40】(2007年人大附中分班考试题)已知MC为等边三角形.面积为400,D、E、F分别为三
边的中点,S知甲.乙.丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC)
【例41】(2009年四中入学测试题)如图,已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段初将图
形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形遊的面积是-
G
【例42】(2008年仁华考题)如图,正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的
面积是.
【例43】(2008年走美六年级初赛)如图所示,长方形MCD内的阴影部分的面积之和为70,朋=8
AM15,四边形EFGO的面积为•
【例44】(清华附中分班考试题)如图,如果长方形M3的面积是56平方厘米,那么四边形MNPQ
的面积是多少平方厘米?
【例45】(2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图,阴影部分四边形的外接图形是边长
为IXm的正方形,则阴影部分四边形的面积是cn<
【例46】如图,三角形佔尸的面积是17,DE.处的长度分别为11、3.求长方形的面积.
【例47】(2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图,长方形中,M=67,
BC=30・E.F分别是AB、BC边上的两点,BE+BF=49.那么,三角形DEF面积的最小值是.
【例48】(2007首届全国资优生思维能力测试)是边长为12的正方形,如图所示,P是内部任
意一点,BL=DM=4.
【例49】如图所示,在四边形ABCD中,£,F,G,H分别是ABCD各边的中点,求阴影部分与
四边形PQRS的面积之比.
【例50】如图,四边形ABCD中,DE:
EF:
FC=3:
2:
1,BG;GH:
AH=3:
2:
\,AD:
BC=\:
2已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形MHG的面积二•
【例51】(2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC,在边AB、BJC4的正中间
分别取点L、M、N,在边AL、、3上分别取点P、0、R,使LPrQ=NR,当加和他、PM和QN、QN和甩的相交点分别是X、y、Z时,使XY=XL,这时,三角形XM的面积是三角形的面积的几分之几?
请写出思考过程.
2
【例52】如圏:
已知在梯形MCD中,上底是下底的匚其中F是BC边上任意一点,三角形泌、三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.
【例53】如图,已知MCD長梯形,小“BC、AD:
BC=1:
2,Sw:
Sse・I:
3,=24cnr
求A4OF的面积.
【例54】(2009年迎春杯决赛高年级组)如图,是一个四边形,M、N分别是初、CD的中
点.如果4咖、MB与ADSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数,则四边形ABCD的面积为•
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形-共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比•如图在sc中,DE分别是AEAC上的点如图⑴(或D在刚的延长线上,^在"上),则S/:
SzE=(ABXAC}:
{ADXAE)
【例59】如图,三角形的面积为3平方厘米,其中佔:
BE=2:
5,BC:
CD=3:
2^三角形BDE的面积是多少?
【例60】
AE=—AC
(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示.正方形边长为6厘米,"3
【例61】如图,已知三角形面积为1,延长M至"使延长处至E,使CE=2BC;延长C4至F,使AF=3AC^求三角形QE厂的面积.
【例62】
【例63】如图,四边形EFGH的面积是66平方米,LA=AB,CB=BF,DC=CGHD=DA,求四边形ABCD的面积.
【例64】如图,将四边形ABCQ的四条边CB.CD.Q分别延长两倍至点E、F.G.H,若四边形佔CD的面积为5.则四边形EFGH的面积是•
CE=-BC
【例65】如图,在30中,延长M至D,使BD=AB,延长BC至£,使2,F是AC
的中点,若gc的面积是2,则△DM的面积是多少?
【例66】
如图,Swi,BC=5BD,AC=4EC^DG=GS=SE,AF=FG.求丄口
【例67】如图所示,正方形边长为8厘米,E是初的中点,F是CE的中点,G是以•的中
点,三角形的面积是多少平方厘米?
【例68】四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.
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