算法分析与设计及案例习题解析.docx
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算法分析与设计及案例习题解析
习题解析
第1章
1.解析:
算法主要是指求解问题的方法。
计算机中的算法是求解问题的方法在计算机上的实现。
2.解析:
算法的五大特征是确定性、有穷性、输入、输出和可行性。
3.解析:
计算
的算法,其中n是正整数。
可以取循环变量i的值从1开始,算i的平方,取平方值最接近且小于或者等于n的i即可。
4.解析:
可以使用反证法,设i=gcd(m,n)=gcd(n,mmodn),则设m=a*i,n=b*i,且a与b互质,这时mmodn=(a-x*b)*i,只需要证明b和a-x*b互质,假设二者不互质,可以推出a与b不互质,因此可以得到证明。
5.解析:
自然语言描述:
十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余,逆序排列”法。
具体做法是:
用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为0时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。
流程图:
如图*.1
图*.1十进制整数转换成二进制整数流程图
6.解析:
a.如果线性表是数组,则可以进行随机查找。
由于有序,因此可以进行折半查找,这样可以在最少的比较次数下完成查找。
b.如果线性表是链表,虽然有序,则只能进行顺序查找,从链表头部开始进行比较,当发现当前节点的值大于待查找元素值,则查找失败。
7.解析:
本题主要是举例让大家了解算法的精确性。
过程中不能有含糊不清或者二义性的步骤。
大家根据可行的方式总结一下阅读一本书的过程即可。
8.解析:
数据结构中介绍的字典是一种抽象数据结构,由一组键值对组成,各个键值对的键各不相同,程序可以将新的键值对添加到字典中,或者基于键进行查找、更新或删除等操作。
由于本题已知元素唯一,因此大家可以据此建立一个自己的字典结构。
实现字典的方法有很多种:
∙最简单的就是使用链表或数组,但是这种方式只适用于元素个数不多的情况下;
∙要兼顾高效和简单性,可以使用哈希表;
∙如果追求更为稳定的性能特征,并且希望高效地实现排序操作的话,则可以使用更为复杂的平衡树。
在字典之上的主要操作可以有:
创建操作,添加操作,删除操作,查找操作,以及必要的字典维护操作。
第2章
1.解析:
根据本章所述,递归算法和非递归算法的数学分析方法分为5个步骤。
2.解析:
本题相当于对多项式找“主项”,也就是在除去常系数外,影响函数值递增速度最快的项。
a)
b)
c)
,c为常数
d)
e)
3.解析:
本题中如果手套分左右手,则最优情况选2只,最差情况选12只。
本题中如果手套不分左右手,则最优情况仍然选2只,最差情况选4只。
从本题的初衷推测设置题目应该是分左右手的手套,在考虑颜色的情况下,选择一双进行匹配。
4.解析:
本题的一般解法可以使用高等数学中求二者比值的极限来确定结果。
a)相同b)第一个小c)二者相同d)第一个大e)二者相同f)第一个小
5.解析:
a)
b)
c)
d)
6.解析:
参见本章例2.7。
第3章
1.解析:
蛮力法主要依靠问题的定义,采用简单直接的求解方法。
由此决定了蛮力法是解决问题的最简单也是最普遍的算法,同时其经常作为简单问题求解的方法和衡量其他算法的依据。
2.解析:
2,6,1,4,5,3,2
选择排序:
|2614532i=0:
min最后得2,交换二者。
1|624532i=1:
min最后得2,交换二者。
12|64532i=2:
min最后得6,交换二者。
122|4536i=3:
min最后得5,交换二者。
1223|546i=4:
min最后得5,交换二者
12234|56i=5:
min最后得5。
122345|6结束。
冒泡排序:
2614532
214532|6i=0:
最大值6就位。
12432|56i=1:
第二大值5就位。
1232|456i=2:
第三大值4就位。
122|3456i=3:
第四大值3就位。
12|23456i=4:
第五大值2就位。
1|223456i=5:
第六大值2就位,剩余的1也就位,排序结束。
3.解析:
选择排序不稳定,如3.1.1节例子:
4,4,2。
冒泡排序稳定。
4.解析:
如2题例子,到i=4时就没有发生交换的活动了。
这时可以在冒泡排序的交换部分加入一个布尔变量,如本次循环中没有发生交换,则以后的扫描就可以不进行。
5.解析:
如果n个点共线,则其最近对只需要考察相邻的点对,因此在对点进行按行坐标排序后,只需要两两计算相邻两点距离,就可以找到最近对。
6.解析:
所有的过程与寻找二维空间中的最近点对类似,只是计算距离的公式变为:
sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)+(p1.z-p2.z)*(p1.z-p2.z)
使用循环计算任意两个点之间的距离,然后记录最小值即可。
类似的,如果推广到n维空间,需要考虑空间中任意两点的距离计算公式,同样计算每两个点之间的距离,并记录最小距离即可。
7.解析:
a)线段的凸包为本身,极点为两个端点。
b)正方形的凸包为本身,极点为四个顶点。
c)正方形的边界不是凸包,凸包为正方形(包括边界和内部)。
d)直线的凸包为本身,没有极点。
8.解析:
哈密顿回路的穷举查找算法,首选选择起点(图中任意一个点开始),之后不断寻找下一个点,下一个点应该满足:
1)不在已经走过的点中;
2)与上一个点有直连路径。
如果这样能找到回到起点的路径,并且遍历所有点,则为一条哈密顿回路。
然后依次进行下一个可行点的选择。
9.解析:
生成给定元素的一个排列,通过连续比较它们之间的元素,检查它们是否符合排序的要求。
如果符合就停止,否则重新生成新的排列。
最差情况生成排列的个数是
,每趟连续元素比较次数为n-1次。
所以效率类型为
。
第4章
1.解析:
假定把16枚硬币上网例子看作一个大的问题。
(1)把这一问题分成两个小问题,随机选择8个硬币作为第一组称为A组,剩下的8个硬币作为第二组称为B组;这样,就把16个硬币的问题分成两个8个银币的问题来解决;
(2)判断A组和B组中是否有伪币,可以使用仪器比较A组硬币和B组硬币的重量;假如两组硬币重量相等,则可以判断伪币不存在;假如两组硬币重量不相等,则存在伪币,并且可以判断它位于较轻的那一组硬币中;
(3)假设B是轻的那一组,因此再把它分成两组,每组有4个硬币,称其中一组为B1,另一组为B2,比较这两组,肯定有一组轻一些,假设B1轻,则伪币在B1中,再将B1分为两组,每组有两个硬币,称其中一组为B1a,另一组为B1b。
比较这两组,可以得到一个较轻的组,由于这个组织有两个硬币,因此不必再细分。
比较组中两个硬币的重量,可以立即知道哪个硬币轻一些,轻币就是要找的伪币;
最终,比较次数为4次。
2.解析:
逆序对是指在序列{a0,a1,a2...an}中,若ai
而逆序数是指序列中逆序对的个数。
例如:
123是顺序,则逆序数是0;132中(2,3)满足逆序对的条件,所以逆序数只有1;321中(1,2)(1,3)(2,3)满足逆序对,所以逆序是3。
由定义不能想象,序列n的逆序数范围在[0,n*(n-1)/2],其中顺序时逆序数为0,完全逆序时逆序数是n*(n-1)/2。
对于一个数组s将其分为2个部分s1和s2,求s1和s2的逆序对个数,再求s1和s2合并后逆序对的个数:
这个过程与merge排序的过程是一样的,可以使用merge排序求得。
代码如下:
//a为字符数组,len为字符数组的长度
intnumber=0;//number表示逆序对的个数
voidcopy(char*dest,char*src,intl,intr)
{
while(l<=r)
{
dest[l]=src[l]; l++;
}
}
voidmergeSort(char*a,intsize)
{
char*b=(char*)malloc(sizeof(char)*size);
mergePass(a,b,0,size-1);
free(b);
}
voidmergePass(char*a,char*b,intl,intr)
{
intm;
if(l { m=(l+r)/2; mergePass(a,b,l,m); mergePass(a,b,m+1,r); merge(a,b,l,m,r); copy(a,b,l,r); } } voidmerge(char*a,char*b,intl,intm,intr) { inti=l,j=m+1; while(i<=m&&j<=r) { if(a[i]<=a[j]) b[l++]=a[i++]; else { b[l++]=a[j++]; number+=m-i+1; } } while(i<=m) b[l++]=a[i++]; while(j<=r) b[l++]=a[j++]; } 3.解析: 当序列A[1..n]中的元素的个数n=2时,通过直接比较即可找出序列的第2大元素。 当n>2时,先求出序列A[1..n-1]中的第1大元素x1和第2大元素x2;然后,通过2次比较即可在三个元素x1,x2和A[n]中找出第2大元素,该元素即为A[1..n]中的第2大元素。 SecondElement(A[low..high],max1,max2) {//假设主程序中调用该过程条件为high-low>=2 if(high-low==2)
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- 算法 分析 设计 案例 习题 解析
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