角平分线的性质定理和判定经典.docx
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角平分线的性质定理和判定经典
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定
第一部分:
知识点回顾
1、角平分线:
把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等:
①平分线上的点;②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:
到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分:
例题剖析
例1.已知:
在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,AB=15cm,
(1)求证:
BD+DE=AC.
(2)求△DBE的周长.
例2.如图,∠B=∠C=90°,M是BC中点,DM平分∠ADC,求证:
AM平分∠DAB.
【变式练习】如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC,求证:
∠PCB+∠BAP=180º
例2、已知:
如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠BAD?
请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?
请说明理由.
(3)CD、AB、AD间?
直接写出结果
【变式练习】如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求证:
点P在∠C的平分线上.
例3.如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且DE=2cm,AB=9cm,BC=6cm,
求△ABC的面积.
【变式练习】如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.
求证:
AD平分∠BAC.
第四部分:
思维误区
一、忽视“垂直”条件
例1.已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。
求证:
AF为∠BAC的平分线。
第五部分:
方法规律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。
常用方法有:
使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。
(3)注意:
许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒大家,能用简单方法的,就不要绕远路.
第七部分:
巩固练习
A组
一、耐心选一选,你会开心(每题6分,共30分)
1.三角形中到三边距离相等的点是( )
A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=12cm,则△DBE的周长为()
A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm
3.如图2所示,已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分别为M、N,那么PM与PN的关系是()
A.PM>PN B.PM=PN C.PM<PN D.无法确定
D
M
A
B
C
N
P
E
图2
D
B
C
A
E
F
图3
4.如图3所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠A的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,下面给出四个结论,其中正确的结论有()
①AD平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等
④到AE、AF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等
A、1个B、2个C、3个D、4个
5.
A
B
C
D
P
如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C.下列结论错误的是().
A.AD=CPB.△ABP≌△CBP
C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB.
二、解答题
A
F
C
D
E
B
6.已知:
AD是△ABC角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BD=CD,证:
∠B=∠C.
B
D
A
E
C
7.如图,已知在△
中,
,点
是斜边
的中点,
,
交
于
.求证:
平分
.
8、如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:
AM平分∠DAB.
9.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.
求证:
点C在∠AOB的平分线上.
第八部分:
中考体验
一.选择题(共3小题)
1.(2011•衢州)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A.
11
B.
5.5
C.
7
D.
3.5
3.(2010•鄂州)如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.
4
B.
3
C.
6
D.
5
4.(2011•岳阳)如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 _________ .
5.(2011•桂林)求证:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:
求证:
证明:
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- 关 键 词:
- 平分线 性质 定理 判定 经典
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