普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版
一.选择题(共8小题,求的一项)
2021年北京高考数学(理科)试题每小题5分,
共40分•在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要
2
1.已知集合A{x|x
2x0},B
{0,1,2},则APB()
A.{0}B.{0,1}
C.{0,2}
D.{0,1,2}
2•下列函数中,在区间
(0,)上为增函数的是(
AyX1
B.y
(x1)2C.y2x
D.ylog0.5(x1)
x1
3•曲线
y2
cos
sin
为参数)的对称中心(
A.在直线y
2x上
B.在直线y2x上
C.在直线y
D.在直线yx1上
4•当m7,n
3时,执行如图所示的程序框图,输出的
S值为()
A.7B.42C.210D.840
5•设{an}是公比为q的等比数列,贝y"q1"是"{an}"为递增数列的()
A充分且不必要条件
B•必要且不充分条件
C•充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
x
y
2
0
6•若x,y满足kx
y
2
0且zyx的最小值为-4,则k的值为(
)
y
0
A.2B.2
C.-
D.
1
2
2
7.在空间直角坐标系
Oxyz中,
已知
A2,0,0
B2,2,0,C0,2,0,D1,1八,2,若
S1,S2,
S3分别表示三棱锥
ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的
面积,则
(A)Si
S2S3
(B)SiS2且
S3S
(C)Si
S3且S3S2
(D)S2S3且
S1S3
8•有语文、
低于B同学,且至少有一科成绩比他们之间没有一个人比另一个成绩好,的•问满足条件的最多有多少学生(
(A)2
二、填空题
数学两学科,成绩评定为“优秀”
•若A同学每科成绩不
B高,则称“A同学比B同学成绩好•”现有若干同学,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样
)
“合格”“不合格”三种
(共
(B)3
6小题,每小题5分,
(C)4
30分)
(D)5
9复数-
1i
10.已知向量a、
b满足a
1,b2,1
,且ab0
,则
11.设双曲线C经过点2,2
2
,且与专
2
X1具有相同渐近线,则
C的方程为
渐近线方程为
12.若等差数列an满足a7
a8a?
0,a7a100,则当n
时an的前n
项和最大.
13.把5件不同产品摆成一排,若产品
A与产品C不相邻,则不同的摆法有
14.设函数f(x)sin(x),A0,
0,若f(x)在区间[-,-]上具有单调性,且
f-1
2
『f,则f(x)的最小正周期为
2
36
三•解答题(共
6题,满分80分)
15.(本小题13分)如图,在ABC中,B-,AB8,点D在BC边上,且
CD2,cosADC
(1)求sinBAD
(2)求BD,AC的长
16.(本小题13分)
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)
投
宦中嫌
主场1
22
11
截1
1$
&
主场2
15
B
12
主场3
n
B
討3
31
7
23
8
彎4
ii
15
主场5
2Q
5
25
17
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率.
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率.
(3)记X是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明
在这比赛中的命中次数,比较E(X)与x的大小(只需写出结论)
17.(本小题14分)
如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
(1)求证:
AB//FG;
(2)若PA底面ABCDE,且AFPE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并
求线段PH的长.
18.(本小题13分)
已知函数f(x)xcosxsinx,x[0,,
(1)求证:
f(x)0;
sinx
(2)若ab在(0,—)上恒成立,求a的最大值与b的最小值.
x2
19.(本小题14分)
22
已知椭圆C:
x2y4,
(1)求椭圆C的离心率•
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y2上,且OAOB,求直线AB
22
与圆xy2的位置关系,并证明你的结论•
20.(本小题13分)
对于数对序列P(a1,b1),(a2,b2)^-,(an,bn),记「(P)印d,
Tk(P)bkmax{Tk1(P),a1a?
…ak}(2kn),其中max{Tk1(P),a1a?
…ak}表示T<1(P)和a〔a?
…ak两个数中最大的数,
(1)对于数对序列P(2,5),P(4,1),求T,(P),T2(P)的值.
(2)记m为a,b,c,d四个数中最小值,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列
P(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d),试分别对ma和md的两种情况比较
T2(P)和T2(P')的大小.
(3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个
数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)•
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
「、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C
(2)A(3)B(4)C
(5)D(6)D(7)D(8)B
、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)1
(10).5
22
(12)8
(14)
(11)—1y2x
312
(13)36
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:
(I)在ADC中,因为COSADC
7,所以sinADCV
所以sinBADsin(ADCB)
sinADCcosBcosADCsinB
4/311753V3
=X—一—X—e
7272M
3*3
14
7
(U)在ABD中,由正弦定理得
ABsinBAD
BD
sinADB
在ABC中,由余弦定理得
222
AC2AB2BC22ABBCcosB
221
8252285-49
2
所以AC7
(16)(D帜据投脸统计数振・在M场比赛中,李明投篮命中率趨过0.6的场次有云场,分别是上场石上城3,丄场5・客场N客场生
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.
(U)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,—场不超过0.6”。
贝UC=ABUAB,A,B独立。
根据投篮统计数据,P(A)P(B)2.
55
P(C)P(AB)P(AB)
3322
5555
13
25
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超
过0.6,一场不超过0.6的概率为13.
25
(m)exx.
(17)(共14分)
解:
(I)在正方形中,因为B是AM的中点,所以AB//DE又因为AB平面PDE
所以AB//平面PDE
因为AB平面ABF,且平面ABFD平面PDFFG,
所以AB//FG。
(U)因为PA底面ABCDE所以PAAB,PAAE.
如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),
BC(1,1,0).
设平面ABF的法向量为n(x,y,z),贝U
nAB0,x0,
即
nAF0,yz0.
令z1,,则y1。
所以n(0,1,1),设直线BC与平面ABF所成角为a,则
sina
cos
1
2
囚此玄线BC与TiHiABF所成角的大小为?
6
设点H的坐标为(u,v,w).
因为点H在棱PC上,所以可设PHPC(0yY1),,
即(u,v,w2)(2,1,2).。
所以u2,v,w22。
因为n是平面ABF的法向量,所以nAB0,即(0,1,1)(2,,22)0
2422解得-,所以点H的坐标为(—,—,—).o
3333
所以PHJ4)2
(2)2(4)22
V333
(18)(共13分)
解:
(I)由f(x)xcosxsinx得
f'(x)cosxxsinxcosxxsinx。
因为在区间(0,—)上f'(x)xsinx^O,所以f(x)在区间0,—上单调递
减。
从而f(x)f(O)Oo
(U)当XAO时,“沁Aa”等价于“sinxax»0”“沁Yb”等价于
xx
“sinxbxy0”。
令g(x)sinxcx,贝Ug'(x)cosxc,
当cO时,g(x)AO对任意x(O,)恒成立。
2
当c1时,因为对任意x(O,),g'(x)cosxc^O,所以g(x)在区间
2
O,上单调递减。
从而g(x)Yg(O)O对任意x(O,)恒成立。
22
当0YcY1时,存在唯一的x^(O,孑)使得g'(Xo)COSXocO。
g(x)与g'(x)在区间(0,—)上的情况如下:
2
x
(0,x。
)
X°
(x0,二)
2
g'(x)
—
0
—
g(x)
/
因为g(x)在区间o,xo上是增函数,所以g(x。
)沁g(0)0。
进一步,“g(x)A0对
2
任意x(0,)恒成立”当且仅当g(—)1c0,即0yc
222
2
综上所述,当且仅当c—时,g(x)淖0对任意x(0,—)恒成立;当且仅当c1
2
时,
g(x)Y0对任意x(0,)恒成立。
2
所以,若aYb对任意x(0,—)恒成立,则a最大值为-,b的最小值
x2
为1.
(19)
22
解:
(I)由题意,椭圆C的标准方程为——1
42
所以a24,b22,从而c2a2b22。
因此a2,c.2。
故椭圆C的离心率e2丄2。
a2
(□)直线AB与圆x2y22相切。
证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0
因为OAOB,
所以OAOB0,即tx02y00
,解得t
2y0
。
当X。
t时,y°
,代入椭圆C的方程,得t
故直线AB的方程为x.2。
圆心0到直线AB的距离d,2
此时直线AB与圆X2y22相切。
当Xot时,直线AB的方程为y2
Xo
yo2(Xt),
Xo
即(y°2)x(Xot)y2x°ty°0,圆心0到直线AB的距离
2xotyo
(yo2)2(xo
t)2
2
又Xo2yo4,t
纽故
(20)
解:
(I)Ti(P)257
T((P)1maxT((P),241max7,6=8
)T2(P)maxabd,acd
T2(P')maxcdb,cab.
当m=a时,T2(P')=maxcdb,cab=cdb
因为cdbcbd,且acdcbd,所以T2(P) 当m=d时,T2(P')maxcdb,cabcab 因为abd 所以无论m=a还是m=d,T2(P) (川)数对序列P: (4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最 小, T5(P)=52 T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,
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