高中数学双曲线检测试题及答案.docx

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高中数学双曲线检测试题及答案

高中数学双曲线检测试题及答案

　　高二数学双曲线苏教版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

双曲线

二.重点、难点：

重点：

双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．

难点：

理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．

三.主要知识点

1、双曲线的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

说明：

双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：

（1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．

当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2、标准方程的推导

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义得出椭圆双曲线集合为：

P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.

（3）代数方程

（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）

3、两种双曲线性质的比较

焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线

几何

条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）

标准

方程－＝1（a0，b0）

－＝1（a0，b0）

图形

范围|x|a|y|a

对称性x轴，y轴，原点

顶点

坐标（a，0）（0，a）

实轴

虚轴x轴，实轴长2a

y轴，虚轴长2by轴，实轴长2a

x轴，虚轴长2b

焦点

坐标（c，0）c＝

（0，c）c＝

离心率

e＝，e1

渐近线y＝x

y＝x

4、方法小结　

（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

②已知渐近线的方程bxay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝（0），根据其他条件确定的值.若求得＞0，则焦点在x轴上，若求得＜0，则焦点在y轴上．

（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．

（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记AOB＝，则e＝＝．

（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C0，就是双曲线的方程．

（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是＝0，则可把双曲线方程表示为－＝（0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程．

【典型例题】

例1.根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；

（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.

（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，）Q（，5）．

剖析：

设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

解法一：

（1）设双曲线的方程为－＝1，

由题意得

解得a2＝，b2＝4．

所以双曲线的方程为－＝1．

（2）设双曲线方程为－＝1.

由题意易求c＝2．

又双曲线过点（3，2），

－＝1.

又∵a2+b2＝

（2）2，

a2＝12，b2＝8．

故所求双曲线的方程为－＝1．

解法二：

（1）设所求双曲线方程为－＝（0），

将点（－3，2）代入得＝，

所以双曲线方程为－＝．

（2）设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1．

评述：

求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝（0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1

（3）设双曲线方程为（mn0）

将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.

故所求方程为

说明：

若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．

例2.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．

解：

根据正弦定理得c－b＝a＝1

即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线

又c＝1，a＝，b＝c2－a2＝

故双曲线方程为（x）

例3.（2019年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．

剖析：

由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.

解：

设点P的坐标为（x，y），依题意得＝2，即y＝2x（x0）．①

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN|||MN|＝2．

∵||PM|－|PN||＝2|m|0，

01．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．

故－＝1．②

将①代入②，并解得x2＝，∵1－m20，1－5m20．

解得0，即m的取值范围为（－，0）（0，）．

评述：

本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．

例4.（2019年春季上海）已知椭圆具有的性质：

若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：

－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

解：

类似的性质为若MN是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－＝1．

又设点P的坐标为（x，y），

由kPM＝，kPN＝，得kPMkPN＝＝，

将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPMkPN＝．

评注：

本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．

【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线

2.方程表示双曲线，则的取值范围是（）

A.B.C.D.或

3.双曲线的焦距是（）

A.4B.C.8D.与有关

4.（2019年天津，4）设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于

A.1或5B.6C.7D.9

5.（2019年春季北京，5）“ab0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

6.焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A.B.C.D.

7.若，双曲线与双曲线有（）

A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点

8.过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）

A.28B.22C.14D.12

9.已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

10.给出下列曲线：

①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③④，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.（2019年上海）给出问题：

F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：

双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．

该学生的解答是否正确？

若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．

12.过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点．

13.直线与双曲线相交于两点，则＝__________________．

14.过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线的方程为．

三、解答题（40分）

15.（本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求F1PF2的大小．

16.（本题满分14分）、已知双曲线x2－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

17.（本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：

正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：

相关各点均在同一平面上）．

【试题答案】

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题号12345678910

答案DDCCCBDABD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.|PF2|＝1712.413.14.

三、解答题（40分）

15.解：

（1）由16x2－9y2＝144得－＝1，…………2

a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），…………4

离心率e＝，…………6

渐近线方程为y＝x.…………8

（2）||PF1|－|PF2||＝6，cosF1PF2＝…………10

＝＝＝0.…………12

F1PF2＝90。

…………14

16.

（1）解：

设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2＝k（x－1），…………2

代入双曲线方程得

（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）＝0.…………4

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1+x2＝－，…………6

由已知＝xP＝1，

＝2。

解得k＝1。

…………8

又k＝1时，＝16＞0，从而直线AB方程为x－y+1＝0.…………10

（2）证明：

按同样方法求得k＝2，…………12

而当k＝2时，＜0，所以这样的直线不存在.…………14

17.解：

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.

…………2

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）…………4

设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝3404＝1360…………6

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a＝680，c＝1020，…………8

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

…………10

语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。

如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。

用y＝－x代入上式，得，∵|PB||PA|，

，…………11

答：

巨响发生在接报中心的西偏北45距中心处.…………12