资金时间价值及其等值计算.docx

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资金时间价值及其等值计算

第三章资金时间价值及其等值计算

3．1资金时间价值

资金时间价值（Thetimevalueofmoney）是指等额货币在不同时点上具有不同的价值；即资金在扩大再生产及其循环周转过程中，随着时间变化而产生的增值。

资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，它是社会劳动创造价值的能力的一种表现形式。

它表明一定的资金，在不同时点具有不同的价值，也即不同时间发生的等额资金在价值上的差别，就称为资金的时间价值。

需要指出的是，一般的货币并不会增值，资金的时间价值不是货币本身产生的，也不是时间产生的，而是在资金运动中产生的。

在商品经济条件下，资金是不断运动着的，资金的运动伴随着生产与交换的进行，生产与交换会给投资者带来利润，表现为资金的增值。

所以，只有当资金作为生产的基本要素，经过生产和流通的周转，才会产生增值。

如果把资金积压起来，锁在保险箱里，不投入运动，那么时间再长，也不会产生增值。

因为资金增值的实质是劳动者在生产过程中创造了新的价值。

利润和利息是资金时间价值的基本形式，它们都是社会资金增值的一部分，是社会剩余劳动在不同部门的再分配。

利润由生产和经营部门产生，利息是以信贷为媒介的资金使用权的报酬，它们都是资金在时间推移中的增值。

3．2利息和利率

资金的时间价值体现为资金运动所带来的利润（或利息），它是衡量资金时间价值的绝对尺度。

资金在单位时间内产生的增值（利润或利息）与投入的资金额（本金）之比，简称为“利率”或“收益率”，它是衡量资金时间价值的相对尺度，记作i。

i越大，表明资金增值越快。

一、单利和复利

利息的计算有单利计息和复利计息之分。

1．单利法

单利（Simpleinterest）仅以本金为基数计算利息，即不论年限有多长，每年均按原始本金计息，而已取得的利息不再计息。

设贷款额（本金）为P，贷款年利率为i，贷款年限为n，本金与利息和用F表示，则计算单利的公式推导过程如表3．1。

由表3．1可知，n年末本利和的单利计算公式为：

F=P（1＋in）（3．1）

表3．1单利法计算公式的推导过程

例3．1某人拟从证券市场购买一年前发行的三年期年利率为6％（单利）、到期一次还本付息、面额为100元的国债，若此人要求在余下的二年中获得5％的年利率（单利），问此人应该以多少的价格买入？

解：

设该人以P元买入此国债，则

P（1+5％×2）＝100（1+6％×3）

P=107．27万元

所以，此人若以不高于107．27元的价格买入此国债，能保证在余下的二年中获得5％以上的年利率。

单利法虽然考虑了资金的时间价值，但对以前已经产生的利息没有转入计息基数而累计计息，因此，单利法计算资金的时间价值是不完善的。

目前我国发行的国债采用的就是单利法计息。

2．复利法

复利（Compoundinterest）以本金与累计利息之和为基数计算利息，即“利滚利”。

复利计算的本利和公式为

F=P（1＋i）n（3．2）

式（3．2）的推导过程见表3．2。

例3．2某人以复利方式借款5000元，年利率为10％，则5年后应还款多少元？

解：

F5=P（1＋i）n＝5000（1+10％）5＝8055（元）

所以，该人5年后应还款8055元。

由于复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际状况，在技术经济分析中，一般采用复利计息。

我国商业银行的贷款是按复利计息的。

表3．2复利法计算公式的推导过程

二、名义利率和实际利率

在实际经济活动中，计息周期有年、半年、季、月、周、日等多种。

我们将计息周期实际发生的利率称为计息周期实际利率，计息周期的利率乘以每年计息周期数就得到名义利率（Nominalinterestrate）。

假如按月计算利息，月利率为1％，通常称为“年利率12％，每月计息一次”。

这个年利率12％称为“名义利率”。

按单利计息，名义利率与实际利率是一致的。

但是，按复利计算，上述“年利率12％，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，而是比12％略大的一个数。

不同计息周期情况下的实际利率的计算比较见表3．3。

设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r/m，一年后本利和为

F＝P（1+r/m）m

按利率定义得年实际利率（Effectiveinterestrate）i为

i＝

=（1+r/m）m－1（3．3）

当m=1时，名义利率等于实际利率；当m＞1时，实际利率大于名义利率。

当m→∞，即一年之中无限多次计息，称为连续复利计息，连续复利计息的实际利率

（3．4）

表3．3不同计息周期情况下的实际利率的计算比较

计息周期一年计息周期数（m）年名义利率（r）%期利率（r/m）%年实际利率（i）%

年112.00（已知）12.0012.000

半年212.00（已知）6.0012.360

季度412.00（已知）3.0012.551

月1212.00（已知）1.0012.683

周5212.00（已知）0.230812.736

日36512.00（已知）0.0328812.748

连续计息∞12.00（已知）→012.750

从表中可知，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高。

三、贴现率

贴现率（Discountrate）d是在一定时期内，期初取得的利息金额（或称贴现）与期末的投资金额之比。

设某人以贴现率d借款1单位，事实上原始本金为1－d，而利息金额（贴现）为d，而i作为利息（贴现）金额对本金的比值，这一定义可得出：

即d＝

（3．5）

上式表明贴现率是不等同于利率，即贴现率是1单位本金在一定时间内的利息（贴现）金额对它在期末投资金额之比，由（3．5）式可得：

i－d＝id（3．6）

上式可按字面来解释，某人可以借贷1，而期末归还l＋i，也可借贷1－d而期末归还1，表达式i－d是所付利息的差额，这种差额是因所借本金相差d而产生的，金额d依利率i在一时期末的利息就是id。

例3．3某人以年贴现率6％借10000元，为期3年，如银行按单利预收6％的利率，则此人得：

10000［1－（0．06）（3）］＝8200元

在3年后此人还银行10000元，这显然不同于向银行借款10000元，3年后归还本利和10000（1＋0．06）3＝11910．16元

上例如以复利计算贴现，则该人从银行可得：

10000（1－0．06）3＝8305．84元

3．3现金流量图和资金等值计算

一、资金等值的概念

资金等值（Economicequivalence）是指在考虑资金时间价值因素后，不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下具有相等的价值。

例如现在的100元与一年后的112元，其数额并不相等，但如果年利率为12％，则两者是等值的。

因为现在的100元，在12％利率下，一年后的本金与资金时间价值两者之和为112元。

同样，一年后的112元在年利率为12％的情况下等值于现在的100元。

不同时点上数额不等的资金如果等值，则它们在任何相同时点上的数额必然相等。

影响资金等值的因素有三个，即资金额大小、资金发生的时间和利率，它们构成资金等值的三要素。

利用等值概念，将一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。

进行资金等值换算还需建立以下几个概念：

（1）贴现（Discount）与贴现率。

把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为贴现或折现。

贴现时所用的利率称贴现率或折现率。

（2）现值（Presentvalue;currentvalue）。

现值是指资金“现在”的价值。

需要说明的是，“现值”是一个相对的概念，一般地说，将t＋k时点上发生的资金折现到第t个时点，所得的等值金额就是第t＋k个时点上资金金额在t时点的现值。

现值用符号P表示。

（3）终值（Futurevalue（worth））。

终值是现值在未来时点上的等值资金，用符号F表示。

（4）等年值（Annualvalue）。

等年值是指分期等额收支的资金值，用符号A表示。

二、现金流量与现金流量图

由于资金时间价值的存在，使不同时间上发生的货币无法直接加以比较。

一定量的资金必须赋予相应的时间，才能表达其确切的量的概念。

为了便于对项目进行经济评价和对方案进行比较，反映项目和各技术方案费用、效益的大小及相应发生的时间，需要用一个平面坐标系来反映项目经济活动的全过程。

现金流量图就是一种有效工具。

1．现金流量

现金流量（Cashflow）是指某一系统（如某投资项目或方案），在某一定时期内（如一年），向该系统流入或由该系统流出的金额。

为此，它的具体内容应包括现金流入（Cashinflow）及现金流出（Cashoutflow）两部分。

同一时期内，系统的现金流入与现金流出之差称为净现金流量（Netcashflow）。

净现金流量以“正”、“负”数值表示，“正”值表示流入大于流出，“负”值则表示流入小于流出。

以投资项目的经济评价来说，系统就是指项目，在评价时要对其计算期限从建设期、生产期直到寿命终了的各年经济流量进行分析。

投资（包括固定资产投资和流动资金投资）、成本（经营成本）、税金等，均应属于从项目系统流出的金额，故应算作不同年内的现金流出；而销售收入、期末时固定资产残值回收、流动资金回收等，是项目在不同年内所得的收益，故应列为不同年的现金流入。

将每一年现金流入与现金流出相抵即得项目在该年的净现金流量。

将每年现金流量加以累计，则可得累计净现金流量，从而获得项目某种意义上的经济效果值。

为了形象、直观地表达某个项目上述计算期内的现金流量，可以采用现金流量图。

2．现金流量图

现金流量图（cashflowdiagram）是某一系统在一定时期内各个时间现金流量的直观图示方法。

应用现金流量图可以形象地将该系统不同时间点的收益与费用清楚地表达出来。

现金流量图的画法如图3．1所示。

图2．6现金流量图

（1）先作一水平线为时间坐标（横坐标），按单位时间分段（等分），自左向右为时间的递增，表示时间的历程。

时间一般以年为单位，用0，1，2，3，…，n表示。

在分段点所定的时间通常表示该时点末（一般表示为年末），同时也表示为下一个时点初（下一年的年初），如图2．6中，时点1表示第1年的年末或第2年的年初。

（2）垂直线表示时点上系统所发生的现金流量，即实际收益或费用的情况，其中箭头向下表示现金流出（费用），向上则表示现金流入（收益），线段的长度代表发生的金额大小，按比例画出。

（3）利率标注于水平线上方。

为计算方便，常将上述现金流入与现金流出所发生的具体时间定在期初（年初）或期末（年末）。

例如将项目投资定在年初发生，而将逐年所发生的经营成本（费用）、销售收入（收益）均定在年末发生。

例3．4设有某项贷款为5000元，偿还期为5年，年利率为10％，偿还方式有两种：

一是到期本利一次偿还；二是每年付息，到期一次还本。

现仅就这笔借贷资金作现金流量图。

图3．2贷款者的现金流量图

解：

从贷款者角度，该系统现金流量图，接照不同偿还方式分别如图3．2（a）、（b）所示。

若从借款者角度，则系统的现金流量图中的流入、流出方向应相反，如图3．3（a）和（b）所示。

图3．3借款者的现金流量图

图3．4一次支付现金流量图

三、资金等值计算公式

在技术经济分析中，为了考察投资项目的经济效果，必须对项目寿命期内不同时间发生的全部费用和全部收益进行计算和分析。

在考虑资金时间价值的情况下，不同时间发生的收入或支出，其数值不能直接相加或相减，只能通过资金

等值计算将它们换算到同一时间点上进行分析。

资金等值计算公式和复利计算公式的形式是相同的。

1．一次支付类型

一次支付又称整付（Singlepayments），是指所分析系统的现金流量，无论是流入还是流出，均在一个时点上一次发生。

其典型现金流量图如图3．4所示。

对于所考虑的系统来说，如果在考虑资金时间价值的条件下，现金流入恰恰能补偿现金流出，则F与P就是等值的。

一次支付的等值计算公式有两个：

（1）一次支付终值公式

如果现在存入银行P元，年利率为i，n年后本利和为多少？

（图3．4）

计算公式：

F＝P（1＋i）n（3．7）

系数（1＋i）n称为一次支付终值系数，也可用符号（F／P，i，n）表示，所以公式（3．7）又可写成：

F＝P（F／P，i，n）

（F／P，i，n）可由附表查出。

（2）一次支付现值公式

已知n年后一笔资金F，在利率i下，相当于现在多少钱？

计算公式：

P＝F（1+i）

（3．8）

这是一次支付终值公式的逆运算。

系数（1+i）

记为（P／F，i，n）,

（P／F，i，n）的值可查附表。

例3．5某人计划30年后从银行提取1万元，如果银行利率为12%，现在应存入银行多少钱？

解：

P＝F（1+i）

＝（1+12%）－30＝0．0334（万元）

所以，该人现在需存款334元。

这也就意味着在利率12％时，30年后的10000元相当于现在的334元。

2．等额分付类型

图3．5等额分付现金流（之一）

等额分付（Uniformseriespayments）是多次支付形式中的一种。

多次支付是指现金流入和流出在多个时点上发生，而不是集中在某个时点上。

现金流数额的大小可以是不等的，也可以是相等的。

当现金流序列是连续的，且数额相等，则称之为等额系列现

金流。

下面介绍等额系列现金流的四个等值

计算公式。

（1）等额分付终值公式

如果某人每年末存入资金A元，年利率为i，n年后资金的本利和为多少？

现金流量如3．5所示。

由图3．5可看出，第n年末资金的终值总额F等于各年存入资金A的终值总和，即

F＝A（1＋i）n－1+A（1＋i）n－2+…+A（1+i）+A

式中［1+（1+i）十（1+i）2+…+（1+i）n—1］为一等比级数，其公比为（1+i），根据等比级数求和公式，它等于

，因此

（3．9）

式（3．9）中，

称为等额分付终值系数，用（F／A，i，n）表示，其值可由附表查出。

例3．6某人从30岁起每年末向银行存入8000元，连续10年，若银行年利率为8％，问10年后共有多少本利和？

解：

直接应用公式（3．9），计算可得

＝8000

＝115892（元）

10年后共有115892元。

（2）等额分付偿债基金公式

等额分付偿债基金公式是等额分付终值公式的逆运算，即已知终值F，求与之等价的等额年值A。

由式（2．33）可直接导出

（3．10）

式中系数

称为等额分付偿债基金系数，用符号（A／F，i，n）表示，其值可查附表。

偿债基金的含义是：

希望在未来某一时刻需要一笔资金F用于偿债，从现在起每年年末应存一等额款项A作为偿债基金。

例3．7某厂欲积累一笔设备更新基金，用于4年后更新设备。

此项投资总额为500万元，银行利率12％，问每年末至少要存款多少？

解：

由式（3．10）可得

＝500

＝104．62（万元）

所以，每年年末至少要存款104．62万元。

（3）等额分付现值公式

图3．6等额分付现金流（之二）

如图3．6所示，从第1年末到第n年末有一个等额的现金流序列，每年的金额均为A，这一等额年金序列在利率为i的条件下，其现值是多少？

依图3．6，可把等额序列视为n个一次支付的组合，利用一次支付现值公式推导等额分付现值公式：

…

这是公比为（1+i）－1的等比级数和，利用级数求和公式得

P＝A

（3．11）

上式即为等额分付现值公式，

记为（P／A，i，n），（P／A，i，n）的值可查附表。

例3．8某设备经济寿命为8年，预计年净收益20万元，残值为0，若投资者要求的收益率为20％，问投资者最多愿意出多少的价格购买该设备？

解：

这一问题等同于在银行的利率为20％条件下，若存款者连续8年每年从银行取出20万元，则现在应存入银行多少钱？

P＝A

＝20

＝76．74（万元）

所以，投资者最多愿意出76．74万元。

（4）等额分付资金回收公式

银行现提供贷款P元，年利率为i，要求在n年内等额分期回收全部贷款，问每年末应回收多少资金？

这是已知现值P求年金A的问题。

根据等额分付现值公式可得

（3．12）

可记为（A／P，i，n），（A／P，i，n）的值可查附表。

例3．9某投资项目贷款200万元，银行4年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为10％，那么项目每年的净收益不应少于多少万元？

解：

根据资金回收公式得

＝200

63．09（万元）

所以，项目每年净收益至少应为63．09万元。

四、资金等值计算公式的应用

资金时间价值原理和等值计算公式广泛应用于财务管理、投资决策、资产估价等领域。

为了查阅方便，现将资金等值计算公式列于表3．4，并通过下面的几个例题使读者对资金时间价值和资金等值计算的公式有更进一步的理解。

表3．46个常用资金等值公式

类别

已知

求

现金流量图

计算公式

复利系数

名称与符号

一

次

支

付

终值

P

F

一次支付终值系数

现值

F

P

一次支付现值系数

等

额

分

付

终值

A

F

等额分付终值系数

偿债基金

F

A

等额分付

偿债基金系数

现值

A

P

等额分付现值系数

资本回收

P

A

等额分付资本

回收系数

例3．10某投资者5年前以200万元价格买入一房产，在过去的5年内每年获得年净现金收益25万元，现在该房产能以250万元出售。

若投资者要求的年收益率为20％，问此项投资是否合算？

解：

判断该项投资合算的标准是有没有达到20%的年收益率。

方法一：

按20％的年收益率，投资200万元应该获得

F1＝200（F／P，20％，5）＝498（万元）

而实际收益

F2＝25（F／A，20％，5）＋250＝436（万元）

F2＜F1，则此项投资没有达20％的收益率，故不合算。

方法二：

将收益折算成现值

P2＝25（P／A，20％，5）

十250（P／F，20％，5）

＝175．25（万元）

表明若按20％的收益率，获得这样收益的投资额只需投资175．25万元，而实际投资200万元，因此图3．7

是不合算的。

例3．11某工程项目贷款10000万元，在5年内必须还清，已知年利率i＝6％，现可以采用以下四种不同方式归还：

方案I：

在每年年底只还利息，到第5年末连本带利一齐还清。

方案Ⅱ：

每年还本金200万元，再还当年应计的利息。

方案Ⅲ：

将本金加上5年的利息总和，等额分摊到各年年末归还。

方案Ⅳ：

在第5年末，本利和一次还清。

试评价上述4种还款方案的优劣性。

表3．5各方案各年归还贷款的金额

解：

将各年归还贷款的金额列于表3．5中，由表合计项中可看出，方案Ⅱ还款数最少，似乎方案Ⅱ较优，但其实不然。

考虑到资金的时间价值，上述四个方案的各年偿还金额不能简单地相加，而应采用动态相加处理。

其结果是，上述四个归还方案是等值的。

若双方认为i＝6％合适，那么四个方案中任一种归还方案皆可。

若银行认为i＝6％偏低，则会要求以第Ⅱ种方式还款，而借贷人则希望以笫Ⅳ种方式归还贷款。

例3．12某工程项目计划3年完成，3年中每年年初分别贷款100万元，年利率8%，若建成后分三年等额偿还全部投资额，每年应偿还多少?

解1：

先画现金流量图如图3．8。

A1=100

456

|

0123

A2=?

图3．8

折算到“3”时点的贷款额应等于折算到“3”时点的还款额。

A1（F／P，8%，3）＋A1（F／P，8%，2）＋A1（F／P，8%，1）

＝A2（P／A，8%，3）

解得A2＝1360．5（万元）

解2：

A1（1＋8%）×（F／A，8%，3）＝A2（P／A，8%，3）

解得A2＝1360．5（万元）

误区：

A1（F／A，8%，3）＝A2（P／A，8%，3）

例2．13某人贷款10000元，年利率为10%，分5年于每年末等额偿还完全部贷款，则每年应偿还利息与本金各多少？

解：

画现金流量图如图3．9。

10000

12345

0

A=?

图3．9

A＝10000（A／P，10%，5）＝2638（元）

每年应偿还利息与本金列于表3．6。

表3．6每年应偿还利息与本金单位：

元

年份

年初欠款额

本年利息

年末欠款额

年末偿还额

余额

已还本金

1

10000

1000

11000

2638

8362

1638

2

8362

836

9198

2638

6560

1802

3

6560

656

7216

2638

4578

1982

4

4578

458

5036

2638

2390

2180

5

2398

240

2638

2638

0

2398

合计

3190

13190

10000

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦