五年级奥数数的奇偶性一.docx
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五年级奥数数的奇偶性一
五年级奥数—数的奇偶性
(一)
第7讲奇偶性
(一)
整数按照能不能被2整除,可以分为两类:
(1)能被2整除的自然数叫偶数,例如
0,2,4,6,8,10,12,14,16,…
(2)不能被2整除的自然数叫奇数,例如
1,3,5,7,9,11,13,15,17,…
整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质:
(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。
反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。
(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。
任意多个偶数的和(或差)是偶数。
(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。
反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。
(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。
因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;
因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1,所以(2n+1)2除以4余1。
(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。
(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办法编上号码,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数?
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析与解:
本题当然可以先求出算式的和,再来判断这个和的奇偶性。
但如果能不计算,直接分析判断出和的奇偶性,那么解法将更加简洁。
根据奇偶数的性质
(2),和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关,与加数中的偶数无关。
1~1998中共有999个奇数,999是奇数,奇数个奇数之和是奇数。
所以,本题要求的和是奇数。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”,使得等式成立?
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解:
等号左端共有9个数参加加、减运算,其中有5个奇数,4个偶数。
5个奇数的和或差仍是奇数,4个偶数的和或差仍是偶数,因为“奇数+偶数=奇数”,所以题目的要求做不到。
例3任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数。
那么,这两个五位数的和能不能等于99999?
分析与解:
假设这两个五位数的和等于99999,则有下式:
其中组成两个加数的5个数码完全相同。
因为两个个位数相加,和不会大于9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位,即两个个位数之和等于9。
同理,十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。
所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45,是奇数。
另一方面,因为组成两个加数的5个数码完全相同,所以组成两个加数的10个数码之和,等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍,是偶数。
奇数≠偶数,矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999,所以假设不成立,即这两个数的和不能等于99999。
例4在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手。
请问:
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?
请说明理由。
分析与解:
通常握手是两人的事。
甲、乙两人握手,对于甲是握手1次,对于乙也是握手1次,两人握手次数的和是2。
所以一群人握手,不论人数是奇数还是偶数,握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类:
A类是握手次数是偶数的人,B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数,所以A类人握手的总次数也是偶数。
又因为所有人握手的总次数也是偶数,偶数-偶数=偶数,所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢?
如果是奇数,那么因为“奇数个奇数之和是奇数”,所以得到B类人握手的总次数是奇数,与前面得到的结论矛盾,所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例5五
(2)班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有50道试题。
评分标准是:
答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分。
试问:
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数?
分析与解:
本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的,所以应从每个人得分的情况入手分析。
因为每道题无论答对、不答或答错,得分或扣分都是奇数,共有50道题,50个奇数相加减,结果是偶数,所以每个人的得分都是偶数。
因为任意个偶数之和是偶数,所以这部分学生的总分必是偶数。
练习7
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22?
2.任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999。
这位同学的计算有没有错?
3.甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数(允许有相同数),甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数),再将这七个差相乘。
游戏规则是:
若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。
请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲
整数按照能不能被2整除,可以分为两类:
(1)能被2整除的自然数叫偶数,例如
0,2,4,6,8,10,12,14,16,…
(2)不能被2整除的自然数叫奇数,例如
1,3,5,7,9,11,13,15,17,…
整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质:
(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。
反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。
(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。
任意多个偶数的和(或差)是偶数。
(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。
反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。
(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。
因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;
因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1,所以(2n+1)2除以4余1。
(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。
(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。
练习7
1.五个奇数的和不可能等于22。
2.与例3类似,这位同学计算有错误。
3.甲胜。
提示:
七个整数中,奇、偶数的个数肯定不等,如果奇(偶)数多,那么至少有一列的两个数都是奇(偶)数,这列的差是偶数,七个差中有一个偶数,七个差之积必是偶数,所以甲胜。
4.偶数。
提示:
因为这次活动是有来有往,所以总的通信数是偶数。
又因为写了偶数封信的人写信的总数是偶数,所以写了奇数封信的人写信的总数也是偶数。
因为只有偶数个奇数之和是偶数,所以写奇数封信的人数是偶数。
5.奇数。
提示:
每个同学的得分都是奇数。
6.不可能。
提示:
假设在同一条直线上的红圈数都是奇数,5条直线上的红圈总数就会是奇数(奇数乘以奇数仍是奇数)。
因为每个红圈均在两条直线上,所以按各条直线上的红圈数计算和时,每个红圈都被算了两次,所以红圈总数应是偶数。
这就出现了矛盾。
所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。
7.提示:
如果每个座位上、下午坐的都是同一个学校的学生,那么每个学校来看电影的学生数应当是偶数,与每所学校有1999名学生来看电影矛盾。
这个矛盾说明必有上、下午坐的是不同学校的学生的座位。
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- 年级 数数 奇偶性