历年数列高考题与答案.docx
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历年数列高考题与答案
1.
(福建卷)已知等差数列
{an}中,a7
a9
16,a4
1,则a12的值是(
)
A.15
B.30
C.31
D.64
a1
0,an1
an
3(nN*)
,则a20=(
2.
(湖南卷)已知数列{an}满足
3an
1
)
3
A.0
B.
3
C.3
D.2
3.
(江苏卷)
在各项都为正数的等比数列{
an}中,首项a1
=3,前三项和为
21,则a3+a4+a5=()
(A)33
(B)72
(C)
84
(D)189
4.
(全国卷II
)
如果数列
an是等差数列,则()
(A)a1a8
a4a5
(B)
a1a8
a4
a5
(C)a1
a8
a4
a5
(D)
a1a8
a4a5
5.
(全国卷II
)11如果a1,a2,
a8为各项都大于零的等差数列,公差
d0,则(
)
(A)a1a8
a4a5
(B)
a1a8
a4a5
(C)a1
a8
a4
a5
(D)
a1a8
a4a5
6.
(山东卷)
an是首项a1=1,公差为d=3的等差数列,如果
an=2005,则序号n等于()
(A)667
(B)668
(C)669
(D)670
7.(重庆卷)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个
顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是()
(A)4;
(B)
5;
(C)6;
(D)7。
8.
(湖北卷)设等比数列
{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为
.
8
27
9.
(全国卷II)在3
和2
之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为
______
10.
(上海)12、用n个不同的实数a1,a2,
an可得到n!
个不同的排列,每个排列为一行写成一个
n!
行的数阵。
对第i行ai1,ai2,,ain,记bi
ai12ai2
3ai3
(
1)nnain
,i
1,2,3,
n!
。
例如:
用1,2,3可得数阵
如图,由于此数阵中每一列各数之和都是
12,所以,b1
b2
b6
12
2123
12
24,那么,在
用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1
b2
b120=_______。
11.
(天津卷)在数列
{an}中,
a1=1,
a2=2,且an2
an
1
(1)n
(n
N),
则S100=___.
1an
n为偶数
2
1
an1
1
1
n为奇数
bn
an
a2n1
n
1
=a≠
4
,且
4
记
4
,n==l,2
,3,⋯·.
12.(北京卷)设数列{a}的首项a
(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(III
lim(b1b2b3
bn)
)求n
.
13.(北京卷)数列{
n}的前
an1
1Sn
n
项和为
n,且
1=1,
3,=1,2,3,⋯⋯,求
a
S
a
n
(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;
(II)a2a4a6a2n的值.
14.(福建卷)已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明
理由.
1
15.(福建卷)已知数列
{a}满足a1=a,an+1=1+
an
我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当
a=1时,得
n
1,2,3
5
;当a
1时,得到有穷数列:
1,1,0.
到无穷数列:
2
3
2
2
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;
1
)
(nN
(Ⅱ)设数列{b
}满足b=-1,b=
bn1
,求证a取数列{b
}中的任一个数,都可以得到一个有穷
n
1
n+1
n
数列{an};
3
2(n
4)
an
(Ⅲ)若2
,求a的取值范围.
16.(湖北卷)设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1b1,b2(a2a1)b1.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
cn
an
bn,求数列
{cn}的前n项和Tn.
(Ⅱ)设
17.(湖南卷)已知数列{log2(an1)}nN*)为等差数列,且a13,a39.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
1
1
1
(Ⅱ)证明a2a1
1.
a3a2
an1an
18.(江苏卷)设数列{an}的前项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB,
n1,2,3,,其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式5amnaman1对任何正整数m、n都成立.
a1
1
10
10
19.(全国卷Ⅰ)
2,前n项和为Sn,且2
S30
(2
1)S20
S10
0。
设正项等比数列
an的首项
(Ⅰ)求an的通项;
(Ⅱ)求nSn的前n项和Tn。
20.(全国卷Ⅰ)设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n1,2,)。
(Ⅰ)求q的取值范围;
(Ⅱ)设bn
an2
3
an1
,记bn的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小。
2
1
an是各项为不同的正数的等差数列,
bn
21.
(全国卷II)
已知
lga1、lga2、lga4成等差数列.又
a2n,
n
1,2,3,.
(Ⅰ)证明bn为等比数列;
7
(Ⅱ)如果数列bn前3项的和等于24,求数列an的首项a1和公差d.
数列(高考题)答案
1-7ABCBBCC
8.(湖北卷)-29.(全国卷II)21610.(上海)-108011.(天津卷)2600
11111
12.(北京卷)解:
(I)a2=a1+4=a+4,a3=2a2=2a+8;
1
1
3
1
1
3
(II)∵
4=
3+
4
=
2
+
8
所以
a
5
2
a
4=
4
a
+
16
=
aa
a
1
1
1
1
1
1
1
1
所以b1=a1-4=a-4,
b2=a3-4=2(a-4),
b3=a5-4=4(a-4),
1
猜想:
{bn}是公比为2的等比数列·
1
1
1
1
1
1
证明如下:
因为bn+1=a2n+1-4
=2a2n-4
=2
(a2n-1-4)=2bn,(n∈N*)
1
1
所以{
n}是首项为
-4
公比为2的等比数列·
b
a
b1(1
1n)
b1
1
lim(b1
b2
bn)
lim
2
2(a
1
)
n
n
1
1
1
4
(III
)
2
2
.
an1
1Sn
13.(北京卷)解:
(I)由
1=1,
3
,n=1,2,3,⋯⋯,得
a
a2
1S1
1a1
1
a3
1S2
1(a1
a2)
4
a4
1S3
1(a1
a2
a3)
16
3
3
3,
3
3
9,
3
3
27,
an1an
1(Sn
Sn1)
1an
an1
4an
1
1(4)n2
由
3
3
(n≥2),得
3
2
3
n
33
(n≥2),
(n≥2),又a=
,所以a=
1
n
1
an
1
4
)
n
2
n≥2
(
∴数列{an}的通项公式为
3
3
;
a,
a,
a
1
(4)2
(II
)由(I)可知
2
3
3
项数为n的等比数列,∴
2
4
n
,公比为
是首项为
4
2n
1
1
(
3)
3
4
2n
1]
(4)2
[(
)
a2
a4
a6
a2n=
3
1
7
3
3
14.(福建卷)解:
(Ⅰ)由题设2a3a1a2,即2a1q2a1a1q,a10,2q2q10.
q1或1.
2
q1,则Sn
2n
n(n
1)
1
n2
2
3n.
(Ⅱ)若
2
时
bn
Sn1
(n
1)(n
2)
0.
n2,Sn
2
故Sn
bn.
当
q
1
则Sn
2n
n(n
1)
1
n2
9n
2
2
(
)
4
.
若
2
时
bn
Sn1
(n
1)(n
10)
n2,Sn
4
当
故对于n
N
当
2
时
Sn
bn;
当
n
时
Sn
bn;
当
n
时
bn.
n9
10
11
Sn
a1
a,an1
1
1,
15.(福建卷)(I)解法一:
an
a2
1
1
1
1a1,a3
1
1
2a1
a1
a
a
a2
a
1
a4
1
1
3a
2故当
a
2时
a4
0.
a3
2a
.
3
1
解法二:
a4
0,
1
0,
a3
1.
1
a3
a3
1
1
a2
1
1
2
故当
a
2
时
a4
0.
a2
.a2
1
a.
3
2
a
3
解法一
:
b1
1,bn1
b
1
1.
(II)
bn
bn
bn
1
1
a取数列{bn}中的任一个数不妨设a
bn.
abn,a2
1
1
1
bn1.
1
bn
a1
a3
1
1
1
1
bn
2.
a2
bn1
an
1
1
1
1
b1
1.
an
b2
1
an
10.
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列
{an}
16.(湖北卷)
解:
(1):
当n1时,a1S12;
当n2时,anSnSn12n22(n1)24n2,
故{an}的通项公式为an
4n
即
是
a1
2,
公差
d
4的等差数列.
2,{an}
n
q,则b1qdb1,d4,q
1.
4
设{b
}的通项公式为
bn
b1q
n1
2
1
即{bn}的通项公式为
bn
2
1.
n1
4
n
故
4
cn
an
4n2
(2n1)4n1,
bn
2
(II)
4n1
Tn
c1
c2
cn
[1
341
5
42
(2n
1)4n1],
4Tn
[1
4
342
5
43
(2n
3)4n1
(2n
1)4n]
两式相减得
3Tn
12(41
4
Tn
1[(6n
5)4
9
23n1n1n
44)(2n1)4[(6n5)45]
n
5].
17.(湖南卷)
(I)解:
设等差数列{log2(an
1)}的公差为d.
由a13,a3
9得2(log22
d)
log22
log28,即d=1.
所以log2(an
1)
1
(n
1)
n,即an
2n
1.
1
1
1
(II)证明因为
an1an
an1
2n
2n
,
1
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