学年最新高中数学苏教版必修3教学案第2章 22 221 222 频率分布表 频率分布直方图与折线图.docx
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学年最新高中数学苏教版必修3教学案第2章22221222频率分布表频率分布直方图与折线图
2.2.1&2.2.2 频率分布表 频率分布直方图与折线图
预习课本P53~59,思考并完成以下问题
1.什么叫频率分布表?
2.制作频率分布表的一般步骤是什么?
3.什么叫频率分布直方图?
4.什么叫频率分布折线图?
什么叫总体分布密度曲线?
1.频率分布表
(1)定义:
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.
(2)我们将整个取值区间的长度称为全距,一般的全距等于数据中最大值与最小值之差;分成的区间的长度称为组距.
(3)绘制频率分布表的步骤:
①求全距,决定组数和组距,组距=.
②分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
③登记频数,计算频率,列出频率分布表.
[点睛]
(1)在频率分布表中,除最后一个区间是闭区间,其他区间均为左闭右开区间,这样做的目的是为了不重不漏,避免丢失样本数据.
(2)频率分布表中各组频数之和等于样本容量,各组频率之和等于1.
2.频率分布直方图
(1)定义:
我们用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图称为频率分布直方图.
(2)绘制步骤:
①制作频率分布表.
②建立直角坐标系:
把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,并标上一些关键点.
③画矩形:
在横轴上,以连结相邻两点的线段为底,以纵轴上为高作矩形,这样得一系列矩形,就构成了频率分布直方图.
3.频率分布折线图
(1)定义:
把频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到频率分布折线图.
(2)总体分布密度曲线:
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.
[点睛]
频率分布折线图反映了数据的变化趋势,可用来对数据进行估计和预测.
1.已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是________,频率是________.
答案:
4 0.1
2.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空.
(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________;
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________.
答案:
(1)0.32
(2)36
3.对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系,有下列说法:
①频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关;
②频率分布折线图就是总体分布的密度曲线;
③样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线;
④如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线.
其中正确的是________.(填序号)
答案:
④
频率分布表的制作
[典例] 某中学40名男生的体重数据如下(单位:
kg):
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56
56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54
54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51
50 50 49 48
请根据上述数据列相应的频率分布表.
[解] ①计算全距,61-48=13;
②决定组距和组数,取组距为2,==6.5,
所以共分7组;
③决定分点,使分点比数据多一位小数,并把第一小组分点减小0.5,即分成七组:
[47.5,49.5),[49.5,51.5),[51.5,53.5),[53.5,55.5),[55.5,57.5),[57.5,59.5),[59.5,61.5];
④列出频率分布表,如下:
分组
频数
频率
[47.5,49.5)
2
0.05
[49.5,51.5)
5
0.125
[51.5,53.5)
7
0.175
[53.5,55.5)
8
0.20
[55.5,57.5)
11
0.275
[57.5,59.5)
5
0.125
[59.5,61.5]
2
0.05
合计
40
1.00
(1)在列频率分布表时,全距、组距、组数有如下关系:
①若为整数,则=组数.
②若不为整数,则的整数部分+1=组数.
(2)组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
[活学活用]
下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:
cm).
区间
界限
[122,
126)
[126,
130)
[130,
134)
[134,
138)
[138,
142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,
146)
[146,
150)
[150,
154)
[154,
158]
人数
20
11
6
5
(1)列出样本频率分布表;
(2)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
解:
(1)样本频率分布表如下:
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1
(2)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
频率分布直方图与频率分布折线图的绘制
[典例] 为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组如下:
[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图.
[解]
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65]
2
0.02
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图.
(1)绘图时,应以横轴表示分组,纵轴表示各组频率与组距的比值,以各个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形,便得到频率分布直方图.
(2)顺次连接频率分布直方图中各个矩形的上端的中点,就得到频率分布折线图.
[活学活用]
有一个容量为50的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[12.5,15.5),3;[15.5,18.5),8;[18.5,21.5),9;[21.5,24.5),11;[24.5,27.5),10;[27.5,30.5),5;[30.5,33.5],4.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计数据落在[15.5,24.5)的频率约是多少.
解:
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[12.5,15.5)
3
0.06
[15.5,18.5)
8
0.16
[18.5,21.5)
9
0.18
[21.5,24.5)
11
0.22
[24.5,27.5)
10
0.20
[27.5,30.5)
5
0.10
[30.5,33.5]
4
0.08
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如图所示:
频率分布直方图的识、读、用
(3)数据落在[15.5,24.5)的频率约为0.16+0.18+0.22=0.56.
[典例] 在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第3组的频数为12,请解答下列问题:
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数最多?
有多少件?
(3)经过评比,第4组和第6组分别有10件和2件作品获奖,这两组哪组获奖率较高?
[解]
(1)依题意得第3小组的频率为
=,
又第3小组频数为12,
故本次活动的参评作品数为=60(件).
(2)根据频率分布直方图可看出第4组上交的作品数量最多,
共有60×=18(件).
(3)第4组获奖率是=.
第6组上交作品数量为60×=3(件).
第6组的获奖率为>,显然第6组的获奖率较高.
频率分布直方图的性质
(1)图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率,即小长方形的面积=组距×=频率.
(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1.
(3)=样本容量.
(4)频率分布直方图中,各矩形的面积之比等于频率之比,各矩形的高度之比也等于频率之比.
[活学活用]
从某校参加2016年全国高中数学联赛预赛的600名同学中,等可能抽取若干名同学,将他们的成绩制成频率分布表,下面给出了此表中部分数据.
(1)根据表中已知数据,依次写出在①、②、③处的数值;
(2)补全在区间[70,140]上的频率分布直方图;
(3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛,那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛?
分组
频数
频率
[70,80)
0.08
[80,90)
③
[90,100)
0.36
[100,110)
16
0.32
[110,120)
0.08
[120,130)
2
②
[130,140]
0.02
合计
①
解:
(1)样本容量==50,
∴①处为50;∴=0.04,②处为0.04;
③处为1-0.08-0.36-0.32-0.08-0.04-0.02=0.10.
(2)频率分布直方图如图:
(3)成绩不低于110分的同学能参加决赛的频率为
0.08+0.04+0.02=0.14,所以估计该校能参加决赛的人数大约为600×0.14=84.
层级一 学业水平达标
1.已知样本:
12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10,那么样本在[11.5,13.5)上的频率为________.
答案:
0.25
2.一个容量为n的样本分成若干组,已知某组的频
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