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概率方法在积分中的应用
概率方法在积分中的应用
概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科,它既有着自己独特的概念和方法,内容丰富,又与其他科学分支有着紧密的联系,具有广泛的应用性。
在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系,这使
得用概率论的思想方法求解证明某些复杂的、无法用常规数学分析方法解决的定积分、由定积分推广而来的广义积分、积分不等式成为可能。
下面,本文将结合实例,对上述问题做一定浅显分析:
一、定积分的近似求解
在实际当中,经常会碰到复杂函数的定积分,虽然积分存在,但是积不出来,这时我们不得不考虑其数值计算。
下面给出的方法是一种行之有效的数值计算法。
例1设0_f(x)_1,求f(x)在区间[0,1]上的积分值:
1
J=0f(x)dx。
解:
设(工,T)服从正方形‘0乞x岂1,0乞y空*上的均匀分布,则可知工服从[0,1]上的均匀分布,T也服从[0,1]上的均匀分布,且工与T独立。
又记事件
S1-f(X)]
则丄的概率为
,1f(x)1
p=P「Ef(x)』=iIdydx=pf(x)dx=J
即定积分的值J就是事件A的概率p。
由伯努利大数定律,我们可以用重复试验中A出现的频率作为p的估计值。
这种求定积分的方法也成为随机投点法,即将(乂,T)看成是向正方形5乞x乞1,0乞y乞仁内的随机投点,用随机点落在区域Jrf(X*中的频率作为定积分的近似值。
下面用蒙特卡洛的方法,来得到A出现的频率:
(1)先用计算机产生(0,1)上均匀分布的2n个随机数:
x,y,i=1,2,…n,这里的n可以很大,
(2)对n对数据(x,y),i=1,2,…n,记录满足如下不等式
、匚f(X)
的次数,这就是事件A发生的频数」n,由此可得事件A发生的频率冷,则J、」
n
注:
对于一般的区间a,b1上的定积分
b
W=[g(x)dx,
作线性变换y=(x-a)(x-b),即可化成[0,1]区间上的积分。
进一步若
则0乞f(y)<1此时有
b1
W=ag(x)dx=So0f(y)dy+c(b-a),
其中$=2-a)(d-c)。
这说明以上方法带有普遍性。
二、广义积分计算
广义积分是高等数学中较难的概念之一,需要我们掌握其定义和相关性质。
在进行广义积分计算时,我们应选取简便且有效的方法。
对于广义积分,现有如下定义:
设函数f(x)在[a,•:
:
)有定义,并且对任意的A(Aa)在区间[a,A)上可
A
积,当极限limf(x)dx存在时,称这极限值I为f(x)在区间[a,,:
:
)上的广义
A—卉CLa
:
:
A:
:
积分。
记作.f(x)dx=llim…f(x)dx,这时也称积分.f(x)dx是收敛的,
aA■.aa
并且用记号:
f(x)dx表示它的值。
如果上述的极限不存在,称积分是发散
a
:
:
f(x)dx的,这时虽用同样的记号,但已经不表示数值了。
而含参变量的广义
积分,就是形如:
:
f(x,y)dx的积分,称为含参量y的广义积分。
在数理方程和
概率论中经常出现这种形式的积分。
对于广义积分的计算,我们有很多方法,比如说换元法,拉普拉斯变换,Fourier积分变换或丨函数的性质等很多方法,而对于一些特殊类型的广义积分的计算,我们还可以用概率论的有关知识。
在概率论中,有一些重要的分布,比如说正态分布,指数分布,丨分布等等,而关于这
些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分,例如,概率积分是标准正
态概率密度函数的广义积分,是很重要的积分之一,在概念论方面经常遇到,且有广泛应用。
下面通过一些实例,对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索,并期望在这一探索中,领会出一些令人耳目一新的方法。
1.用概率论中的指数分布计算广义积分
7e~xxA0
定义1:
密度函数为p(x)= Q,xc0 1_e~'摂x>0 F(x)二,0这里■0,是常数,这个分布称为指数分布。 0,xvO 例2计算p(4x5x6)e^xdx 这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解,但要用到两次分部积分 法,并要求极限。 这里注意到被积函数中含有因式,刚好是参数为一2的 指数分布概率密度函数的一部分,故有, 1 [(4x2+5x+6)e,xdx=3f0_(4x^5^6)2e^xdx 2.利用概率论中的正态分布计算广义积分 1)利用正态分布的概率密度性质计算广义积分 定义2: 设X为连续型随机变量,若X的概率密度函数为 1Jx-u)2 f(x^,e2^,(4CX£+2C),其中u,62为已知参数,则称X服从正态 分布,记作X~N(u,「.2) 概率密度具有规范性,即 解: ⑴令X二I t2 eT : : 上 e2dt _O0 —(沁 ⑵e4dx JjoCi 此例中,⑴看作随机变量X~N(0,12);2看作随机变量X~N(3,、、22)。 通常微积分方法求解本例题比较困难,把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度,再利用①式计算积分,则较为简单。 2)利用正态分布的期望定义计算广义积分 定义3: 设连续型随机变量的概率密度为f(x),若.…xf(x)dx绝对收敛, 则称此积分为X的期望,记作E(X) 对于正态分布X~N(u「2)可以证明EX=u,即有: 恳1一仝£ fx_—e2。 dx=u② —(x-a)2 利用②式可以较为方便地计算'xe2pdx型广义积分 ■^)0 二2)2 例4计算广义积分(x-1)e6dx __(xQ2Jx^4)2 解: 原式二xe2(3*dx-'e2("dx ¥jqQ¥ (x/)2(X/)2 「^3,: x土e"dx-云-3;揺 =.6-4一、、61=3'、6二 本例中可看作随机变量,x~(4,0-3)2)这类广义积分一般用换元法比较麻 烦,而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式,则很容易求 解。 3)利用正态分布的方差定义计算广义积分 定义4设连续型随机变量的期望为E(X),概率密度函数为f(x),若 E(X-E(X))2存在x二,则称 -be 」x-E(xf]f(x)为xX的方差,记作D(X) 若X~N(u,s2),则可证明D(X)二S2,即有: 乂1亠啤 "52亦°dx"2 由方差的定义可以推算出其计算公式D(X)二EX2-(EX)2,即有 EX? 二DXE2(X),于是对于正态分布有: 产dx=、2a2 分。 由③式知, 原式二2壬22 =8、2~ 这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法,是比较繁杂的,这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式,简化了积分计算。 3.利用丨分布求被积函数中含有三角函数的广义积分 对于被积函数含有三角函数形式的广义积分,可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性,并进行求值。 定理: 设X为服从概率密度为f(x)的随机变量,其特征函数为(t)[3],■ 为常数,则有广义积分: -beEe"x+Ee丛1 .cos■xf(x)dx二——=一[(')(」;)] 22 说严一 sin'xf(x)dx二————_[(,)_(-';)] 22i 证明: 由欧拉公式e'=e(co^isin: )可知, i'xi・x e=coS-x十is^x,e=cos扎x—isin扎x, 故有 Eeix Ee」'x Ecos■x "cos■xf(x)dx J-od E#x+E—sinx/s汕xfxdx 2i; 又由特征函数的定义,得e%=®(财,(-九),即证 x 例6计算广义积分(cos■x)xe9x(: ;»1,“: 0) 解: 因被积函数含有-分布密度函数的一部分,故 x xe"■ 」i¥x 1 才(JJ)] 1 (1)" 其中x为服从参数: 的丨分布的随机变量,其密度函数为 x f(x)=p^T©+1),八00) f(x)二0,x: : 0 可以考虑用 更进一步,如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势, 三角函数的积化和差等公式先降价处理,在进行计算,也可以简化计算 f—"fxdx。 2b-aa 三、引进随机变量证明积分不等式 例7求证,当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时, 1fxdx。 2b-aa 当f(x)为[a,b]上的连续的上凸函数时,fM 证明: 设连续型随机变量•的密度函数为: 丄,当a誉兰时, Px产「0,其它,― 则E=xp(x)dx : : b Ef二.f(x)p(x)dx=Jaf(x) b1.ab帛 xdx,而 ab-a2 丄dx=-b-ab-a b af(x)dx。 fE 由引理1可知,当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时, 兰丄ff(x)dx 2b_aa 当f(x)为[a,b]上的连续的上凸函数时 ,fE-Ef(),即 fab1f(x)dx。 2b-aa 这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。 例8求证,对于可积函数f(x),(f(x)>0), af(x)dxfz(b-a$。 aaf(x) 证明: 令Ua,b,y二fx为严格整函数,则 =fi为正随机变量,考 察0,: : 1 上的连续下凸函数fX二丄,对该函数运用引理1,得: x E1- 1 ,从而EE--1, b11b XpxdXjfx£dx二応J心, b11 p(x)dx=〔dx=「 fxafxb-ab-aafx b1dx, 1b 所以f(x)dx b-aa 1b1dx_1,b-aafx rbb 即afXdXafx 例9若f(x)与g(x)与a,b1上连续,则 b2b2b2 ([f(x)g(x)dx)({f(x)dx)([g(x)dx。 证明: 设随机变量•的概率分布F(x)及其概率密度函数p(x)分别为: Qxya F(x)二严,x b—a 1,xb 1 b,blp(x)=」b-a' i 0,else •一2"-21b2 Ef=Jf(x)p(x)dx二一Jf(x)dx, 则: =b—「 1b ;g()g(x)p(x)dxg(x)dx,贝V: 士b_aa 1 ! f()g(')=.f(x)g(x)p(x)dx二 y」b—a ria f(x)g(x)dx, 由引理2知if()g() af(x)g(x)dx乞af2(x)g2(x)dxag2(x)dx成 成立。 四、结束语 本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分,通过以上的一些例子,使我们看到,概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用,在其他的数学分支中也有其重要的应用。 运用概率的思想方法解决问题,其思想方法独特、简捷,这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系,而且可以加强逆向思维能力的训练,从而有利于对知识的理解和掌握,为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑,新的方法,有利于我们开阔视野,丰富想象,培养创新精神。 参考文献: [1]同济大学应用数学系•《高等数学》(第五版)[M],北京: 高等教育出版社,2002年7月 [2]蔡兴光,李德宜•《微积分》[M],科学出版社,2004年8月 [3]梁之舜等.《概率论与数理统计》(第五版)[M],高等教育出版社,2002年7月 [4]何平凡,用概率论方法证明数学分析中的一些不等式[J].实践与探索 [5]原全,董魏莉.某几类积分的概率技巧解法[J].高校讲坛,2008.第32期 ⑹胡学平,概率方法在分析中的若干应用[J].高等数学研究,2007.1,第一期 [7]陆晓恒.概率方法在证明数学问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6月 [8]张志民,陈书勤.概率方法在数学分析中的应用[J].周口师专学报,19943第一期 [9]杨晓华,徐烈民.不等式的证明的概率方法[J].高等数学研究,2010.1,第一期
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