二次函数压轴题最短路径问题.docx
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二次函数压轴题最短路径问题
最短路径问题——和最小
【方法说明】
“和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,使得这个点与两个定点距离的和最小(将军饮马问题).如图所示,在直线l上找一点P使得PA+PB最小.当点P为直线AB′与直线l的交点时,PA+PB最小.
【方法归纳】
①如图所示,在直线l上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB⊥l,垂足为B,则线段AB即为所求.
②如图所示,在直线l上找一点P使得PA+PB最小.过点B作关于直线l的对称点B′,BB′与直线l交于点P,此时PA+PB最小,则点P即为所求.
③如图所示,在∠AOB的边AO,BO上分别找一点C,D使得PC+CD+PD最小.过点P分别作关于AO,BO的对称点E,F,连接EF,并与AO,BO分别交于点C,D,此时PC+CD+PD最小,则点C,D即为所求.
④如图所示,在∠AOB的边AO,BO上分别找一点E,F使得DE+EF+CF最小.分别过点C,D作关于AO,BO的对称点D′,C′,连接D′C′,并与AO,BO分别交于点E,F,此时DE+EF+CF最小,则点E,F即为所求.
⑤如图所示,长度不变的线段CD在直线l上运动,在直线l上找到使得AC+BD最小的CD的位置.分别过点A,D作AA′∥CD,DA′∥AC,AA′与DA′交于点A′,再作点B关于直线l的对称点B′,连接A′B′与直线l交于点D′,此时点D′即为所求.
⑥如图所示,在平面直角坐标系中,点P为抛物线(y=x2)上的一点,点A(0,1)在y轴正半轴.点P在什么位置时PA+PB最小?
过点B作直线l:
y=-1的垂线段BH′,BH′与抛物线交于点P′,此时PA+PB最小,则点P即为所求.
【典型例题】
1.(13广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
【思路点拨】
(1)由二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),直接代入求出m的值即可;
(2)把m=2代入求出二次函数解析式,令x=0,求出y的值,得出点C的坐标;利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可;
(3)根据当P、C、D共线时根据“两点之间,线段最短”得出PC+PD最短,求出CD的直线解析式,令y=0,求出x的值,即可得出P点的坐标.
【解题过程】
解:
(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),
∴代入二次函数y=x2-2mx+m2-1,得出:
m2-1=0,解得:
m=±1,
∴二次函数的解析式为:
y=x2-2x或y=x2+2x;
(2)∵m=2,∴二次函数y=x2-2mx+m2-1得:
y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点为:
D(2,-1),
当x=0时,y=3,∴C点坐标为:
(0,3),∴C(0,3)、D(2,-1);
(3)当P、C、D共线时PC+PD最短,
【方法一】
∵C(0,3)、D(2,-1),
设直线CD的解析式为y=kx+3,代入得:
2k+3=-1,∴k=-2,∴y=-2x+3,
当y=0时,-2x+3=0,解得x=,∴PC+PD最短时,P点的坐标为:
P(,0).
【方法二】
过点D作DE⊥y轴于点E,
∵PO∥DE,∴=,∴=,解得:
PO=,
∴PC+PD最短时,P点的坐标为:
P(,0).
2.(11菏泽)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
【思路点拨】
(1)把点A的坐标代入求出b的值,即可得出抛物线的解析式,通过配方法即可求出顶点D的坐标;
(2)观察发现△ABC是直角三角形,可以通过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式,分别求出点B,C的坐标,再得出AB,AC,BC的长度,易得AC2+BC2=AB2,得出△ABC是直角三角形;
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,连接C'D交x轴于点M,根据“两点之间,线段最短”可知MC+MD的值最小.求出直线C'D的解析式,即可得出点M的坐标,进而求出m的值.
【解题过程】
解:
(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上,∴×(-1)2+b×(-1)-2=0,解得b=-,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).
(2)当x=0时y=-2,∴C(0,-2),OC=2.
当y=0时,x2-x-2=0,∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0),∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,
连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.
【方法一】
设直线C′D的解析式为y=kx+n,则,解得:
.∴y=-x+2.
∴当y=0时,-x+2=0,x=.∴m=.
【方法二】
设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM,∴△C′OM∽△DEM.
∴=,∴ =,∴m=.
3.(11福州)已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:
y=x+对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
【思路点拨】
(1)二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)中只有一个未知参数a,令y=0,解出方程ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),即可得到点A,B的坐标.把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上;
(2)根据点H、B关于过A点的直线l:
y=x+对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,得AC=AB=2,利用勾股定理求出HC的长,即可得出点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;
(3)直线BK∥AH易得直线BK的解析式,联立直线l的解析式方程组,即可求出K的坐标.因为点H,B关于直线AK对称,所以HN=BN,所以根据“两点之间,线段最短”得出HN+MN的最小值是MB.作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,所以QM=KM,易得BM+MK的最小值为BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,求出QB的长即可.
【解题过程】
解:
(1)依题意,得ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),解得x1=﹣3,x2=1,
∵B点在A点右侧,∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0),
∵直线l:
y=x+,当x=﹣3时,y=×(-3)+=0,∴点A在直线l上.
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:
y=x+对称,∴AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,则AC=AB=2,HC=2,
∴顶点H(-1,2),代入二次函数解析式,解得a=-,
∴二次函数解析式为y=-x2-x+,
(3)直线AH的解析式为y=x+3,直线BK的解析式为y=x+3,
由,解得,即K(3,2),则BK=4,
∵点H、B关于直线AK对称,
∴HN+MN的最小值是MB,KD=KE=2,
过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,则QM=MK,QE=EK=2,AE⊥QK,
∴BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°,由勾股定理得QB=8,
∴HN+NM+MK的最小值为8.
4.(14海南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?
请说明理由.
【思路点拨】
(1)由对称轴为直线x=2,可以得出顶点横坐标为2,设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+k,再把点A,B的代入即可求出抛物线的解析式;
(2)求四边形MEFP的面积的最大值,要先表示出四边形MEFP面积.直接求不好求,可以考虑用割补法来求,过点P作PN⊥y轴于点N,由S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME即可得出;
(3)四边形PMEF的四条边中,线段PM,EF长度固定,当ME+PF取最小值时,四边形PMEF的周长取得最小值.将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得到点M1(1,1),作点M1关于x轴的对称点M2(1,-1),连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
【解题过程】
解:
(1)∵对称轴为直线x=2,∴设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.
将A(-1,0),C(0,5)代入得:
,解得,
∴y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.设P(x,-x2+4x+5),
如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,
∴MN=ON-OM=-x2+4x+4.
S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME=(PN+OF)•ON-PN•MN-OM•OE
=(x+2)(-x2+4x+5)-x•(-x2+4x+4)-×1×1
=-x2+x+
=-(x-)2+
∴当x=时,四边形MEFP的面积有最大值为,此时点P坐标为(,).
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,∴点P的纵坐标为3.
令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±.∵点P在第一象限,∴P(2+,3).
四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,
因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.
如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);
作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,-1);
连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+,3),M2(1,-1)代入得:
,解得:
m=,n=,∴y=x-.
当y=0时,解得x=.∴F(,0).∵a+1=,∴a=.
∴a=时,四边形PMEF周长最小.
图1 图2
2.(14福州)如图,抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D了.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证:
∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.
【思路点拨】
(1)由顶点式直接得出点D的坐标,再令y=0,
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