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考研数三真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题
(1)设生产函数为Q二AL:
K:
其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而
A,a,B均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为
(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年
(4)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不
等式p{x-Y>6}<
2
⑸设总体X服从正态分布N(0,0.2),而X1,X2,11(X15是来自总体X勺简单随机样本,则随
机变量Y
=X1「川+X1:
服从___分布,参数为
2Xu川X15
二、选择题
f'(x)
(1)设函数f(X)的导数在x=a处连续,又lim1,则()
—x—a
(A)x=a是f(x)的极小值点.
(B)x=a是f(x)的极大值点.
(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
12
(x21),0ExE1
xQ
⑵设函数g(x)f(u)du,其中f(x)=2,则g(x)在区间(0,2)内
£(x_1),1乞x乞2
()
(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续
-
a11ai2a13a14
1
a14a13a12a11
[
0001]
a21a22a23a24
a24a23a22a21
0100
⑶设A=
B=
P=
a31a32a33a34
a34a33a32a31
0010
-
a41a42a43a44
11
a44a43a42a41
1l
1000一
j
000]
00104
P2=,其中A可逆,则B」等于()
0100
卫001一
(A)A」RF2(B)RA」F2(C)RF2A」(D)F2A」R.
⑷设A是n阶矩阵,a是n维列向量.若秩’A=秩(舛,则线性方程组()
匕0丿
‘Aa、
*
X0」
(A
(C)T
aYX)
=0仅有零解
°A.y丿
⑸将一枚硬币重复掷n次,以冷廿丫分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和口丫的相关
系数等于()
1
(A)-1(B)0(C)-(D)1
2
三、(本题满分5分)
又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定
设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数exy-xy=2和ex二型dt,求也0tdx
四、(本题满分6分)
x+c
已知f(x)在(-X,+X)内可导,且limf'(x)=elim()^lim[f(x)-f(x—1)],求c
*xcr
的值.
五、(本题满分6分)
^(x2为2)
求二重积分11y[1xe2]dxdy的值,其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面
D
区域
六、(本题满分7分)
已知抛物线y=px2qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切,且此抛物线与
x轴所围成的平面图形的面积为S.
(1)问p和q为何值时,S达到最大?
(2)求出此最大值.
七、(本题满分6分)
设f(X)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f
(1)=kjxeHf(x)dx,(k.1).证明:
存在E€(0,1),使得f「)=2(1-V)f「).
八、(本题满分7分)
已知fn(x)满足fn(x)=fn(x)•Xn」ex(n为正整数)且fn(1^-,求函数项级数
n
'、■fn(x)之和•
i4
九、(本题满分9分)
_11_11
设矩阵a=1a1,B=1.已知线性方程组AX=B有解但不唯一,试求:
'a1
(1)a的值;
(2)正交矩阵Q,使QtAQ为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aj是A=Qj中元素aij的代数余子式(i,j
n:
:
n
nna
=1,2,…,n),二次型f(X1,X2」|lxn)XiXj.
i=1j=1A
nnA
(1)记A=(为也,|1区),把f(x1,x2^|xn)丄KXj.写成矩阵形式,并证明二
i3j#A
次型f(X)的矩阵为A4;
⑵二次型g(X)二XTAX与f(X)的规范形是否相同?
说明理由
十一、(本题满分8分)
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(①
(2)=0.977,其中①(X)是标准正态分布函
数).
十二、(本题满分8分)
设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1 布,试求随机变量U={X-Y}的概率密度p(u). 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题 (1)【答案】-- 【使用概念】设y二fx在x处可导,且fx-0,则函数y关于x的弹性在x处的值为 【详解】由Q二AL: K: ,当Q=1时,即AL: K■",有K于是K关于L的弹 性为: ⑵【答案】1.2WG2 【详解】Wt表示第t年的工资总额,则WtJ表示第t-1年的工资总额,再根据每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万,所以由差分的定义可得Wt满足的差分方程 是: Wt=(120)Wt42=1.2W^2 (3)【答案】-3 【详解】 方法1: 由初等变换(既可作初等行变换,也可作初等列变换).不改变矩阵的秩,故对A进 行初等变换 1 k 1 1 1- -k k一1 0 0 A= 1行汉(_1)分别加到234行1 1 1 k 1 1- -k 0 k—1 0 - 1 1 1 k_ 11 1- -k 0 0 k—1一 11 -k k 1 1 1 1 1 可知,此时r(A)=1 1 1 1 1 1行X(_1)分别加至H234行 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 J 1 1 1一 0 0 0 0一 =1时, 11 1 1 1 1 A= 不符合题意,因此一定有k=-3. 解得k=1或k=-3.当k 11 1 ⑷【答案】丄 12 【所用概念性质】切比雪夫不等式为: P^X—E(X)兰汀兰 S- 期望和方差的性质: E(XYHEXEY;D(XY^DX2cov(X,Y)DY 【详解】把XY看成是一个新的随机变量,则需要求出其期望和方差 故E(XY)=EXEY=-22=0 cov(X,Y)二■(X,Y^.DX「DY=(-0.5),4--1 D(XY)=DX2cov(X,Y)DY=12(-1)4=3 所以由切比雪夫不等式: P{X+"6}=P{X+Y—E(X+Y)|泅兰昭嗨諾 ⑸【答案】F;(10,5) 【所用概念】1.F分布的定义: F=J其中X~2g)Y~2(n2) 2.2分布的定义: 若Zjll],Zn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则 n Zi2~2(n) i4 Z-u 3.正态分布标准化的定义: 若Z~N(u^2),则——-~N(0,1)? a 【详解】因为Xi X—0X LN(0,22)i=1,2,…,15,将其标准化有;才LN(0,1),从而根 据卡方分布的定义 二、选择题 (1)【答案】[B] 【详解】 方法1: 由limf-(^--1,知 xtx-a f'(x)f'(x) limf'(x)=limx-a=limlimx-a--10=0 xt—x_ax_ax_aJa 又函数f(x)的导数在X二a处连续,根据函数在某点连续的定义,左极限等于右 极限等于函数在这一点的值,所以f(a)二0,于是有 f"(a)=limf'(x)—f'(a)=lim3_1 tx—axTx—a f(x)在x处 即f(a)=0,f心)=-1: : : 0,根据判定极值的第二充分条件: 设函数 具有二阶导数且f(X。 )=0,f“(x°)=0,当厂(x。 ): : : 0时,函数f(x)在x。 处取得极大值.知x=a是f(x)的极大值点,因此,正确选项为(B). 方法2: 由limL0=-1,及极限保号性定理: 如果limfx二A,且A0(或A: : : 0),X)ax_aX_;x 那么存在常数6>0,使得当Ov|x—x0时,有f(x)〉0(或f(x)<0),知存在 f'(x) x=a的去心邻域,在此去心邻域内0.于是推知,在此去心邻域内当x: : : a时 x—a f(x)0;当xa时f(x): : 0.又由条件知f(x)在x=a处连续,由判定极值的第 一充分条件: 设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心: 领域内可导,若 x三[x0-: ,x0时,f(x)•0,而x-ix0,x^心]时,f(x)<0,则f(x)在x0处取 得极大值,知f(a)为f(x)的极大值.因此,选(B). ⑵【答案】(D) 【详解】应先写出g(x)的表达式. 12 当0^x: : 1时,f(x)(x21),有 xx12 g(x)=0fudu=0尹1)du 1 当1空x^2时,f(x)(x-1),有 3 1 g(x)=of(u)duf(u)du亠if(u)du二 13 u x131 0一6%2x, 0'■ 112 0u 06 i x1 一一u 13 112x1 。 於u21)du二⑴刈灿 x21- 126x「 1x3.\, /、62 g(x)=212 [3W 【详解】由所给矩阵代B观察,将A的2,3列互换,再将 初等矩阵变换的性质,知将A的2,3列互换相当于在矩阵 互换相当于在矩阵A的右侧乘以E14,即 1000 0010 AE23E14=B,其中E23=,E14 0100 0001 -,limg(x)=limJ2+」(x-1)2 3x>1x136 g⑴二冷-1)2 所以由函数连续的定义,知g(x)在点x=1处连续,所以g(x)在区间[0,2]内连续,选(D). 『11^11 同样,可以验证(A)、(B)不正确,0: : : x: ;1时,g(x)x3xx20,单 162丿22 调增,所以(B)递减错;同理可以验证当1: : : x: : : 2时,g(x)=2」x-121x-10, (36丿3 5 单调增,所以g0 ⑶【答案】(C) A的1,4列互换,可得B.根据 A的右侧乘以E23,将A的1,4列 0001 _0100 0010 J000一 由题设条件知=E14,=E23,因此B=AF2R. 由于对初等矩阵Ej有,E: 二Ej,故二R’FT1二 因此,由B=AP2R,及逆矩阵的运算规律,有 B°=(AF2R=PP2A/. ⑷【答案】(D) 广Aa、 =秩(A)兰nwn+1,即系数矩阵 fAaA n+1阶矩阵,显然有秩 T T 00丿 00丿 非列满秩, 由齐次线性方程组有非零解的充要条件: 系数矩阵非列或行满秩,可知齐次线性方程组 【详解】由题设,A是n阶矩阵,「是n维列向量,即: 」是一维行向量,可知 'Aa、 rX、 B°」 =0必有非零解. Aa、 «T0丿 ⑸【答案】A 【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以X・Y=n,从而Y=n-X, 故DY=D(n-X)=DX 由方差的定义: dx=ex2-(ex)2,所以 DY=D(n-X)=E(n-X)2-I.E(n-X)f=E(n2-2nXX2)-(n-EX)2 =n2-2nEXEX2-n22nEX-(EX)2=EX2-(EX)2=DX) 由协方差的性质: cov(X,c)=0(c为常数);cov(aX,bY)=abcov(X,Y) cov(X1X2,Y)二cov(Xj,Y)cov(X2,Y)) 所以cov(X,Y)=cov(X,n-X)=cov(X,n)-cov(X,X)=0-DX--DX 由相关系数的定义,得P(XY)=罗匕/)-=.=-1 1JdxJdyJdxJdx f(X) 三【变限积分求导公式】[g(t)dt]x二g[f(x)]f(x) a 【详解】 根据复合函数求导公式,有 (*) du汗汗[dy.fdZdx: x;: ydx;: z_dx 在exy-xy=2两边分别对x求导,得 exy(yxdy^(yxdy^0,dxdx 即dy.-y, dxx xzsint 在e—一〒dt两边分别对x求导,得 ―空),即dz^_e^-z). dxdxsin(x—z) 将其代入(*)式,得 1 四【详解】因为|im(1•丄)x=e X;: x lim(x_)x=lim(——C—)x(把xc写成x-c2c) x;: x-cx_x-c x_c2cx =|im(x-c・2C)在辽(把x写成第.矣) 2c鼻 =lim (1)2c x—x-c =lime X—]: ln(l4Z±)五 1〜」 (利用对数性质elnf(x)=f(x)) 竺In(iH^^I x_cI '」(利用对数性质lnf(x)g(x) ..2cx.IL limln1 ^Cx-c 二e- X-c x_c_| (利用y二ex函数的连续性, f(x)limf(x) limef()=ex") xj: 亠xc 2c- )2c x-c 2cxI,2c limlimIn (1) x亦cx: 仁x-c 二e- (当各部分极限均存在时, xmf(x)g(x)pm: f(x)xmg(x)) ..2cxI..2c limlnlim(1——) -cx~f| 二e x_c_I 2c、17 (利用y=lnx函数的连续性, x-c JimJlnf(x)]=ln[limf(x)]) 二e2clne(利用lim_(1」)x二e) 二e2c(Ine=1) 又因为f(x)在-: : ,•: : 内可导,故在闭区间[x-1,x]上连续,在开区间(x-1,x)内 可导,那么又由拉格朗日中值定理,有 f(X)-f(X-1)=f()[X—(X-1)]=f(),X—1: : : : : : X 左右两边同时求极限,于是 lim[f(x)-f(x-1)]=limf'()=e, X厂X[: 因为X: : : X,X趋于无穷大时,也趋向于无穷大 由题意,|im(U)X=|im[f(X)-f(X-1)],从而e2c=e,故J x—「’x「cj: 2 五【详解】积分区域如图所示,可以写成 ](x2dy2)-(x^y2) Ily[1xe2]dxdy二ydxdy亠iixye2dxdy, DDD 11 其中,ydxdy1dyyydx D 1 」y(1-y)dy 1(X2为2) 11xye2dxdy- D 1 」ydyyxe 1{(x2y2) dx 1: =.」ydy.ye2 12.2 1(xy) d(+x2) 2 1. 二Jdyye2 1i(x2y2) 122 d[-(xy)] 1! (1y2) 2 2 -ey)dy 1打) -e/)dy2 11: (1y2)2 1亠2dy2 1eyly2 ■-1 1"22 -0 11(1-y2)1 e2d[1(1y)] 1(x^y2)2 y[1xe2]dxdy= D3 六【详解】方法1: 依题意知,抛物线如图所示, 令y=px2•qx=x(px•q)=0,求得它与x轴交点的横坐标为: x^0,x^-—. P jxndx=^^xn++C) 'n+1 根据定积分的定义,面积S为 S二o_ppx2qxdx二gx3^x2 「X+y=5 (2+ y=pxqx 求其公共解,消去y,得px2(q•1)x-5=0,因为其公共解唯一,则该一元二次方 程只有唯一解,故其判别式必为零,即 ■: =(q1)2-4p(-5)=(q1)220p=0, 将p代入s中,得 根据函数除法的求导公式, (200q〉[3(q1)4]—[3(q1)4](200q3) [3(q+1)4]2 根据驻点的定义,令S(q)=0,已知有q•0,得唯一驻点q=3. 当1 件知,q=3时,S(q)取唯一极大值,即最大值 225 从而最大值为S=S(3)= 32 方法2: 设抛物线y=px2qx与直线xy=5相切的切点坐标为(x0,y0),切点既在抛物 线上,也在直线上,于是满足方程有y0二px2qx0和x0•y0=5. 抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的,即一阶导数值相等•在y二px2・qx 左右两边关于x求导,得y=2px・q,在x・y=5左右两边关于x求导,得y=一1, 把切点坐标(Xo,y°)代入,得 q1 =2px0■q-_1=x0: 2小 二px°qx°得 =p(一字)2q(一字) 2p2p 2p 由x°•y°=5=y°=5-x°,将两结果代入y q+12 y°=5-x°=5-()=px°qx° 2p 整理得 12 p「20(qD2 将p代入S中,得 200q3 S(q)F. 根据函数除法的求导公式, 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义,令S(q)=0,已知有q•0,得唯一 驻点q=3.当「: : q<3时,S(q)0;q3时,S(q): : : 0;故根据极值判定的第一充 分条件知,q=3时,S(q)取唯一极大值,即最大值. 225 从而最大值为Sv®二忑 X—1(x)=f(x)f(x) X 问题转化为证在区间(0,1)内(x)存在零点•将 X_1f(x)f(x)=0 x 看成一个微分方程,用分离变量法求解•由 两边积分得 d/ydx.dddxf(x)xx Cex "x^ Inf(x)=x—Inx+GnInf(x)=Inxe»f(x)二C,命F(x)二xe»f(x).由 1 f (1)=kJ"xe1»f(x)dx,(k1) [a,b]上至少存在 及积分中值定理(如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间 b1 个点,使得f(x)dx二f()(b-a)(a^乞b)),知至少存在一点‘一-(0-)[0,1], ak 使 1 f (1)=kpkxe1"f(x)dx=』一f() 且F()=e—f(),F (1)=e'f (1).把f (1)=e^f()代入,贝U F (1)re,f (1)e1—f()「€一仁)=F() 那么F(x)在[,1]上连续,在(,1)内可导,由罗尔中值定理知,至少存在一点■(,1)[0,1], 使得 F()=yf()•e「f()=0 即f()二(1-,)f()• 八【详解】由已知条件可见fn(X)-fn(x^xn4ex,这是以fn(x)为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程,其中p(x)--1,q(x^xn^ex,代入通解公式 ..P(x)dx f(x)二e(q(x)e p(x)dx dx+C) 得其通解为 idx fn(x)=e IxnJex^ddxC rn、 xc —+c,丿 由条件fn (1),又fn (1)=eC,得C=0,故fn(x)= COQO 'fn(x)八 n=1n=1 : -n x 记S(x),则a nmn an* 1 佃亠辺“,则其收敛半径为只=丄=1, I: 1: n 收敛区间为(-1,1).当X(-1,1)时, 根据幕级数的性质,可以逐项求导, foOxn、z- oO /n、 x In二nj n=1 S(x)= 边11 =、'xnA一,其中=1xx^xnIII n£1_x1_x 故根据函数积分和求导的关系 f(x)dx=f(x)+C,得j0S'(x)dx=S(x)0=S(x)—S(0) 又由于S(0)八「0000,所以 n吕n12 当x二-1时, od z (-1)n =—In2・ 级数在此点处收敛,而右边函数连续,因此成立的 范围可扩大到X=-1处,即 : : xn In(1-x),x[T,1) n吐n QO
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