16 利用三角函数测高 课时练习含答案解析.docx
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16利用三角函数测高课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第一章第六节利用三角函数测高课时练习
一、单选题(共15题)
1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是( )
A.2海里B.2sin55°海里
C.2cos55°海里D.2tan55°海里
答案:
C
解析:
解答:
如图,由题意可知∠NPA=55°,AP=2海里,∠ABP=90°.
∵AB∥NP,
∴∠A=∠NPA=55°.
在Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠A=55°,AP=2海里,
∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里.
故选C.
分析:
首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°,AP=2海里,∠ABP=90°,再由AB∥NP,根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°.然后解Rt△ABP,得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里
2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔60海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A.30
海里B.30
海里C.60海里D.30
海里
答案:
A
解析:
解答:
过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△PAC中,∵PA=60海里,∠PAC=30°,
∴CP=
AP=30海里.
在Rt△PBC中,∵PC=30海里,∠PBC=∠BPC=45°,
∴PB=
PC=30
海里.
即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30
海里.
故选:
A.
分析:
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题,解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线
3.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A.4kmB.(2+
)kmC.2
kmD.(4-
)km
答案:
B
解析:
解答:
在CD上取一点E,使BD=DE,
可得:
∠EBD=45°,AD=DC,
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向,
∴∠BCE=∠CBE=22.5°,
∴BE=EC,
∵AB=2,
∴EC=BE=2,
∴BD=ED=
∴DC=2+
故选:
B.
分析:
根据题意在CD上取一点E,使BD=DE,进而得出EC=BE=2,再利用勾股定理得出DE的长,即可得出答案
4.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A.40
海里B.40
海里C.80海里D.40
海里
答案:
A
解析:
解答:
过点P作PC⊥AB于点C,
由题意可得出:
∠A=30°,∠B=45°,AP=80海里,
故CP=
AP=40(海里),
则PB=
=40
(海里).
故选:
A.
分析:
过点P作垂直于AB的辅助线PC,利三角函数解三角形,即可得出答案
5.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A.4kmB.2
kmC.2
kmD.(
+1)km
答案:
C
解析:
解答:
如图,过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,
∴AD=
OA=2.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,
∴BD=AD=2,
∴AB=
AD=2
即该船航行的距离(即AB的长)为2
km.
故选:
C.
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
6.如图,杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A,B,景区管委会又开发了风景优美的景点C,经测量景点C位于景点A的北偏东60°方向,又位于景点B的北偏东30°方向,且景点A、B相距200m,则景点B、C相距的路程为( )
A.100
B.200C.100D.200
答案:
B
解析:
解答:
如图,由题意得∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°,
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°,
∴∠CAB=∠C=30°,
∴BC=AB=200m,
即景点B、C相距的路程为200m.
故选B.
分析:
先根据方向角的定义得出∠CAB=30°,∠ABC=120°,由三角形内角和定理求出∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°,则∠CAB=∠C=30°,根据等角对等边求出BC=AB=200m
7.如图,C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄,CD=6km,且D位于C的北偏东30°方向上,则AB的长为( )
A.2
kmB.3
kmC.
kmD.3km
答案:
B
解析:
解答:
过C作CE⊥BD于E,则CE=AB.
直角△CED中,∠ECD=30°,CD=6,
则CE=CD•cos30°=3
=AB.
所以AB=3
(km).
故选B.
分析:
过C作CE⊥BD于E,根据题意及三角函数可求得CE的长,从而得到AB的长
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40
海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为( )海里.
A.40+40
B.80
C.40+20
D.80
答案:
A
解析:
解答:
根据题意得:
PA=40
海里,∠A=45°,∠B=30°,
∵在Rt△PAC中,AC=PC=PA•cos45°=40
×
=40(海里),
在Rt△PBC中,BC=
(海里),
∴AB=C+BC=40+40
(海里).
故选A.
分析:
首先由题意可得:
PA=40
海里,∠A=45°,∠B=30°,然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中,利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长,继而求得答案
9.小军从A地沿北偏西60°方向走10m到B地,再从B地向正南方向走20m到C地,此时小军离A地( )
A.5
mB.10mC.15mD.10
m
答案:
D
解析:
解答:
如图所示:
在Rt△ABD和Rt△CDA中,
∵AD=AB•sin60°=5
(m);
BD=AB•cos60°=5,
∴CD=15.
∴AC=
=10
(m).
故选:
D.
分析:
根据三角函数分别求AD,BD的长,从而得到CD的长.再利用勾股定理求AC的长即可
10.某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于P的北偏东30°方向,且相距50海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行
小时到达B处,那么tan∠BAP=( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解析:
解答:
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距50海里.
∴AP=50,
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行
小时到达B处,
∴∠APB=90°,BP=60×
=40,
∴tan∠BAP=
故选A.
分析:
根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角,利用正切的定义求值即可
11.在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到距离A点10千米的C地去,先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地,然后再从B地走了6千米到达目的地C,此时小霞在B地的( )
A.北偏东20°方向上B.北偏西20°方向上
C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上
答案:
B
解析:
解答:
如图,
∵AC=10千米,AB=8千米,BC=6千米,
∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC为直角三角形,即∠ABC=90°,
又∵B点在A的北偏东70°方向,
∴∠1=90°-70°=20°,
∴∠2=∠1=20°,
即C点在B的北偏西20°的方向上.
故选B.
分析:
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题:
在每点处画上东南西北,然后利用平行线的性质和解直角三角形求角.也考查了勾股定理的逆定理
12.海中有一个小岛A,它的周围a海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东75°方向上,航行12海里到达D点,这是测得小岛A在北偏东60°方向上.若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险,则a的最大值为( )
A.5B.6C.6
D.8
答案:
B
解析:
解答:
作AC⊥BD于点C.
∠ABD=90°-75°=15°,
∵∠ADC=90°-60°=30°,
∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°,
∴∠ABD=∠BAD,
∴BD=AD=12(海里),
在直角△ADC中,AC=
AD=
×12=6(海里).
故a的最大值是6海里.
分析:
渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险,则C到航线的距离就是a的最大值,作AC⊥BD,根据方向角的定义即可求得AD的长度,然后在直角△ACD中,求得AC的长
13.如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC=( )米.
A.250B.500C.250
D.500
答案:
C
解析:
解答:
∵∠PAB=90°-60°=30°,∠PBC=90°-30°=60°.
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB,
∴∠PAB=∠APB=30°.
∴PB=AB.
在直角△PBC中,PC=PB•sin60°=500×
=250
故选C.
分析:
容易判断△ABP是等腰三角形,AB=BP;在直角△BCP中,利用三角函数即可求得PC的长
14.温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击.一次,温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处(如图),以每小时10
千米的速度向东偏南30°的BC方向移动,并检测到台风中心在移动过程中,温州市A将受到影响,且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域.则影响温州市A的时间会持续多长?
( )
A.5B.6C.8D.10
答案:
D
解析:
解答:
过点A作AD⊥BC于D,由题意得AB=300,∠ABD=30°,
则AD=
AB=150(km),
设台风中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点则,
在Rt△ADE中,AE=200,AD=150,
则DE=
=50
从而可得:
EF=2DE=100
,
故A镇受台风严重影响的时间为
=10(h).
故选D.
分析:
首先过A作作AD⊥BC于D,求得AD的长;设台风中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点则,在直角三角形中,求得ED,DF的长,已知速度,则可以求得受影响的时间
15.如图,甲、乙两船同时从港口O出发,其中甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,已知两船的航行速度相同,如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处,那么点B位于点A的( )
A.南偏西40°B.南偏西30°C.南偏西20°D.南偏西10°
答案:
C
解析:
解答:
∵甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,两船的航行速度相同,
∴AO=BO,∠BOA=80°,∠OAD=30°
∴∠BAO=∠ABO=50°,
∴∠BAD=∠BAO-∠OAD=50°-30°=20°,
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上,
故选C.
分析:
由甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,得出∠BOA的度数,由两船的航行速度相同,得出AO=BO,得出∠BAO=50°,以及求出∠BAD的度数,得出点B位于点A的方向
二、填空题(共5题)
16.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为__________km
答案:
解析:
解答:
如图,过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4km,
∴AD=
OA=2km.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,
∴BD=AD=2km,
∴AB=
AD=2
km.
即该船航行的距离(即AB的长)为2
km.
故答案为2
km.
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
17.如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,且AM=100海里.那么该船继续航行__________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
答案:
解析:
解答:
如图,过M作东西方向的垂线,设垂足为N.
易知:
∠MAN=90°=30°.
在Rt△AMN中,∵∠ANM=90°,∠MAN=30°,AM=100海里,
∴AN=AM•cos∠MAN=100×
=
海里.
故该船继续航行
海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
故答案为
分析:
过M作东西方向的垂线,设垂足为N.由题易可得∠MAN=30°,在Rt△MAN中,根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可
18.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置.如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处,若以码头O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1千米为单位长度建立平面直角坐标系,则小岛A也可表示成____________
答案:
(7
,-7).
解析:
解答:
过点A作AC⊥x轴于C.
在直角△OAC中,∠AOC=90°-60°=30°,OA=14千米,
则AC=
OA=7千米,OC=7
千米.
因而小岛A所在位置的坐标是(7
,-7).
故答案为:
(7
,-7).
分析:
过点A作AC⊥x轴于C,根据已知可求得小岛A的坐标
19.如图,有A、B两艘船在大海中航行,B船在A船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°方向有另一艘船C,那么此时船C与船B的距离是_______海里.(结果保留根号)
答案:
20
解析:
解答:
过点B作BD⊥AC于D.
由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.
在Rt△ABD中,AD=BD=AB•sin∠BAD=20×
=10
(海里),
在Rt△BCD中,BC=BD
sin∠BCD
=
(海里),
故答案为20
海里.
分析:
首先过点B作BD⊥AC于D,由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=90°+15°=105°,则可求得∠ACB的度数,然后利用三角函数的知识求解即可求得答案
20.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东30°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,海警船到达事故船C处所需的时间大约为_________小时(用根号表示).
答案:
解析:
解答:
如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.
在Rt△ACD中,
∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=60海里,
∴CD=
AC=30海里.
在Rt△CBD中,
∵∠CDB=90°,∠CBD=90°-30°=60°,
∴BC=
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:
20
÷40=
(小时).
故答案为
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
三、解答题(共5题)
21.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)
答案:
解析:
解答:
如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.
在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=
BC=
×1000=500米;
在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=AB=1000米,
∴CF=
CD=500
米,
∴DA=BE+CF=(500+500
)米,
故拦截点D处到公路的距离是(500+500
)米.
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,锐角三角函数的定义,正确理解方向角的定义,进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
22.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.
(1)在图中画出点B,并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);
答案:
解答:
(1)如图,作PC⊥AB于C,
在Rt△PAC中,∵PA=100,∠PAC=53°,
∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80,
在Rt△PBC中,∵PC=80,∠PBC=∠BPC=45°,
∴PB=
PC=1.41×80≈113,
即B处与灯塔P的距离约为113海里;
(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.
(参考数据:
sin53°=0.80,cos53°=0.60,tan53°=0.33,
=1.41)
答案:
113海里
解析:
(2)∵∠CBP=45°,PB≈113海里,
∴灯塔P位于B处北偏西45°方向,且距离B处约113海里
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,直角三角形,锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线求出即可.
23.如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据:
≈1.732)
答案:
17
解析:
解答:
如图,过点C作CD⊥AB于点D,
AB=20×1=20(海里),
∵∠CAF=60°,∠CBE=30°,
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°-∠CAF=30°,
∴∠C=180°-∠CBA-∠CAB=30°,
∴∠C=∠CAB,
∴BC=BA=20(海里),
∠CBD=90°-∠CBE=60°,
∴CD=BC•sin∠CBD=20×
≈17(海里).
分析:
过点C作CD⊥AB于点D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度,利用锐角三角函数关系进行求解即可
24.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头,A在B的正东方向,一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处,此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号).
答案:
见解答
解析:
解答:
如图:
过P作PM⊥AB于M,
则∠PMB=∠PMA=90°,
∵∠PBM=90°-45°=45°,∠PAM=90°-60°=30°,AP=20海里,
∴PM=
AP=10海里,AM=cos30°AP=10
海里,
∴∠BPM=∠PBM=45°,
∴PM=BM=10海里,
∴AB=AM+BM=(10+10
)海里,
∴BP=PM
=10
海里,
即小船到B码头的距离是10
海里,A、B两个码头间的距离是(10+10
)海里.
分析:
过P作PM⊥AB于M,求出∠PBM=45°,∠PAM=30°,求出PM,即可求出BM、BP
25.如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
答案:
95
解析:
解答:
过点A作AD⊥BC于点D,设AD=xm.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,
∴BD=AD•tan30°=
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=45°,
∴CD=AD=x.
∵BD+CD=BC,
∴
+x=150,
∴x=75(3-
)≈95.
即A点到河岸BC的距离约为95m.
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解
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