概率论与数理统计重要公式.docx

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概率论与数理统计重要公式

概率论与数理统计-重要公式

、随机事件与概率

公式名称

公式表达式

德摩根公式

ABAB，ABAB

古典概型

P（A）mA包含的基本事件数（）n基本事件总数

几何概型

（A）

P（A）（），其中卩为几何度量（长度、面积、体积）

求逆公式

P（A）1P（A）

加法公式

P（AUB）=P（A+B）二P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）=0（AB互斥）时，P（AUB）=P（A）+P（B）

减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）,BA时P（A-B）=P（A）-P（B）

条件概率公式

乘法公式

P（AB）

P（BA）—_-

P（A）

P（ABC）P（A）P（BA）P（CAB）

全概率公式

n

P（A）P（Bi）P（A

i1

Bi）从原因计算结果

贝叶斯公式

（逆概率公式）

lP（Bi）P（A

P（Bi|A）ni

P（Bi）P（A

i1

Bi）

从结果找原因

两个事件相互独立

P（AB）P（A）P（B）；P（B|A）P（B）；P（BA）P（Ba）

二、随机变量及其分布

1、分布函数

2、离散型随机变量及其分布

分布名称

分布律

0・1分布X〜b（l,p）

p（X=k）=pkQp）'-k,乞=0,1

二项分布（贝努利分布）X〜B（n,p）

p（x=k）=鴛於‘（i一Py~k,乞=0,1,…曲

泊松分布X〜p

（2）

p（x=k）=—e^\余=0丄2,…k\

3、续型型随机变量及其分布

分布名称

密度函数

分布函数

均匀分布x〜U（a,b）

-

r（x）=«

■

1,,a

0,其他

F（x）=-

0,x

x—a-.

.a

1,x>b

■

指数分布X〜E（/O

f（x）=

為一巴x>0

0,x<0

F（x）=j

i-宀，x>o

0,x<0

正态分布

x〜N（“q‘）

]（"-“）2

72兀

—oo

]仃一“）2

F（x）=,fAe2,甘

伍cyJ

标准正态分布X〜N（0,1）

1-兰

e2y/2/r

—oo

1Cx丄2

①（x）=—j=\e2dtJ2tt—

a一般正态

P（Xa）P（Xa）（）P（Xa）P（Xa）1（-—）分布的概

率计算公式

ba

P（aXb）（）（）

分布函数

4、随机变量函数Y=g（X）的分布

离散型：

P（丫yi）Pj'i1,2丄

g（xj）y

1

连续型:

分布函数法，

2

公式法fy（y）fx（h（y））h（y）（xh（y）单调）h（y）是g（x）的反函数

2、连续型二维随机变量及其分布

①分布函数及性质

P（X心丫yj）注意部分可加性

xyjZk

4、二维随机变量和函数的分布（卷积公式）离散型：

P（ZZk）

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

2、方差

E（X）E（Y），当X、Y相互独立时：

Cov（X,Y）

，当X、Y相互独立时：

xy0（X,Y不相关）

③协方差和相关系数的性质：

Cov（X,X）D（X），Cov（X,Y）Cov（Y,X）

Cov（X1X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y），Cov（aXc,bYd）abCov（X,Y）

Cov（x,a）=0（a为常数），D（aXbY）a2D（X）b2D（Y）2abCov（X,Y）

4、常见随机变量分布的数学期望和方差

分布

数学期望E（X）

方差D（X）

0-1分布b（1,p）

p

p（1-p）

二项分布b（n,p）

np

np（1-p）

泊松分布P（）

均匀分布U（a,b）

ab

2

（ba）2

12

正

2

二态分布N（,）

2

指数分布e（）

1

1

2

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

1、总体和样本的分布函数

n

设总体X〜F（x），则样本的联合分布函数F（x1,x2xn）F（Xk）

k1

2、统计量

3、三大抽样分布

2

（1）

分布（卡方分布）：

设随机变量X~B（0,1）（i1,2丄，n）且相互独立，则称统计量

12X22xn服从自由度为n的2分布，记为2~2（n）

性质：

①E[2（n）]n,D[2（n）]2n②设X~2（m）,Y~2（n）且相互独立,

2

则XY~（mn）

⑵t分布：

设随机变量X~N（0,1）,Y~2（n），且X与丫独立，则称统计量

2

X

~2

从自由度为n的t分布，记为T~t（n）。

n1

性质：

①E（T）0（n1）,D（T）门52）②-imfn（X）（X）于

则1F~F（n,m）。

1.参数估计

（Xi,X2,L,Xn）为总体的估计值。

2.点估计中的极大似然估计

②取对数：

lnL（）lnf（Xi,）或InL（）Inp（x,

11（为，X2,L,Xn）

③解方程：

血0丄，」吐0，解得：

LL

1k

k心兀丄,Xn）

3•估计量的评价标准

估计量的评价标准

无偏性

设（X1,X2,L,Xn）为未知参数的估计量。

若E（）=，则称为的无偏

估计量。

有效性

设11（x1,x2,L,Xn）和22（x,,x2,L,Xn）疋未知参数的两个无偏估计量。

若D

（1）D

（2），则称1比2有效。

1

致、生

设n是的一串估计量，女口0，有limP（|n|）0则称n为的一致估

n

计量（或相合估计量）。

正态总体中，样本均值X是的无偏估计量

修正样本方差S2是2的无偏估计量

5.区间估计单正态总体参数的置信区间

条件

估计参数

枢轴量

枢轴量分布

置信水平为1的置信区间

已知

2

ZJ

N（0,1）

'Z/2T^Z/2石

未知

2

T―S/亦

t（n1）

X%（n遵,Xt，2（n1）4

未知

2

2

2（n1）S

2

2（n1）

（n1）S2（n1）S2

2,2

Z（n1）1/（n1）

未知

2

20Xi2

i1

2（n）

nn

22

（Xi）2（Xi）2

i1i1

2,2

/2（n）1/2（n）

八、假设检验

1.假设检验的基本概念

基

本假设检验的统计思想是小概率原理。

思小概率事件的概率就是显著性水平a,常取a=0.05,0.01或0.10想

①提出原假设H）;②选择检验统计量g（Xi,L,Xn）；③对于a查表找分位数入，使P（g（Xi,L,Xn）W），从而定出拒绝域W;

④由样本观测值计算统计量实测值g（xi,L必）；并作出判断：

当实测值落入W时拒绝否则认为接受H）。

第一类错误：

当H为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H）。

“弃真错误”

P｛拒绝H）为真｝=

第二类错误：

当H为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H。

“取伪错误”

P｛接受H）|H为真｝=

2.单正态总体均值和方差的假设检验