高中数学必修二复习教师版学生版知识点例题练习详解.docx
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高中数学必修二复习教师版学生版知识点例题练习详解
2、直线的斜率用k表示。
即ktan。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90时,k0;当90,180时,k0;当90时,k不存在
1
3、过两点的直线的斜率公式:
ky2y1(x1x2)x2x1
注意下面三点:
(1)当x1x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)求斜率由直线上两点的坐标直接求得.
4、直线方程
①点斜式:
yy1k(xx1)直线斜率k,且过点x1,y1
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是xx0
②斜截式:
ykxb,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式:
④截矩式:
yy1xx1(x1x2,y1y2)直线两点x1,y1,x2,y2y2y1x2x1xy1ab
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b⑤一般式:
AxByC0(A,B不全为0)
1各式的适用范围注意:
○
2特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
yb(b为常数)○;
平行于y轴的直线:
xa(a为常数);
5、直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(1)平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0xB0yC0(C为常数)
(2)垂直直线系
垂直于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
B0xA0yC0(C为常数)
(3)过定点的直线系
①斜率为k的直线系:
y
②过两条直线l1:
y0kxx0,直线过定点x0,y0;
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20的交点的直线系方程为
,其中直线l2不在直线系中A1xB1yC1A2xB2yC20(为参数)
6、两条直线的交点
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。
A2xB2yC20
①方程组无解l1//l2;②方程组有无数解l1与l2重合
7、距离公式
Bx2,y2)
(1)两点距离公式:
设A(x1,y1),(是平面直角坐标系中的两个点,
则|AB|
(2)点到直线距离公式:
点Px0,y0到直线l1:
AxByC0的距离dAx0By0C
A2B2
(3)两平行直线距离公式:
在任一直线上任取一点,
再转化为点到直线的距离进行求解或d
六、圆的方程
1、标准方程xaybr,圆心222a,b,半径为r;
2
2、一般方程xyDxEyF0
DE,半径为r1D2E24F①当DE4F0时,方程表示圆,此时圆心为
2222222
②当DE4F0时,表示一个点;当DE4F0时,方程不表示任何图形。
3、求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
①若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;②若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
七、直线与圆
1、直线与圆的位置关系:
相离,相切,相交:
(1)设直线l:
AxByC0,圆C:
xa2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC,A2B22222
则有drl与C相离;drl与C相切;
(2)过圆外一点的切线:
①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:
圆(xa)2(yb)2r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
2、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆C1:
xa12yb12r2,
①
②
③
④
⑤
⑥当d当d当Rr时两圆外离,此时有公切线4条;Rr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线2条,当d0时,为同心圆。
注意:
已知圆上两点,圆心必在两点连线的中垂线上;
已知两圆相切,两圆心与切点共线;
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
补充:
一、重心——中线的交点;垂心——高的交点;外心——中垂线的交点;内心——角平分线的交点
二、已知圆以Ax1,y1,Bx2,y2为直径,则该圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0
三、切线长公式:
P(x0,y0),圆,则d
k四、弦长公式:
弦两端点:
P1x1,y1,P2x2,y2,弦所在直线的斜率为,
则d
1x2或d1y2<例题讲解>
例1、如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,
E是PC的中点。
求证:
(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC平面BDE
3
证明(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,
又∵OE平面BDE,PA平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO底面ABCD,∴POBD,又∵ACBD,且ACPO=O
∴BD平面PAC,而BD平面BDE,∴平面PAC平面BDE。
例2、已知三角形ABC的顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线L平行于AB,且分别交AC,BC
1.求直线L的方程.4
11解:
由已知,直线AB的斜率K=,∵EF∥AB∴直线EF的斜率为K=22
1∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的,∴E是CA的中点。
4
551又点E的坐标(0,)直线EF的方程是yx,即x2y50222于E,F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的
例3、如图,在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F为AB的两个三等
分点,AC,DF交于点G,建立适当的直角坐标系,证明:
EGDF
解:
以AB所在直线为X轴,AD所在直线为Y轴,建立直角坐标系
设AD=1(单位)则D(0,1)A(0,0),E(1,0),F(2,0)
C(3,1),求得直线AC的方程为y1x,直线DF的方程为x2y203
61xyx5解方程组得所以点G的坐3y2x2y205
例4、如图:
直线L1的倾斜角1=30,直线L1L2,则L2的斜率为()0
A、
B、3C、3D、33
4
例5、如图:
S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点,且求证:
MN∥平面SBC
证明:
连结AN并延长交BC于点G,并连结SG∵平行四边形ABCD∴AMBN=,SMNDBNANAMBNANAM=,∵=∴=NDNGSMNDNGSM
∴MN∥SG
例6、21、过点(2,3)的直线L被两平行直线L1:
2x-5y+9=0与L2:
2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线L的方程.
解:
设线段AB的中点P的坐标(a,b),由P到L1,、L2的距离相等,得2a5b92a5b722522252经整理得,2a5b10,又点P在直线x-4y-1=0上,所以a4b10
2a5b10a3解方程组得即点P的坐标(-3,-1),又直线L过点(2,3)所以直线La4b10b1
的方程为y
(1)x(3),即4x5y703
(1)2(3)
例7、已知三条直线L1:
X2Y0L2:
Y10L3:
2XY10两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程
如图:
通过计算斜率可得L1L3,经过A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆解方程组
解方程组
线段x2y0x2得所以点A的坐标(-2,-1)y10y12xy10x1得所以点B的坐标y10y1的中点坐标是((1,-1)AB1,1),又2AB(21)2(11)23
所以圆的方程是(x
例8、与直线7x24y5平行,并且距离等于3的直线方程是129)(y1)2247x24y8007
x24y70
5
例9、已知点M(a,b)在直线3x4y15上,则a2b2的最小值为3
例10、圆:
x2y24x6y0和圆:
x2y26x0交于A、B两点,则AB的垂直平分线的方程是(C)
A.x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0
例11、圆:
x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是(B)
A、2B、12C、12D、1222
DD13,求异面直线A1B与B1C所成角的余例12、在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知DADC4,
弦值
连接A1D,A1D//B1C,BA1D为异面直线A1B与B1C所成的
角.
连接BD,在△A1DB中,A1BA1D5,BD42,
A1B2A1D2BD22525329则cosBA1D2A1BA1D25525
例13、如图,射线OA、OB分别与x轴成45角和30角,过点P(1,0)
作直线AB分别与OA、OB交于A、B.
(Ⅰ)当AB的中点为P时,求直线AB的方程;
(Ⅱ)当AB的中点在直线y1x上时,求直线AB的方程.
2
解:
(Ⅰ)由题意得,OA的方程为yx,OB的方程为y3x,设A(a,a),3
ab2得a31,
B(b,b)。
∵AB的中点为P(1,0),∴ab0
6
∴kAB31
21即AB方程为
(1)xy310
1abab,)在直线yx上,222(Ⅱ)AB中点坐标为(
则ab1a3b,即a(23)b①222
ab②a1b1∵kPAkPB,∴
由①、②得a,则kAB3,2
所以所求AB的方程为(3)x2y330
例14、方程x2+y2-x+y+m=0表示圆则m的取值范围是(C)
A、m≤2B、m<2C、m<11D、m≤22
例15、若l、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是(B)
A.若//,l,n,则l//nB.若,l,则l
C.若l,l//,则D.若ln,mn,则l//m
例16已知三点A(-2,-1)、B(x,2)、C(1,0)共线,则x为:
(A)
A、7B、-5C、3D、-1
例17、如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,已知M为棱AB的中点.
(Ⅰ)AC1//平面B1MC;
(Ⅱ)求证:
平面D1B1C⊥平面B1MC.
(Ⅰ)MO//AC1;
(Ⅱ)MO∥AC1,AC1⊥平面D1B1C,MO⊥平面D1B1C,平面D1B1C⊥平面B1MC.
7
例18、在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x2y10,∠A的平分线所在直线的方程为
,求点A和点C的坐标..y0,若点B的坐标为(1,2)
由y0x1得,即A的坐标为(1,0),x2y10y0
∴kAB20,又∵x轴为∠BAC的平分线,∴k
ACkAB1,11
又∵直线x2y10为BC边上的高,∴kBC2.
设C的坐标为(a,b),则bb21,2,a1a1
解得a5,b6,即C的坐标为(5,6).
例19、已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x+y+1=0和3x-y+4=0,它的对角线的交点是M(3,0),求这个四边形的其它两边所在的直线方程.
xy70和3xy220.
例20、线l通过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6,则直线l的方程是(A)
A.3xy60B.3xy0
C.x3y100D.x3y80
8
<练习集锦>
一、选择题
1.若直线的倾斜角为120,则直线的斜率为(
B)
A
.
.D.-33
2.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是(D)
A.相交B.异面C.平行D.异面或相交
3.直线y3x1关于y轴对称的直线方程为(C)
A.y3x1B.y3x1C.y3x1D.yx1
4.下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行;
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;
④垂直于同一个平面的两个平面相互垂直.
其中错误的命题有(B)..
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是(
C)
6.直线1axy10与圆xy2x0相切,则a的值为(D)22
A.1,1B.2C.1D.1
7.若l为一条直线,,,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①⊥,⊥,则⊥;②⊥,∥,则⊥;③l∥,l⊥,则⊥.其中正确的命题有(C)
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.圆(x1)y1和圆xy6y50的位置关系是(C)
A.相交B.C.外离D.D)
A.DDB
B.ADC
C.ADB
92222AAC
D.DBC
10.已知点A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则△ABC的形状是(B)
A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
11.半径为R的球C)
3A.B.
R4
333
3D.R9
12.若P2,1为圆x1y225的弦AB的中点,则直线AB的方程是(A)
A.xy30B.xy30C.xy30D.xy30
二、填空题
13.过点(1,2)且与直线x2y10平行的直线方程是x2y50.
14.以点A(2,0)为圆心,且经过点B(1,1)的圆的方程是(x2)2y210.
15.在平面几何中,有如下结论:
三边相等的三角形解得
2xy20.y2.
由于点P的坐标是(2,2).
则所求直线l与x2y10垂直,
可设直线l的方程为2xyC0.
把点P的坐标代入得222C0,即C2.
所求直线l的方程为2xy20.
(Ⅱ)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2,
10
1121.2
17.如图,四棱锥ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点.
求证:
(Ⅰ)PA∥平面BDE;
P(Ⅱ)平面PAC平面BDE.
证明:
(Ⅰ)连结OE.
∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,
又∵OE平面BDE,PA平面BDE,
∴PA∥平面BDE.(Ⅱ)∵PO底面ABCD,
∴POBD,
又∵ACBD,且ACPO=O,∴BD平面PAC.
而BD平面BDE,∴平面PAC平面BDE.所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S
18.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x3y290相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线axy50(a0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(2,4),若存在,
求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
解:
(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(mZ).
4m295,由于圆与直线4x3y290相切,且半径为5,所以5
即4m2925.
因为m为整数,故m1.
故所求圆的方程为(x1)2y225.
(Ⅱ)把直线axy50即yax5.代入圆的方程,消去y整理,得
(a21)x22(5a1)x10.
由于直线axy50交圆于A,B两点,
故4(5a1)4(a1)0.
2即12a5a0,由于a0,解得a225.12
11
所以实数a的取值范围是(5,).12
1,a(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,由于a0,则直线l的斜率为
1l的方程为y(x2)4,即xay24a0.a
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上.
所以1024a0,解得a
由于3.435(,),412
3故存在实数a,使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB.4
12
2、直线的斜率用k表示。
即ktan。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90时,k0;当90,180时,k0;当90时,k不存在
3、过两点的直线的斜率公式:
注意下面三点:
(1)当x1x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
13
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)求斜率由直线上两点的坐标直接求得.
4、直线方程
①点斜式:
,直线斜率k,且过点x1,y1
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是xx0
②斜截式:
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
(x1x2,y1y2)直线两点x1,y1,x2,y2
④截矩式:
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b
⑤一般式:
(A,B不全为0)
1各式的适用范围注意:
○
2特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
yb(b为常数)○;
平行于y轴的直线:
xa(a为常数);
5、直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(1)平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0xB0yC0(C为常数)
(2)垂直直线系
垂直于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
B0xA0yC0(C为常数)
(3)过定点的直线系
①斜率为k的直线系:
y
②过两条直线l1:
y0kxx0,直线过定点x0,y0;
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20的交点的直线系方程为
,其中直线l2不在直线系中A1xB1yC1A2xB2yC20(为参数)
6、两条直线的交点
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。
A2xB2yC20
①方程组无解l1//l2;②方程组有无数解l1与l2重合
7、距离公式
Bx2,y2)
(1)两点距离公式:
设A(x1,y1),(是平面直角坐标系中的两个点,则
(2)点到直线距离公式:
点Px0,y0到直线l1:
AxByC0的距离
(3)两平行直线距离公式:
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解或
六、圆的方程
1、标准方程,圆心
2、一般方程
22a,b,半径为r;DE,半径为r1D2E24F①当DE4F0时,方程表示圆,此时圆心为,222
②当DE4F0时,表示一个点;当DE4F0时,方程不表示任何图形。
142222
3、求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
①若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;②若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
七、直线与圆
1、直线与圆的位置关系:
相离,相切,相交:
(1)设直线l:
AxByC0,圆C:
xa2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC,
A2B2
则有drl与C相离;drl与C相切;drl与C相交
(2)过圆外一点的切线:
①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:
圆(xa)2(yb)2r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2
2、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆C1:
xa12yb12r2,C2:
xa22yb22R2
B.
C.
D.
E.F.G.当dRr时两圆,此时有公切线4条;当dRr时两圆,连心线过切点,有外公切线2条,,连心线垂直平分公共弦,有2条外公切线;当dRr时,两圆,连心线经过切点,只有1条公切线;当dRr时,两圆;当d0时,为圆。
注意:
已知圆上两点,圆心必在两点连线的中垂线上;
已知两圆相切,两圆心与切点共线;
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
补充:
一、重心——中线的交点;垂心——高的交点;外心——中垂线的交点;内心——角平分线的交点
二、已知圆以Ax1,y1,Bx2,y2为直径,则该圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0
三、切线长公式:
P(x0,y0),圆x2y2DxEyF0,
则d
k四、弦长公式:
弦两端点:
P1x1,y1,P2x2,y2,弦所在直线的斜率为,
则d
1
x2或d1y2<例题讲解>
例1、如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点。
求证:
(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC平面BDE
15
例2、已知三角形ABC的顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线L平行于AB,且分别交AC,
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